2025--2026学年江西景德镇一中高一下册期中考试数学试题 [含解析]

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1. 已知向量a=−2,1,b=x,2，若2a→+b→//a→，则（ ）
A. B. C. D.
2. csπ2+3π5与以下哪个值相同（ ）
A. B. C. D.
3. 已知a→=2,b→=233,a→,b→=π6，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. 32a→D.
4. 在中，为线段上一点满足，则等于
A. B.
C. D.
5. 已知函数fx=tanωx+π4ω>0的最小正周期为，则的对称中心为（ ）
A. kπ2−π4,0k∈ZB.
C. 2kπ−π2,0k∈ZD. kπ−π2,0k∈Z
6. 已知扇形的周长为，圆心角的弧度数是，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 记的内角的对边分别是，已知a−csinA+sinC+bsinB+asinB=0 ，，CA⃗=3CD⃗−2CB⃗，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，下列命题正确的是（ ）
A. 是的充要条件
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则是直角三角形
D. 若为锐角三角形，则
10. 如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，点距离水面的高度（米）与时间（单位：秒）之间的关系为h=Asinωt+φ+BA>0,ω>0,φ0的最小值为；
①求的值；
②若对于任意的，存在x2∈−π3,π6，使得，求实数的取值范围．
19. 已知为三个内角的对边，且，线段边对应的高为的内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．
（1）求的高的长度；
（2）若的角平分线交于，求，的值
（3）欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且.请合理运用欧拉线定理，求的值．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：已知向量，则2a→+b→=−4+x,4.
因为，所以−4+x×1=4×−2，解得.
2. csπ2+3π5与以下哪个值相同（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：csπ2+3π5=−sin3π5.
3. 已知a→=2,b→=233,a→,b→=π6，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. 32a→D.
答案：A
解析：
思路：根据投影向量的定义计算.
解答过程：在方向上的投影向量为b→csa→,b→·a→a→=233csπ6·a→2=12a→.
4. 在中，为线段上一点满足，则等于
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：
利用向量加法的三角形法则、向量减法的几何意义即可求解.
解答过程：
.
故选：D
方法提示：本题考查了向量加法的三角形法则、减法的几何意义，属于基础题.
5. 已知函数fx=tanωx+π4ω>0的最小正周期为，则的对称中心为（ ）
A. kπ2−π4,0k∈ZB.
C. D.
答案：D
解析：
思路：先利用正切函数的周期公式求出参数，再根据正切函数对称中心的性质列方程求解横坐标，得到的对称中心.
解答过程：对于正切型函数fx=tan⁡ωx+φω>0，最小正周期公式为，
已知最小正周期，代入得，解得，
因此函数为fx=tan⁡12x+π4.
正切函数y=tan⁡u 的对称中心为kπ2,0,k∈Z ，
令整体12x+π4=kπ2k∈Z，解得12x=kπ2−π4，即x=kπ−π2，​
因此的对称中心为kπ−π2,0k∈Z.
6. 已知扇形的周长为，圆心角的弧度数是，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求出该扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
解答过程：设该扇形的半径为，则该扇形的弧长为，由题意可得，解得，
故该扇形的面积为.
7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由可求出的取值范围，根据函数的单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围.
解答过程：因为，当时，，
因为函数在上单调递减，
所以πω3+π6,πω+π6⊆2kπ+π2,2kπ+3π2k∈Z，
所以πω3+π6≥2kπ+π2πω+π6≤2kπ+3π2k∈Z，解得6k+1≤ω≤2k+43k∈Z，
由可得，
又因为，所以可得，即，
又因为，所以，故，所以的取值范围是.
8. 记的内角的对边分别是，已知a−csinA+sinC+bsinB+asinB=0 ，，CA⃗=3CD⃗−2CB⃗，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由正弦定理，得a−ca+c+b2+ab=0 ，即，
又由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=−12.
由两边取平方，CD⃗2=(13CA⃗+23CB⃗)2=19CA⃗2+49CB⃗2+49CA⃗⋅CB⃗
=19b2+49a2+49abcsC=19b2+4a2−2ab=19b+2a2−6ab.
因a>0,b>0,b+2a=4 ，则CD⃗2=19(16−6ab)
则由基本不等式可知4=b+2a≥22ab当且仅当时取等号，即得.
代入得CD⃗2=19(16−6ab)≥1916−6×2=49，
即线段长度的最小值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，下列命题正确的是（ ）
A. 是的充要条件
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则是直角三角形
D. 若为锐角三角形，则
答案：ABD
解析：
思路：利用正弦定理的边角互化和三角形边角大小关系可判断A；利用正弦定理和余弦定理可判断B；利用正弦函数的图象及三角形内角的范围可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D.
解答过程：选项A.在中，由正弦定理；
由三角形"大边对大角"得，因此是的充要条件，A正确.
选项B.由正弦定理，转化为，
则，B正确.
选项C.因为，所以，即，为直角三角形；
或者，此时为钝角，不是直角三角形，C错误.
选项D.若锐角三角形，则，即，且；
在单调递增，因此，D正确.
10. 如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，点距离水面的高度（米）与时间（单位：秒）之间的关系为h=Asinωt+φ+BA>0,ω>0,φ0,ω>0,φ