广东省深圳市盐田高级中学2024~2025学年高一下册5月期中数学试题【附解析】

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考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）
1．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列结论正确的是（ ）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．15
4．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．4D．5
5．在中，下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形 D．若，，，则有两解
6．如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（ ）
A． B．C． D．
7．已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
10．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量是
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C．三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 .
13．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积为，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为 .
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．（13分）已知复数.
(1)求复数的模；
(2)若，求的值.
16．（15分）已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求与的夹角的余弦值．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明.
18．（17分）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角
为，若的面积为.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球的表面积；
(3)求该圆锥的内接正四棱柱(正四棱柱的一个底面在圆锥底面上)的侧面面积的最大值.
19．（17分）如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.
（1）求b边的长度；
（2）求的面积；
（3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.