2025--2026学年广东省深圳市盐田高级中学高考适应性考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省深圳市盐田高级中学高考适应性考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ）
A. 24B. 54C. 72D. 120
5. 已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数fx=x2−2x−1,x≤0x−1ex+1,x>0，若函数仅有一个零点，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（ ）
A. 对于任意给定的点，存在点，使得
B. 对于任意给定的点，存在点，使得
C. 对于任意给定的点G，存在点F，使得
D. 对于任意给定的点F，存在点G，使得
8. 设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D.
二、多选题
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好
B. 若随机变量满足，则
C. 若随机变量，则
D. 若事件满足，则
10. 已知前项和为的数列满足，则（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C. 数列的前18项和为
D. 不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列
11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，则下列结论正确的是（ ）
A. 坐标原点O到直线AB的距离为
B. 若，则的取值范围为
C. 的面积最大值为
D. 四边形的面积为定值
二、填空题
12. 设，若复数是纯虚数，则_____.
13. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________．
14. 为了减轻教师阅卷负担，我校在一次高三数学考试中尝试采用AI辅助阅卷，阅卷后，成绩分布如下：
为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于90分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于90分而低于120分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于120分，则复批的概率为．若某同学试卷被复批，则AI批阅该同学试卷不低于120分的概率是________.
三、解答题
15. 在中，角的对边分别为．
（1）证明：；
（2）若，，，求的面积．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则.
（1）求的标准方程；
（2）已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图：
（1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄；
（2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望；
（3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值．
19. 已知.
（1）若有两个零点，求的取值范围；
（2）若有大于零的极值点，比较与的大小；
（3）若有且只有唯一整数，使，求的取值范围.
数学
一、单选题
1. 已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：，则，故A错误；1∉A ，故B错误；
A⊆−1,1，故C正确；A∩N=1，故D错误．
2. 已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：令，解得，
时，，则是的一个对称中心．
3. 若，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：通过对数函数的单调性判断与的大小，利用幂函数的单调性判断与的大小，从而确定正确选项.
解答过程：由对数函数 在上单调递减，
得 ，即；
由对数函数在上单调递增，
得 ，即，因此.
由幂函数在上单调递减，
得，即.
综上，且.
4. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ）
A. 24B. 54C. 72D. 120
答案：B
解析：
思路：安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数.
解答过程：满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.
5. 已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：，解得，
．
6. 已知函数fx=x2−2x−1,x≤0x−1ex+1,x>0，若函数仅有一个零点，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围．
解答过程：为二次函数，对称轴为，
所以时，单调递减，
令hx=x−1ex+1,x>0 ，，
所以在单调递增，
则函数的图象如下：
函数仅有一个零点，即只有一个交点，
．
7. 已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（ ）
A. 对于任意给定的点，存在点，使得
B. 对于任意给定的点，存在点，使得
C. 对于任意给定的点G，存在点F，使得
D. 对于任意给定的点F，存在点G，使得
答案：B
解析：
思路：以为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为1，设，，，再利用垂直与平行的空间坐标表示逐项判断即可．
解答过程：对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的边长为1，可得，，，
且点分别是线段和上的动点，
得到，，，
而，，则，设，可得，
则，解得，得到，
可得，，，
若，则，解得，
此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确，
对于CD，若，则，
∴−1=λt−10=λt−1f=−λt，方程组无解，故与不可能平行，CD错误．
8. 设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D.
