2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟预测押题练习卷10【难】[含答案Word版】

这是一份2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟预测押题练习卷10【难】[含答案Word版】，共4页。试卷主要包含了非选择题部分请按题号用0，在草稿纸、试题卷上作答无效；，5°，等内容，欢迎下载使用。
（本试题卷共24题。时量120分钟。满分120分。）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4.在草稿纸、试题卷上作答无效；
5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[3分]2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．[3分]如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．[3分]下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．[3分]一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．[3分]已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
6．[3分]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
7．[3分]如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
8．[3分]如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．[3分]若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
10．[3分]若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．1＜m＜2
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分。
11．[3分]甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______．
12．[3分]分解因式：__________．
13．[3分]如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中正确的有 ．（填写序号）
①；②；③；④．
14．[3分]若，则 ．
15．[3分]如图，五边形是正五边形，若，则 ．
16．[3分]如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为 ．

三、解答题： 本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．[6分]计算：
18．[6分]先化简，再求值：，其中，．
19．[8分]如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的度数．
20．[8分]如图，在中，，，平分，D是的中点，E是上一点，连接交于点O．

(1)若的周长与四边形的周长相等，求线段的长；
(2)若，，，连接．
①求证：O点在线段的垂直平分线上；
②求的度数（用含的式子表示）．
21．[10分]为加强体育锻炼,增强学生体质,某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试,每人投篮4次,投中一次计1分.随机抽取m名学生的成绩作为样本,将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表.
测试成绩频数分布表

根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出m,n的值和样本的众数;
(2)若该校九年级有900名学生参加测试,估计得分超过2分的学生人数.
22．[10分]2025年株洲市承办湘超期间对部分路段进行限行，免费提供中型、大型客车接送观众．已知1辆大型客车和1辆中型客车共可坐54人，1辆大型客车和3辆中型客车共可坐92人，每辆中型客车每天运营成本约800元，每辆大型客车每天运营成本约1000元．
（1）求每辆中型客车和大型客车分别可以乘坐多少人？
（2）某日的湘超计划用两种型号的客车共200辆，且当天的运营成本不超过178000元，请问计划每天至少可以用中型客车多少辆？
23．[12分]已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
（1）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
（2）在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．
24．[12分]【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是ABC⌢的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明：如图（2），在CD上截取CG=AB，连接MA,MB,MC和MG.∵M是ABC⌢的中点，∴MA=MC.又∵∠A=∠C，∴△MAB≌△MCG，∴MB=MG.
又∵MD⊥BC，∴BD=DG，∴AB+BD=CG+DG，即CD=DB+BA.
图（1）图（2）图（3）图（4）
（1） 【理解运用】如图（1），AB,BC是⊙O的两条弦，AB=10,BC=16，点M是ABC⌢的中点，MD⊥BC于点D，求BD的长.
（2） 【变式探究】如图（3），若点M是AC⌢中点，【问题呈现】中的其他条件不变，CD,BD,AB之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
（3） 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图（4），BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC=45∘ ，若AB=12，⊙O的半径为10，求AD的长.
2026届湖南省初中学业水平考试数学自编模拟预测押题练习卷参考答案
1．【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
过点C作，得到，推出，，即可求出．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选D．
2．【答案】A
【分析】连接，证明为等边三角形，可得，再由圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接，
垂直平分，
∴，
为等边三角形，
，
，
∵，
∴．
3．【答案】C
【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式，根据相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B．，原选项计算错误，不符合题意；
C．，计算正确，符合题意；
D．，原选项计算错误，不符合题意．
故选C．
4．【答案】C
【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，即可．
【详解】∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C．
5．【答案】B
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选B·
6．【答案】B
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选B．
7．【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的2倍则内角和是．n边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
故选D．
8．【答案】C
【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解∶过D作于E，
∵是边长为的等边三角形的外接圆，
∴，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
9．【答案】A
【分析】本题设，利用第一个方程得到的表达式，代入两个不等式化简，即可得到的取值范围，进而计算最大值与最小值的和．
【详解】解：，
设，
，都是正数，
，
由①得： ④，
将④代入②得： ，
化简得：，
，两边同除以得：，
∴，即，
再将④代入③得：，
化简得：，
，两边同除以得：，
∴，
，两边同除以得：，即，
的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为．
10．【答案】A
【详解】试题解析：∵，
∴m2+2+=0，
∴m2+2=-，
∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-，
作函数图象如图，
在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=-的y值随m的增大而增大，
当m=-2时y=m2+2=4+2=6，y=-=-=2，
∵6＞2，
∴交点横坐标大于-2，
当m=-1时，y=m2+2=1+2=3，y=-=-=4，
∵3＜4，
∴交点横坐标小于-1，
∴-2＜m＜-1．
故选A．
考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．
11．【答案】丙
【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可．
【详解】解：∵，，．，
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙.
12．【答案】
【分析】本题考查了提公因式与公式法分解因式；先提取公因式3，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：.
13．【答案】①②④
【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和性质，有理数的运算．根据图示，可得，，据此逐项判定即可．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴，
∵，
，，，，
观察①②③④四个结论，结论③错误.
14．【答案】1
【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出a和b的值，再计算代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴.
15．【答案】72
【详解】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
16．【答案】
【分析】首先连接AE，由题可知，DE=DC=AD,所以△DEC,△AED,△EFC是等腰三角形，由正方形的性质得∠EBC=∠ADE=∠EDC=45°，求出,得出=22.5°，,,所以 ,得出∠AEF=90°，再证明 ,则,所以△AEF为等腰直角三角形，∠FAE=45°，减去∠BAE即可．
【详解】连接AE,如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD,∠ADE=∠EDC=∠CBE=45°， ,
∵DE=CD,
∴AD=DE=CD，
∴∠DAE=∠DEA=∠DEC=∠DCE=67.5°，
∴ , ,
又∵EF=EC,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
在△DAE和△DEC中：
∵
∴△DAE≌△DEC(SAS),
∴AE=EC，
又∵EC=EF,
∴AE=EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠FAE=45°，
∴,
故填：22.5°．
17．【答案】原式=
18．【答案】原式=，当，时，原式=-4．
【分析】直接利用乘法公式化简以及多项式除以单项式化简，进而合并同类项，把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
19．【答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）连接、，由等边对等角可得，判断是的中位线，得到，进而推出，得到，即可证明结论；
（2）连接，根据直角所对的圆周角是直角，得到，再证明，得到，进而即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
点D是的中点，O是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
，
．
答：的度数为
20．【答案】(1)8
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据的周长与四边形的周长相等，可得，即可求解；
（2）①连接，根据线段垂直平分线的性质可得，然后等腰三角形的性质可得垂直平分，从而得到，进而得到，即可求证；②根据直角三角形的两锐角互余可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵D是的中点，
∴，
∵的周长与四边形的周长相等，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，

