2025-2026学年福建省厦门市松柏中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年福建省厦门市松柏中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点B是点A(2,3,1)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|=( )
A. 5B. 10C. 13D. 4
2.已知直线l经过(1,2)和(2,3)两点，则l的倾斜角为( )
A. −π4B. π6C. π4D. 3π4
3.在等差数列{an}中，若a3+a11=10，则a7=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在线段OA上，且OM=3MA，点N为BC的中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12c
B. 34a+23b−12c
C. 12a+12b−12c
D. −34a+12b+12c
5.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且f(x)=2f′(1)lnx−2x，则f′(1)=( )
A. 1.B. 2C. −1D. −2
6.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a2=2，a9=8a6，则S10=( )
A. 1022B. 1023C. 1024D. 1025
7.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为( )
A. 17
B. 7
C. 2 17
D. 9
8.已知F是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=5|QF|且∠PFQ=120°，则椭圆E的离心率为( )
A. 76B. 13C. 216D. 215
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B. 直线kx+y+3k+1=0必过定点(−3,−1)
C. 直线2x−4y−1=0与直线x−2y=0的距离为 510
D. 过点P(2,3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y−5=0
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a80，则下列选项正确的是( )
A. 数列{an}为递减数列B. a70时n的最大值是14
11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点M(x0,4)在抛物线C上，直线MO，MF分别与l交于A，B，直线MF与抛物线C交于另一点N，则( )
A. F的坐标为(2,0)B. |AB|=5
C. |AB|=35D. S△OFM0,b>0)的离心率为 5，左，右焦点分别为F1F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|=2，则△PF1F2的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1a4=7，S4=16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{2n}插入{an}中，并将两个数列的项按从小到大的顺序排列构成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前30项和T30．
16.(本小题15分)
已知圆过点A(1,−1)，B(−1,1)且圆心E在直线x+y−2=0上．
(1)求圆E的方程；
(2)若直线l经过点Q(3,5)，且与圆E相交截得的弦长为2 2，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图所示，椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；
(2)若S△ABF2=3 54，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角B−AD−C为60°，如图2，M为CD的中点．
(1)证明：AD⊥BM．
(2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值．
(3)试问在线段AC上是否存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx,g(x)=a(x−1x)(a∈R)．
(1)若a=12，求证：关于x的方程f(x)=g(x)有且只有一个实数根；
(2)记F(x)=f(x)−g(x)，试讨论F(x)的单调性；
(3)证明：对任意正整数n，不等式1(n+1)ln(n+1)+1(n+2)ln(n+2)+…+12nln(2n)>4n2+3n+14n3+6n2+2n恒成立．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，|OB|= 22+32= 13．
故选：C．
根据空间直角坐标系中点的特征结合空间向量的模长坐标表示计算即可．
本题考查了空间向量的模长坐标表示，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：直线l经过两点(1,2)和(2,3)，
则直线的斜率k=y2−y1x2−x1=3−22−1=1；
倾斜角的范围是[0,π)，
则直线l的倾斜角为π4．
故选：C．
结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由等差中项的定义可知，a3+a11=2a7=10，解得a7=5．
故选：C．
由等差数列的等差中项求得结果．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为OA=a，OB=b，OC=c，OM=3MA，点N为BC的中点，
所以MN=ON−OM=12(OB+OC)−34OA=−34a+12b+12c．
故选：D．
根据空间向量的线性运算，用OA、OB、OC表示MN即可．
本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=2f′(1)lnx−2x，所以f′(x)=2f′(1)⋅1x−2，
所以f′(1)=2f′(1)⋅1−2，解得f′(1)=2．
故选：B．
求f(x)=2f′(1)lnx−2x导数，利用x=1求出f′(1)．