答案：A
解析：
思路：对于A，由平行可得，进而得到，即；对于B，由向量模长的运算判断；对于C，由题可得，再根据数量积的运算律求解即可；对于D，直接根据向量的加法运算及新定义即可判断．
解答过程：对于A，若，则，即，又不共线，
∴x1=λx2y1=λy2，整理得，故A正确；
对于B，e1⋅e2=e1⋅e2csθ=12，
a→=x1e1⃗+y1e2⃗2=x12e1⃗2+2x1y1e1⃗⋅e2⃗+y12e2⃗2=x12+x1y1+y12=1 ，故B错误；
对于C，若，
则a⋅b=x1e1+y1e2⋅x2e1+y2e2=x1x2e12+x2y1e1⋅e2+x1y2e1⋅e2+y1y2e22
，故C错误；
对于D，a+b=x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=x1+x2e1+y1+y2e2
=x1+x2,y1+y2，故D错误．
二、多选题
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好
B. 若随机变量满足，则
C. 若随机变量，则
D. 若事件满足，则
答案：ACD
解析：
思路：对于A，根据决定系数的概念判断即可；对于B，根据期望的线性运算即可求解；对于C，由二项分布的方差公式求解；对于D，由题可得，再根据条件概率的乘法公式计算．
解答过程：对于A，回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1，
说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，A正确；
对于B，根据方差的运算性质，对任意常数，有，
本题中，因此EY=2EX−1 ，B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，由条件概率性质，，
因此PMN=PM⋅P(N|M)=13×23=29，故D正确．
10. 已知前项和为的数列满足，则（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C. 数列的前18项和为
D. 不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列
答案：ABD
解析：
思路：对于A，作差得，再根据通项判断即可；对于B，由，再分组求和即可判断；对于C，运用裂项相消法求和即可；对于D，根据题意可得，即，进而可得与题干矛盾．
解答过程：，
，()
，则，
又时，a1=2−12=32满足上式，
故数列是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；
，则，故B正确；
，
则数列的前18项和为，故C错误；
，则，
若，，成等差数列，
则，即4p−1+12+4r−1+12=24q−1+12，4p−1+4r−1=2⋅4q−1，
即，又，，为正整数，
∴p−q=0r−q=0，即与题干矛盾，
即不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列，故D正确．
11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，则下列结论正确的是（ ）
A. 坐标原点O到直线AB的距离为
B. 若，则的取值范围为
C. 的面积最大值为
D. 四边形的面积为定值
答案：ACD
解析：
思路：A，通过点到直线距离公式计算即可；B，用坐标法表示出向量数量积后求解范围；C，通过点到直线距离公式求出到直线的距离，通过三角函数换元求出面积最大值；D，将四边形分解为两个三角形的面积和求解.
解答过程：椭圆，得，
则，
第一象限椭圆上，满足，即.
对于A：直线过，方程为，即，
原点到的距离，A正确；
对于B：，代入​​，
得：，
即，不是x0∈−263,263，B错误；
对于C：，到直线的距离​，
则，
令x0=2csθ,y0=sinθθ∈0,π2，
得x0+2y0=2csθ+2sinθ=22sinθ+π4，，最大值为，
因此：，C正确；
对于D：直线方程：，
令得，则，
直线方程：，令得，
则AN=∣x0y0+1+2∣=x0+2y0+2y0+1，
AN⋅BM=(x0+2y0+2)2x0+2y0+1=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+4x0y0+x0+2y0+2，代入，
得AN⋅BM=4x0y0+x0+2y0+2x0y0+x0+2y0+2=4 ，
所以四边形的面积等于12AN⋅BM=2 ，D正确.
二、填空题
12. 设，若复数是纯虚数，则_____.
答案：1
解析：
解答过程：，
又为纯虚数，所以，
解得．
13. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________．
答案：45
解析：
解答过程：，
，
，又展开式的通项为，
当，解得，
，即展开式中的含项的系数为．
14. 为了减轻教师阅卷负担，我校在一次高三数学考试中尝试采用AI辅助阅卷，阅卷后，成绩分布如下：
为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于90分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于90分而低于120分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于120分，则复批的概率为．若某同学试卷被复批，则AI批阅该同学试卷不低于120分的概率是________.
答案：
解析：
思路：根据条件概率及全概率公式求解．
解答过程：设该同学得分在0,90为事件，该同学得分在为事件，
该同学得分在为事件，该同学试卷被复批为事件．
根据已知表格中数据可得nA1=20+55+75=150 ，nA2=375+0+325=700 ，nA3=125+25=150 ，nΩ=nA1+nA2+nA3=150+700+150=1000 .
所以PA1=nA1nΩ=1501000=0.15 ，PA2=nA2nΩ=7001000=0.7 ，PA3=nA3nΩ=1501000=0.15 .
又由已知得PBA1=0.8,PBA2=0.3,PBA3=0.6 ,
所以PA3B=PBA3PA3PBA1PA1+PBA2PA2+PBA3PA3
．
三、解答题
15. 在中，角的对边分别为．
（1）证明：；
（2）若，，，求的面积．
答案：（1）在中，由正弦、余弦定理得
.
（2）解析：
思路：（1）利用差角的正弦公式、正弦定理、余弦定理推理得证.
（2）由（1）及已知，结合余弦定理求出及，再利用三角形面积公式求解.