∵，D是的中点，
∴，
∵平分，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴O点在线段的垂直平分线上；
②∵，即，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】见详解
【详解】(1)m=60,n=15,样本的众数为3分.
由题意得m=15÷25%=60,
∴a=60×30%=18,
∴b=60-12-18-15-6=9,
∴n%=960×100%=15%,
∴n=15.
∵成绩为3分的学生人数最多,
∴样本的众数为3分.
(2)900×12+1860=450(人).
答:估计得分超过2分的学生人数为450.
22．【答案】（1）每辆中型客车可以乘坐19人，每辆大型客车可以乘坐35人
（2）计划每天至少可以用中型客车110辆
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设每辆中型客车可以乘坐x人，每辆大型客车可以乘坐y人，根据1辆大型客车和1辆中型客车共可坐54人，1辆大型客车和3辆中型客车共可坐92人建立方程组求解即可；
（2）设计划每天用中型客车m辆，则计划每天用大型客车辆，根据当天的运营成本不超过178000元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每辆中型客车可以乘坐x人，每辆大型客车可以乘坐y人，
由题意得，，
解得，
答：每辆中型客车可以乘坐19人，每辆大型客车可以乘坐35人；
（2）解：设计划每天用中型客车m辆，则计划每天用大型客车辆，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为110，
答：计划每天至少可以用中型客车110辆．
23．【答案】（1）该三角形最短边的最小值4；
（2）
【分析】（1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答；
（2）设，然后根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为，
由题意可得：，解得：，
∵一个三角形的三边长都是整数，
∴该三角形最短边的最小值4；
（2）解：设，
由题意可得：，
解得：．
24．【答案】
（1） 【解】由阿基米德折弦定理可知，CD=DB+BA.∵AB=10,BC=16，
∴AB+BC=26，∴DB+BA=12(AB+BC)=13，
∴BD=3.
（2） AB+CD=BD.证明如下：
如图（1），在BC上取BG=BA，连接MA,MB,MC,MG.
图（1）
∵ 点M是AC⌢中点，
∴AM=CM，AM⌢=MC⌢,
∴∠ABM=∠CBM.
在△ABM和△GBM中，BA=BG,∠ABM=∠GBM,BM=BM,
∴△ABM≌△GBM(SAS)，
∴AM=GM，∴GM=CM.
∵DM⊥BC，∴CD=DG，
∴CD=BD−BG=BD−AB，即AB+CD=BD.
（3） ∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90∘.∵⊙O的半径为10，
∴BC=20.∵AB=12，∴ 由勾股定理得AC=BC2−AB2=16，
∴AC+AB=16+12=28.
①当点D在AC上方时，如图（2），过点D作DM⊥AC于点M，连接OD,CD.
图（2）
∵∠DAC=45∘ ，
∴∠BAD=135∘ ，∴∠BCD=45∘ ，
∴∠BOD=90∘ ，∴∠COD=90∘ ，
∴CD⌢=BD⌢，即点D是BAC⌢的中点，
∴CM=AM+AB,∴CM=12(AC+AB)=14，
∴AM=2，∴AD=2AM=22.
②当点D在AC下方时，如图（3），过点D作DN⊥AC于点N.
图（3）
∵∠DAC=45∘ ，∠BAC=90∘ ，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD⌢=CD⌢，即点D是BC⌢的中点.
同（2）可得，AN=CN+AB，
∴AN=12(AC+AB)=14，
∴AD=2AN=142.
综上可知，AD的长为22或142.成绩/分
频数
4
12
3
a
2
15
1
b
0
6