江西省景德镇一中2024~2025学年高二下册期中考试数学试题（20班）【附解析】

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第I卷（选择题）
一、单选题
1. 已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
2. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
6. 已知圆，直线，则下列错误的是（ ）
A. 直线l与圆C不可能相切
B. 当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C. 直线l与直线垂直
D. 若圆C与圆恰有三条公切线，则
7. 盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ）
A. B. C. D. 3
二、多选题
9. 如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则（ ）

A. 圆锥的母线长为4
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为
C. 由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为
D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
10. 在长方体中，底面是边长为的正方形，，点是的中点，点是上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当时，过点、、的截面是梯形
C. 当点运动到某点时，过点、、的截面是五边形
D. 当时，过点、、截面是矩形
11. 在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（ ）
A. 弦长的最大值为
B. 实数的取值范围为
C. 若，则
D. 存在定点，使得为定值
12. 如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）
A. 平面B. 与所成的角先变大后变小
C. 几何体体积有最大值D. 平面与平面不可能垂直
第II卷（非选择题）
三、填空题
13. 已知直线与直线平行，则与之间的距离是______．
14. “太极图”因其图形如对称阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为_________.
15. 如图，将绘有函数部分图像纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时之间的距离为，则__________.

16. 在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______．
四、解答题
17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求到平面的距离．
18. 记的内角所对的边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若平分交于点，且，求的最大值.
19. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
20. 已知轨迹的方程为.
（1）过点作轨迹的切线，求切线的方程；
（2）经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值.
21. 已知在平行四边形中，边上一点，且满足，.
（1）求的大小；
（2）现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.如图：
（i）证明：平面平面；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
22. 在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
（1）设，
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的外接球体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.