本题考查了求基本初等函数的导数，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：Sn是等比数列{an}的前n项和，a2=2，a9=8a6，
设等比数列的公比为q(q≠0)，
由题意可得a1q=2a1q8=8a1q5，解得a1=1q=2，
则S10=a1(1−q10)1−q=1×(1−210)1−2=210−1=1023．
故选：B．
设等比数列的公比为q(q≠0)，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求；
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的运算和数量积运算，属于基础题．
由CD=CA+AB+BD，得CD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2CA⋅BD+2AB⋅BD即可计算答案．
【解答】解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴CA⋅AB=0，DB⋅AB=0．
∵CD=CA+AB+BD，
∴CD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2CA⋅BD+2AB⋅BD
=62+42+82+2×6×8cs120°=68，
∴CD=2 17．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，根据椭圆对称性可知四边形PFF′Q为平行四边形，
则|QF|=|PF′|，且由∠PFQ=120°，可得∠FPF′=60°，
所以|PF|+|PF′|=6|PF′|=2a，则|PF′|=13a，|PF|=53a，
由余弦定理可得(2c)2=|PF|2+|PF′|2−2|PF||PF′|cs60°=(|PF|+|PF′|)2−3|PF||PF′|，
即4c2=4a2−53a2=73a2，
∴椭圆的离心率e= c2a2= 712= 216，
故选：C．
根据题意设椭圆的右焦点，根据椭圆定义及余弦定理可求得a和c的关系，则椭圆的离心率可求．
本题考查椭圆的性质，椭圆离心率的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题题．
9.【答案】BC
【解析】解：当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率大于倾斜角为钝角时的斜率，可知A项的结论不正确；
将直线kx+y+3k+1=0，化为k(x+3)+y+1=0，
可知直线kx+y+3k+1=0经过直线x+3=0与直线y+1=0的交点(−3,−1)，故B项正确；
将直线x−2y=0化为2x−4y=0，
可得直线2x−4y−1=0与直线x−2y=0的距离d=|−1−0| 22+42= 510，故C项正确；
当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，此时直线的方程为y=32x，
因此，过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y−5=0或y=32x，可知D不正确．
故选：BC．
根据直线的倾斜角与斜率的定义，通过举反例判断出A项的正误；将所给直线方程化为k(x+3)+y+1=0，从而求出直线经过的定点坐标，可判断出B项的正误；根据两平行直线之间的距离公式判断出C项的正误；根据经过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，对D项作出判断，进而可得本题的答案．
本题主要考查直线的基本量与基本形式、平行直线之间的距离公式等知识，考查了基本概念的理解，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，数列{an}是等差数列，设其公差为d，
依次分析选项：
对于A，等差数列{an}中，易得a7+a8=a5+a10>0，又由a80，
故d=a8−a70，B错误；
对于C，由A的结论，a7>0且a80，
S15=(a1+a15)×152=15a80时n的最大值是14，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由等差数列的性质和通项公式分析A、B，由等差数列前n项和的性质分析C、D，综合可得答案．
本题考查等差数列的前n项和，涉及等差数列性质和应用，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A，由抛物线C：y2=4x，可得p=2，所以p2=1且焦点在x轴正半轴上，则焦点F(1,0)，所以A错误；
对于BC，直线MO，MF的方程分别为y=x，x=34y+1，
分别与l联立得A(−1,−1)，B(−1,−83)，所以|AB|=53，所以B错误，C正确；
对于D，联立x=34y+1y2=4x，得y2−3y−4=0，解得N(14,−1)，
所以S△ABN=12|AB|⋅|xN+1|=2524，由S△OFM=12|OF|⋅4=20,b>0)的离心率为 5，左，右焦点分别为F1F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.如图：
设PF2与渐近线y=bax交于M，
则F2M⊥OM,tan∠MOF2=ba,sin∠MOF2=bc，
所以|F2M|=|OF2|⋅sin∠MOF2=b,|OM|= |OF2|2−|MF2|=a，
由O，M分别F1F2与PF2的中点，
知OM/​/PF1且|OM|=12|PF1|=1，即a=1，
由e= 5得c= 5,b=2，所以S△PF1F2=4S△OMF2=4×12×2×1=4．
故答案为：4．
设PF2与渐近线y=bax交于M，由对称性知OM/​/PF1且|OM|=12|PF1|=1，在直角△OMF2中可求得a，b，再由S△PF1F2=4S△OMF2求得S△PF1F2．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的应用，三角形面积的求法，是中档题．
15.【答案】an=2n−1 687
【解析】解：(1)设等差数列的公差为d，则
因为a1a4=7，S4=16，
所以a1(a1+3d)=74a1+6d=16，解得a1=1d=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
(2)由题意，数列{an}的项分别为1，3，5，7，…，将数列{2n}的项分别为2，4，8，16，…，
所以数列{bn}的前30项来自数列{2n}的项为21到25，共5项，其余25项来自数列{an}，
所以数列{bn}的前30项和T30=25×(1+49)2+2+4+8+16+32=687．
