2025--2026学年广东省深圳市深圳实验学校高中园高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省深圳市深圳实验学校高中园高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 已知复数满足：，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D. 棱台的侧棱都相等
4. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（ ）
A. 8B. C. D. 4
5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在，若，且，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
8. 已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若复数满足，则
B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为
C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形D. 若，则有两解
11. 已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积是B. 圆锥侧面展开图的圆心角是
C. △PAB面积的最大值是D. 该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是
三、填空题
12. 在中，若，，，则______．
13. 已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________．
14. 已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为______．
四、解答题
15. 已知向量，其中，．
（1）试计算及的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量
（1）若 求A；
（2）若 求的面积.
17. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？
（3）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求a；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.
19. 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.
（1）若，求的模长；
（2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设，若对恒成立，求 的最大值.
数学
一、单选题
1. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. 1B. 2C. D.
答案：B
解析：
思路：利用向量垂直的坐标运算，即可求解参数.
解答过程：因为，，所以，
因为，所以，
即，解得.
故选：B.
2. 已知复数满足：，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用复数的四则运算计算即得.
解答过程：由可得.
故选：A.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D. 棱台的侧棱都相等
答案：C
解析：
思路：根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来否定对概念的错误理解.
解答过程：对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，
即A错误，反例如图：
对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误，
即B错误，反例如图：
对于C，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确；
对于D，棱台是由平行于底面的平面截得的，
故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误.
故选：C.
4. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（ ）
A. 8B. C. D. 4
答案：C
解析：
思路：首先需要由斜二测画法规则还原平面图形，由条件求出，由勾股定理可求出.
解答过程：根据题意，的直观图是直角三角形，且，所以，还原，如图所示，
原图中，，，所以.
5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，，，，
则向量在向量上的投影向量为.
6. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：结合重心性质与向量运算化简可得.
解答过程：
如图，连接，因为点O为的重心，
则为的三等分点，且，
所以，
故选：A.
7. 在，若，且，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
答案：C
解析：
思路：利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论.
解答过程：因为，由正弦定理可得，则，
．所以，
又因为，所以，
又，可得，故的形状是等腰直角三角形.
故选：C
8. 已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
答案：D
解析：
思路：根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值.
解答过程：根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
所以.
因为，所以.
所以.
因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得.
所以.
当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6.
故选：D.
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若复数满足，则
B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为
C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
答案：BD
解析：
解答过程：对于选项A：例如也满足，故A错误；
对于选项B：因为，，所以，
所以向量对应的复数为，故B正确；
对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C错误；
对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确．
10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形D. 若，则有两解
答案：AD
解析：
思路：利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.
解答过程：对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；
对于B，，故边最长，角最大.
设，
则.
所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；
对于C，，则或，即或，则为直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于D，，
根据正弦定理
，所以有两解，所以有两解，故D正确.
故选：AD.
11. 已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积是B. 圆锥侧面展开图的圆心角是
C. △PAB面积的最大值是D. 该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是
答案：AD
解析：
思路：对于A，由圆锥侧面积公式可判断选项正误；对于B，由母线长及底面圆周长可判断选项正误；对于C，计算圆锥轴截面顶角，当时，的面积最大，据此可判断选项正误；对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，由题可得圆柱侧面积表达式，然后利用函数知识可判断选项正误.
解答过程：根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为，依次分析选项：

对于A，轴截面中，，底面半径，所以母线长，
故圆锥的侧面积是，A正确；
对于B，圆锥母线长为2，展开图的弧长为，则圆心角弧度为，B错误；
对于C，由题意可知,
故圆锥轴截面的顶角为，则当时，的面积最大，其最大值为， C错误；
对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，则有，
化简可得，则圆柱的侧面积，
由二次函数的性质可知，当时，有最大值，D正确.
故选：AD
三、填空题
12. 在中，若，，，则______．
答案：2
解析：
思路：由正弦定理得到方程求解即可.
解答过程：由正弦定理知，，即，解得.
13. 已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________．
答案：##
解析：
思路：借助模长与数量积的关系可得，再利用向量夹角公式计算即可得.
解答过程：由，则，故，
则
，因，
故向量与的夹角为.
14. 已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为______．
答案：
解析：
思路：先利用正弦定理求得正三棱台上下底面所在圆面的半径，设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则，进而求出正三棱台的高，然后根据列方程求解球的半径，代入球的表面积公式即可得解．
解答过程：如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则，
所以，．
设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，
则．
设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得，
所以或，
即或，
解得，所以三棱台的外接球的表面积为．

故
四、解答题
15. 已知向量，其中，．
（1）试计算及的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
答案：（1），
（2）解析：
（1），
（2）设，由，
．
16. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量
（1）若 求A；
（2）若 求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.
（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.
（1）因为所以①.
又由正弦定理，即，代入①式，
可得，整理得，
又，所以，解得.
（2）因为，所以，
即，又，所以.
因为，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）.
故.
17. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？
（3）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
答案：（1）
（2）元
（3）时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是
解析：
思路：（1）根据条件，可得，根据体积公式，分别求得正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，相加即可得答案.
（2）根据条件，求得各个长度，进而可得正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，根据单价，即可得答案.
（3）设，可表示出各个长度，进而可得下部分的侧面积为的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案.
（1）由知.
因为，
所以正四棱锥的体积，
正四棱柱的体积.
所以仓库的容积.
（2）如图，连接，取的中点，连接.
在正四棱锥中，，
所以.
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以正四棱锥的侧面积为.
正四棱柱的侧面积为：
则粉刷总费用为： 元.
（3）设，下部分的侧面积为，连接，
则，
则，
设，
当，即时，，
故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是.
18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求a；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可；
（2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可；
（3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.
（1）因为，
由正弦定理得，即，
因为在中，，所以，
又，所以.
（2）因为，，，所以，解得.
由余弦定理得.
（3）因为，，
结合正弦定理，得，所以，.
在中，,
所以.
因为为锐角三角形，所以，所以，
则，所以，
所以.
19. 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.
（1）若，求的模长；
（2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设，若对恒成立，求 的最大值.
答案：（1）
（2）不正确，理由见解析
（3）解析：
思路：（1）根据条件有，再利用模长的计算公式，即可求解；
（2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解；
（3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案.
（1）因为，则，又，
则.
（2）不正确，理由如下，
因为，则，又，
则，
若，则，则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的.
（3）因为，则，
，
，
，
由，得，
所以，
即对恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以满足题意，
所以，
又因为，所以，
所以的最大值为．