2025-2026学年甘肃省兰州二中等校高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州二中等校高二（下）期中数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为（ ）
A. 1B. 2C. eD.
2.若向量=（2，0，-1），向量=（0，1，-2），则2-=（ ）
A. （-4，1，-4）B. （-4，1，0）C. （4，-1，0）D. （4，-1，-4）
3.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. （2x）′=2xD. （sinx）′=-csx
4.已知A（0，4，0），B（3，0，0），C（0，0，2），则平面ABC的一个法向量可以为（ ）
A. （4，3，6）B. （-4，3，6）C. （4，-3，6）D. （4，3，-6）
5.已知f′（2）=1，则=（ ）
A. 1B. 2C. -1D. -2
6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90°，M是B1D1的中点，则AM的长为（ ）
A. B. C. D.
7.曲线y=lnx上的点到直线x-y+1=0的最短距离是（ ）
A. B. 2C. D.
8.已知空间四点A（1，2，3），B（1，1，2），C（2，1，1），D（1，1，1），则下列选项正确的是（ ）
A. AB∥CDB. 与夹角的余弦值为
C. AC⊥BDD. AB⊥CD
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象，则以下说法正确的为（ ）
A. -2是函数y=f（x）的极值点
B. 函数y=f（x）在x=1处取最小值
C. 函数y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零
D. 函数y=f（x）在区间（-2，2）上单调递增
10.直线l的方向向量为，两个平面α，β的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直线l⊥平面α
B. 若，则平面α⊥平面β
C. 若，则平面α，β所成锐二面角的大小为
D. 若，则直线l与平面α所成角的大小为
11.已知函数，则（ ）
A. f（x）的递增区间为（-∞，e）B. f（x）极大值为
C. f（x）的极大值点为eD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，则= .
13.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且AB=AD=AP=3，，则= .
14.在空间直角坐标系中，平面α的一个法向量的坐标为（4，4，-7），直线l的一个方向向量的坐标为（8，-4，1），则直线l与平面α所成角的余弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=（x-2）ex.
（1）求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间.
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E，F，G分别是BB1，D1B1，AB的中点.
（1）求证：EF⊥A1D；
（2）求证：EF∥面A1DG.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)＝ln x+a(1-x)．
（1）讨论f(x)的单调性；
（ 2）当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=-x3+3x+1，x∈[-2，2].
（1）求f（x）的值域；
（2）讨论函数g（x）=f（x）-a的零点个数.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中，AB=1，AD=2AB，且∠ABC=60°，点E为PD的中点.
（1）证明：PB∥平面AEC.
（2）求点B到平面AEC的距离.
（3）求平面PBC与平面AEC所成锐二面角的余弦值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】6
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵f（x）=（x-2）ex，∴f（0）=-2，
且f′（x）=（x-1）ex，∴f′（0）=-1，
∴函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x-2，即x+y+2=0．
（2）∵f（x）=（x-2）ex，f（x）的定义域为R，
∴由（1）得f′（x）=（x-1）ex．
令f′（x）=0，解得x=1，
∴当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
即函数f（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．
16.【答案】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E，F，G分别是BB1，D1B1，AB的中点，
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz，如图，

则A1（2，0，2），D（0，0，0），E（2，2，1），F（1，1，2），G（2，1，0），
则=（-1，-1，1），=（-2，0，-2），
∵=（-1）×（-2）+1×（-2）=0，
∴EF⊥A1D．
设面A1DG的法向量为=（x，y，z），
∵=（2，0，2），=（2，1，0），
则，令x=1，得=（1，-2，-1），
∵=（-1）×1+（-1）×（-2）+1×（-1）=0，
∴，∴EF⊥n，
又EF⊄面A1DG，∴EF∥面A1DG．
17.【答案】​解：（1）f′（x）=-a（x＞0）,
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0，
当x∈时，f′（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在单调递减．
（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值，
当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，
最大值为=ln+a
=-lna+a-1，
因此＞2a-2等价于lna+a-1＜0，
令g（a）=lna+a-1，则g（a）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=0，
于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0，
因此，a的取值范围是（0，1）．
18.【答案】[-1，3]；
当-1＜a＜3时，函数g（x）有3个零点，
当a=3，或a=-1时，函数g（x）有2个零点，
当a＞3，或a＜-1时，函数g（x）没有零点
19.【答案】证明：连接平行四边形ABCD的对角线BD，交AC于F，

在△PBD中，F是BD的中点，E是PD中点，所以EF∥PB，
又EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC；
；