2025--2026学年广东深圳科学高中高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东深圳科学高中高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合是自然数集，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知变量与线性相关，现收集了5组样本数据如下表．
根据上表可得线性回归方程为，则（ ）
A. 4B. 4.4C. 4.5D. 5
3. 从0，2，3，4，6五个数字中，任取出两个不同的数字组成两位数，则在这些两位数中十位数字比个位数字大的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 对任意正数，
D. 对任意正数，
5. ，则（ ）
A. 16B. 65C. 80D. 81
6. “”是“不等式在上恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. ，，成等比数列D. 若，则
10. 景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为
B. 该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小
C. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
D. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
11. 已知抛物线：（）的焦点也是椭圆的一个焦点，过点作的两条切线，斜率分别为，，对应的切点分别为，，则（ ）
A. B. （）
C. 点在直线上D. 的中点到轴的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知x，y是正实数，且满足，则x+y的最小值是__．
13. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.
14. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表．
（1）试估计全校学生中视力不良的学生人数；
（2）补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？
附：．
16. 已知数列的首项，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，．
（1）证明：平面；
（2）当时，求点P到平面的距离；
（3）若，当直线PC与平面所成的角最大时，求实数的值．
18. 已知函数，.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若存在，使得，求实数t的取值范围；
（3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由.
19. 已知双曲线过点，且渐近线方程为．
（1）求的标准方程；
（2）点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点．
（ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求；
（ⅱ）证明：直线过定点．
数学
考试时长：120分钟 卷面总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合是自然数集，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：依题意，，所以．
2. 已知变量与线性相关，现收集了5组样本数据如下表．
根据上表可得线性回归方程为，则（ ）
A. 4B. 4.4C. 4.5D. 5
答案：B
解析：
思路：由所给数据求出，根据回归直线过中心点可求解．
解答过程：由表格得，，
将样本中心代入线性回归方程得，．
3. 从0，2，3，4，6五个数字中，任取出两个不同的数字组成两位数，则在这些两位数中十位数字比个位数字大的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：列举出符合要求的所有两位数，再确定其中十位数字比个位数字大的两位数个数，然后借助古典概率公式即可得解.
解答过程：由0，2，3，4，6中任意两个不同数字组成的两位数有：
20，30，40，60，32，42，62，23，43，63，24，34，64，26，36，46，共有16个，每个两位数都是等可能出现的，
其中十位数字比个位数字大的有20，30，40，60，32，42，62，43，63，64，共10个，
则所求概率为.
故选：D
4. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 对任意正数，
D. 对任意正数，
答案：C
解析：
思路：根据正态分布的性质逐项判断即可.
解答过程：由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，所以对任意正数，.
5. ，则（ ）
A. 16B. 65C. 80D. 81
答案：C
解析：
思路：根据题意得，利用赋值法和二项式系数求解.
解答过程：由于，
则，
令，得，
又因为，
所以.
6. “”是“不等式在上恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：由得，即，利用均值不等式求出，进而求解.
解答过程：对于，可化为恒成立，即
由，当且仅当时取等号，故，解得，
所以“”是“不等式在上恒成立”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围.
解答过程：设点，已知，且，
所以，
化简得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点，
所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径），
即，
化简得，
解得.
8. 已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
答案：A
解析：
思路：先将不等式变形可得，然后通过分析可得，代入，通过求导求解函数的最值即可求解.
解答过程：将不等式变形，可得，
要使不等式恒成立，需满足：
当时，，因此需，
当时，，因此需，若同时满足上述两个要求，则，
下面验证时，恒成立，
当时，，所以， 所以，
当时，，所以， 所以，
当时，，
所以时，不等式恒成立，
所以，令，所以，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的最大值为.
故选.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. ，，成等比数列D. 若，则
答案：BC
解析：
解答过程：对于A，当时，无意义，A错误；
对于B，
，B正确；
对于C，若，则，，，
因为，所以，，成公比为的等比数列；
若，则，，
，
所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确；
对于D，当时，,对于任意的都满足，
但不一定成立，D错误.
10. 景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为
B. 该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小
C. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
D. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
答案：BCD
解析：
思路：设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD.
解答过程：设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件，
则，，且，，
可得，.
对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件，
其概率为，故A错误；
对于选项B：因为，
即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确；
对于选项C：因为，
所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确；
对于选项D：因为，则，
所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确.
11. 已知抛物线：（）的焦点也是椭圆的一个焦点，过点作的两条切线，斜率分别为，，对应的切点分别为，，则（ ）
A. B. （）
C. 点在直线上D. 的中点到轴的距离为
答案：ACD
解析：
思路：求出焦点坐标，设出切线方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义逐项求解判断.
解答过程：椭圆的右焦点为，即为的焦点，则，抛物线：，
对于A，显然，设过点的切线方程为，
由，得，
令，整理得，
依题意，，是此方程的两个实数根，则，A正确；
对于B，是的实数根，则，同理，B错误；
对于C，点的坐标分别为，直线的方程为，
化简得，而，得，
又，则直线过点，即点在直线上，C正确；
对于D，的准线方程为，设分别为到准线的距离，
由抛物线的定义知，的中点到准线的距离为，
所以的中点到轴的距离为，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知x，y是正实数，且满足，则x+y的最小值是__．
答案：2
解析：
思路：根据条件，由，结合基本不等式求解即可．
解答过程：解：因为，是正实数，且满足，
则
，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为2．
故2．
13. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.
