2025--2026学年福建厦门市松柏中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建厦门市松柏中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则=（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A. 12B. 24C. D.
3. 已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）
A. 3B. C. 1D.
7. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ）
A. B. 0C. 12D.
二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 与的夹角余弦值为
C. 与的夹角是锐角
D. 向量在向量上的投影向量为
10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则一定为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，且有两解，则的取值范围是
D. 若的平分线交AC于点，则
11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥的体积为4
C. 三棱锥的外接球表面积为
D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分.
12. __________.
13. 某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，）
14. 已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共小题，共分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，是虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求m的值：
（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，.
（1）求B的大小；
（2）若，且，是边的中线，求长度.
17. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．

（1）求证：平面；
（2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：
18. 在中，内角对应的边分别是，且
.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”.试求解下列问题.
（1）已知向量满足，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的最小值.
数学
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若，则=（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由共轭复数的定义判断.
解答过程：的共轭复数是.
2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A. 12B. 24C. D.
答案：A
解析：
解答过程：根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形，
且，，，
所以的面积为．
3. 已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由题意可知.
4. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：D
解析：
思路：利用线面位置关系，逐项判断即得.
解答过程：对于A，，则或，A错误；
对于B，，则或，B错误；
对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误；
对于D，由线面平行的性质知，D正确.
故选：D
5. 的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先应用余弦定理得出边长，再应用同角三角函数关系得出正弦值，最后应用正弦定理得出外接圆直径即可.
解答过程：设边长分别为3，2的两边夹角为，另一条边为，
则由余弦定理得，
，．
由，得．
．
故选：B.
6. 已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）
A. 3B. C. 1D.
答案：B
解析：
思路：利用圆的周长公式求底面半径，由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.
解答过程：由题设，底面半径，母线长，
所以圆锥的高.
故选：B
7. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．
解答过程：球的体积为，设铁锭的高为，
则正四棱台的体积为，
由，可得，解得.
8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ）
A. B. 0C. 12D.
答案：D
解析：
思路：建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解.
解答过程：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
因为，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选:D.
二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 与的夹角余弦值为
C. 与的夹角是锐角
D. 向量在向量上的投影向量为
答案：BD
解析：
思路：对A，根据向量共线的坐标表示即可判断；对B，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对C，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对D，根据向量的几何意义即可判断.
解答过程：对A，由题意知， ，所以与不平行，故A错误；
对B，由题意知，所以，故B正确
对C，，所以与的夹角是钝角，故C错误；
对D，向量在向量上的投影向量为
，故D正确.
故选：BD
10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则一定为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，且有两解，则的取值范围是
D. 若的平分线交AC于点，则
答案：BCD
解析：
解答过程：选项A，因为，即，所以有，
整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确；
选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确；

选项D，的平分线交于点D，，由，
由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确.
11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥的体积为4
C. 三棱锥的外接球表面积为
D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
答案：ACD
解析：
思路：对于A，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于B，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可；对于D，分别求出将正方形沿着展在平面，及将沿着展开到与平面重合两种情况分别求解，即可比较大小.
解答过程：对于A，由中位线可得，在正方体中，，所以，
所以四点共面，又因为，所以截面为梯形，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以表面积，故C正确；
对于D，记的中点为Q，如图所示，
若正方形沿着展在平面，
在直角中，可得，
若沿着展开到与平面重合，
在直角中，可得，综上，最短距离为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分.
12. __________.
答案：
解析：
思路：由复数的除法计算得到结果.
解答过程：依题意，，
所以.
13. 某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，）
答案：20
解析：
思路：根据正弦定理计算求解.
解答过程：如图；
由题意得：，，，则．
由正弦定理，
得，所以乙船的航行速度是．
故20.
14. 已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______．
答案：
解析：
解答过程：由，得，
所以，
所以，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
四、解答题：本题共小题，共分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，是虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求m的值：
（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
答案：（1）1 （2）
解析：
思路：（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值；
（2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值.
（1）因为复数是纯虚数，所以.
由，解得或.
当时， ，符合要求；
当时，，不符合要求，舍去，
所以m的值为1；
（2）当时，复数，
由题意知复数是关于x的方程的一个根.
因为方程的系数为实数，
所以方程的另外一个根是的共轭复数.
所以由韦达定理可得，
解得.
16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，.
（1）求B的大小；
（2）若，且，是边的中线，求长度.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）首先结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理解三角形即可；
（2）法一：结合中线公式求出，然后借助平面向量的运算求出，进而求出的模长，即长度；法二：在中利用余弦定理求出，结合得到，然后在和结合余弦定理可得，解方程即可求出结果.
解答过程：解：因为，即
即，所以，故
法一：中线公式：由，故
又，则
故，故
法二：，则，故，
又
即
17. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．

（1）求证：平面；
（2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证.
（1）因为四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）连接，交于，连接

因为四边形是平行四边形，
所以是的中点，又因为M是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以，平面
又因为平面，平面平面，
所以，
18. 在中，内角对应的边分别是，且
.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
答案：（1）；
（2） （3）
解析：
思路：（1）由正弦定理化边为角，然后结合两角和的正弦公式、诱导公式求解；
（2）由余弦定理求得，再用三角形面积公式计算；
（3）利用诱导公式、两角和的正弦公式化简，再由锐角三角形确定角范围，然后由正弦函数性质得取值范围.
（1）因为中，，由正弦定理得，
所以，即，
又，，则，所以；
（2）由余弦定理得，即，
解得（舍去），
所以；
（3）sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B)=sin(π3+B) ,
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”.试求解下列问题.
（1）已知向量满足，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的最小值.
答案：（1）2 （2）7
（3）16
解析：
思路：（1）借助新定义计算即可得；
（2）借助所给定义及三角函数间得关系，计算可得，代入数据计算可得；
（3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得.
（1）由已知，得，
设的夹角为，由，可得，即，
又，所以，
所以；
（2）设，则，，
设的夹角为，则，
，
所以，
又，
所以.
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是16.