（1）略
（2）由（1）得，又，
则，而，于是（*），
即，由余弦定理得，因，故，
又由（*）可得，因，，则，
所以的面积为.
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则.
（1）求的标准方程；
（2）已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．
答案：（1）
（2）或.
解析：
思路：（1）根据弦长求出即可；
（2）根据题意联立得，设，则，再由kAA2⋅kBA2=−1 进行求解．
（1）由题可知，则，即，
解得，∴MN=2×b22=b2=1 ，
所以双曲线；
（2）由直线与双曲线联立方程组消可得：
，又直线与双曲线交于两点，
所以Δ=8t2−4×3×4t2+4>0 ，即，
设，则，

因为以为直径的圆过点，所以，
即kAA2⋅kBA2=y1x1−2⋅y2x2−2=x1+tx2+tx1x2−2x1+x2+4=x1x2+tx1+x2+t2x1x2−2x1+x2+4
=4t2+43+t−8t3+t24t2+43−2−8t3+4=4t2+4−8t2+3t24t2+4+16t+12=4−t24t2+16t+16=−1 ，
化简得：4t2+16t+16=−4−t2⇒3t2+16t+20=0 ，
解得或，都满足，
所以直线的方程为或.
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
答案：（1）在平面内作交于点，连接，
由，，得，
所以，
又平面平面，平面平面，
，平面，故平面，
又因为平面，所以，
在直角中，由，，则，即，
在中，由，，，所以，故，
又，且，、平面，
故平面，因为平面，所以；
（2）解析：
思路：（1）作，进而得到，再由面面垂直的性质得到平面，则，然后证明平面即可求解；
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求点到面的距离即可．
（1）略
（2）由（1）知平面，，
故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
故、、、、，
得到，，，则，
设为平面的一个法向量，
则n⋅AB1=8y+4z=0n⋅AC1=4x+6y+4z=0，取，
解得x=1,z=−4 ，得，
因为CC1=AA1=0,3,4，设点到平面的距离为,
由点到平面的距离公式得d=CC1⃗⋅n→n→=|6−16|1+4+16=102121.
18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图：
（1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄；
（2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望；
（3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值．
答案：（1），
（2）（3）
解析：
思路：（1）根据频率分布直方图的特征求即可，利用平均数的求解公式求解即可；
（2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出分布列并得到期望即可；
（3）由题可得恰好答对3个问题的概率为，设，求出ft+1ft，进而分析得出最值及的值．
（1）根据频率直方图的性质可得10×m+5m+3m+2m+m=1 ，解得,
利用中点值可估计平均年龄为；
（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人），
年龄在第二组内有512×12=5 人，年龄在第三组内有312×12=3 人，
年龄在第四组内有212×12=2 人，年龄在第五组内有112×12=1 人，
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以PX=0=C64+C51C11C62C124=211，PX=1=C51C63+C11C63+C52C11C61C124=411，
，PX=3=C53C61C124=433，
则的分布列为：
所以EX=0×211+1×411+2×3299+3×433+4×199=14099；
（3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为，
设，由，且得，
所以，
显然，，
令，
当时，有，，即，
此时；
当时，有，，即，
此时，即，所以．
19. 已知.
（1）若有两个零点，求的取值范围；
（2）若有大于零的极值点，比较与的大小；
（3）若有且只有唯一整数，使，求的取值范围.
答案：（1）a∈(0,1)∪(4e32,+∞)
（2）f(x0)≤e （3）．
解析：
思路：（1）由f1=e≠0 ，再参变分离得，令，再利用导数分析函数单调性得到图象，从而确定的取值范围；
（2）根据导数确定函数的极值点，利用隐零点可得f(x0)=ex0(−2x02+3x0) ，令h(x0)=ex0(−2x02+3x0) ，再利用导数确定的最值即可；
（3）易知时不等式不成立；当时，，当时，，根据图象，结合有且只有唯一整数，使，确定的取值范围．
（1）由fx=ex(2x−1)−a(x−1) 可得：f1=e(2−1)−a(1−1)=e≠0 ，
所以不是的零点，则令fx=ex(2x−1)−a(x−1)=0 ，
分离参变量可得a=ex(2x−1)x−1，构造函数，则g'x=ex(2x2−3x)x−12，
当时，g'x=ex(2x2−3x)x−12>0 ，则在上单调递增，
当或时，g'x=ex(2x2−3x)x−123e2，
所以要满足有且只有唯一整数，使，即，
则3e2