答案：
解析：
思路：先求出的所有可能取值，然后计算出现的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．
解答过程：由题意正方体中两条平行的棱间的距离为1或．
正方体共12条棱中任取两条，共有种取法，
其中相交的有，平行且距离为的有种，
其余的是异面或距离为1的平行线，共有36种，
∴，，，
分布列为：
．
故．
方法提示：本题考查随机变量的期望，考查空间直线的位置关系，考查古典概型概率．综合度较大，属于难题．
14. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______.
答案：82
解析：
思路：分①②③④四边同色，①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理即可求解．
解答过程：解：
①②同色时，矩形A另外两边有种方法染色，
①②不同色时，矩形A另外两边有种方法染色，同理其他区域也一样，
则（1）①②③④四边同色，此时共有种；
（2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种，
（3）当①②③④每两个同色时，若①③同色，②④同色，则有种；
若①②同色，③④同色，则有种；
若①④同色，②③同色，则有种；
此时共有种；
综上，共有种．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表．
（1）试估计全校学生中视力不良的学生人数；
（2）补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？
附：．
答案：（1）1050
（2）认为学生的视力健康与课外阅读时间无关．
解析：
（1）由题可得课外阅读时间小时／天的学生中视力不良的有人，
所以估计全校学生中视力不良的学生人数为3000.
（2）补全列联表：
零假设为：学生的视力健康与课外阅读时间无关，
.930＜，
所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为学生的视力健康与课外阅读时间无关．
16. 已知数列的首项，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可.
（2）结合裂项相消法证明即可.
（1）当时，，
则，，，，
所以，即.
所以.
当时，满足上式，
故的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
所以，
因为，所以，则，因此，
故.
17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，．
（1）证明：平面；
（2）当时，求点P到平面的距离；
（3）若，当直线PC与平面所成的角最大时，求实数的值．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）由线面垂直的判定证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，由点到平面距离公式即可求解；
（3）由线面夹角的向量公式即可求解．
（1）因为底面平面ABCD，所以．
在和中，，即，
故，得，即，
又平面，故平面PAC．
（2）由已知得，，
故以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
当时，，则，
设平面HEF的法向量为，
则，故可取，
所以点P到平面EFH的距离．
（3）由已知得，，，，
所以，又，所以，
所以，，
设平面AFC的法向量为，
则，故可取，
又，取直线PC的方向向量为，
设直线PC与平面AFC所成的角为，
则
．
因为，所以，当时，取最大值，
又，此时取最大值，所以．
18. 已知函数，.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若存在，使得，求实数t的取值范围；
（3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由.
答案：（1）
（2） （3），证明见解析.
解析：
思路：（1）先求函数在 处的函数值得切点坐标,再用乘积法则求导得导函数,代入 算出切线斜率,最后由点斜式写出切线方程并整理.
（2）由已知可得存在 ,使得 成立,因为 时, ,故存在 ,用参变分离法可得出 ,利用导数求出函数 在 上的最大值即可求解;
（3）令 ,利用导数分析 在 上的单调性,利用零点存在性定理可知 ,求得 ,证明出 ,结合 的单调性,即可证得结论成立.
（1），即切点为.
将代入，得，即切线斜率.
由点斜式，代入，.
得切线方程为，整理为.
（2）由题意知，存在，使得成立，
因为时，，即，
故原不等式等价于存在，使得.
令，其中，
，
且不恒为零，故函数在上单调递减，
则，
故实数的取值范围是.
（3），理由如下：
由可得，
令，则.
因为，则，
所以，所以函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在唯一的，使得，
即，
同理可得，
且，
因为，所以，
因为，所以，
所以
，
因为函数在上单调递减，
故，即，
取，则.
19. 已知双曲线过点，且渐近线方程为．
（1）求的标准方程；
（2）点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点．
（ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求；
（ⅱ）证明：直线过定点．
答案：（1）
（2）（i）；（ii）过定点，证明见解析.
解析：
思路：（1）根据双曲线的渐近线方程为，得，结合双曲线过定点，联立求解得到双曲线的标准方程；
（2）（ⅰ）设过定点的直线方程，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到两点纵坐标的和与积的关系式；根据斜率公式，得到，，从而计算出的值；
（ⅱ）分别设过定点的直线，方程，分别与双曲线方程联立求出点与点，点与点的横、纵坐标之间的关系式，根据,,三点共线，则求出定点。
（1）双曲线过点，渐近线方程为，
，解得；
的标准方程为.
（2）（ⅰ），的左顶点；
直线过点，设直线方程为，，；
，联立方程得，
，
则，；
直线与的左支交于，两点，，；
即，解得；
综上所述，的值为.
（ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则；
，联立方程得，
则，得；
；
同理可求得，；
①当直线斜率存在时，如图所示：
,,三点共线，，即，
则，化简得;
令，即，即直线过定点;
②当直线斜率不存在时，如图所示：
此时，则，解得，；
直线的方程为，也过定点；
直线恒过定点.
方法提示：联立直线与双曲线方程时，要注意判别式大于0，且保证交点在左支；计算斜率乘积和直线过定点时，要注意利用双曲线方程对坐标进行代换，简化运算。同时，过定点的直线方程要注意分斜率存在和不存在两种情况.
1
2
3
4
5
10
15
19
23
28
课外阅读时间
视力健康情况
合计
视力正常
视力不良
小时／天
35
60
小时／天
10
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
10
15
19
23
28
0
1
课外阅读时间
视力健康情况
合计
视力正常
视力不良
小时／天
35
60
小时／天
10
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
课外阅读时间
视力健康情况
合计
视力正常
视力不良
小时／天
35
25
60
小时／天
30
10
40
合计
65
35
100
课外阅读时间
视力健康情况
合计
视力正常
视力不良
小时／天
35
25
60
小时／天
30
10
40
合计
65
35
100