(1)设等差数列的公差为d，利用a1a4=7，S4=16，建立方程组，求出数列的首项与公差，可得数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{bn}的前30项来自数列{2n}的项为21到25，共5项，其余25项来自数列{an}，进而求和得出结论．
本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查等比数列的求和，解题的关键是确定数列{bn}的前30项的组成，属于中档题．
16.【答案】(x−1)2+(y−1)2=4；
x−y+2=0或7x−y−16=0
【解析】(1)设圆E的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
由题意得(1−a)2+(−1−b)2=r2(−1−a)2+(1−b)2=r2a+b−2=0，解得a=1b=1r2=4，
所以圆E的圆的标准方程是(x−1)2+(y−1)2=4；
(2)由(1)得圆E的圆心为E(1,1)，半径r=2，
根据直线l被圆E截得的弦长为2 2，可知E到直线l的距离d= 22−( 2)2= 2．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，
圆心E到直线的距离为2，不符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设l：y−5=k(x−3)，即kx−y+5−3k=0．
由|k−1+5−3k| k2+1= 2，解得k=1或k=7，可得l的方程为x−y+2=0或7x−y−16=0．
(1)设出圆E的标准方程，结合题意建立关于a、b、r的方程组，解之即可得到本题的答案；
(2)按直线l的斜率是否正在加以讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式求出符合题意的直线l的方程．
本题主要考查直线的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
17.【答案】焦距为2，短轴长为2 3，离心率e=12 x±2y+1=0
【解析】解：(1)由已知方程得到a2=4，b2=3，所以a=2，b= 3，
由c2=a2−b2=1，得c=1，
故焦距为2c=2，短轴长为2b=2 3，离心率e=ca=12；
(2)由(1)知焦点坐标为F1(−1,0)，F2(1,0)，则|F1F2|=2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由题意可设直线l的方程为x=my−1，即x−my+1=0，
与x24+y23=1联立，消去x得(3m2+4)y2−6my−9=0，
则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= (6m3m2+4)2−4⋅−93m2+4
= 36m2+36(3m2+4)(3m2+4)2=12 m2+13m2+4，
S△ABF2=12|F1F2||y1−y2|=|y1−y2|=12 m2+13m2+4=3 54，
解得m=±2，所以直线l的方程为x±2y+1=0．
(1)求出a=2，b= 3，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案；
(2)设出直线l的方程为x−my+1=0，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由S=12|F1F2||y1−y2|求出面积，可得关于m的方程，求解即可．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】证明：在图1中的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，可得AD⊥BC，
所以在图2中，可得AD⊥BD，AD⊥CD，
因为BD∩CD=D，且BD，CD⊂平面BCD，所以AD⊥平面BCD，
又因为BMC平面BCD，所以AD⊥BM 155 存在；AQ= 22
【解析】解：(1)证明：在图1中的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，可得AD⊥BC，
所以在图2中，可得AD⊥BD，AD⊥CD，
因为BD∩CD=D，且BD，CD⊂平面BCD，所以AD⊥平面BCD，
又因为BMC平面BCD，所以AD⊥BM；
(2)以D为原点，垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,2)，B( 3,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(0,1,0)，
则AB=( 3,1,−2)，BM=(− 3,0,0)，AD=(0,0,−2)，
设平面ABM的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅AB= 3x1+y1−2z1=0n1⋅BM=− 3x1=0，
取z1=1，可得x1=0，y1=2，所以n1=(0,2,1)，
设平面ABD的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⋅AB= 3x2+y2−2z2=0n2⋅AD=−2z2=0，
取x2=−1可得y2= 3，z2=0，所以n2=(−1, 3,0)，
所以cs〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2|=2 32 5= 155，
所以平面MAB和平面DAB所成角的余弦值为 155；
(3)假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210，
由(2)得MA=(0,−1,2)，AC=(0,2,−2)，
设AQ=λAC=(0,2λ,−2λ)，则MQ=MA+AQ=(0,2λ−1,2−2λ)，λ∈[0,1]，
平面ABM的一个法向量为n1=(0,2,1)，
设直线MQ与平面ABM所成角为θ，则|sinθ=|cs〈n1,MQ〉|
=|n1⋅MQ||n1||MQ|=|2(2λ−1)+2−2λ| 5× (2λ−1)2+(2−2λ)2= 210，
解得λ=14或λ=−58(舍去)，
所以存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 210，此时AQ= 22．
(1)根据题意，证得AD⊥平面BCD，得到AD⊥BM；
(2)以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面ABM和平面ABD的法向量为n1=(0,2,1)和n2=(−1, 3,0)，结合向量的夹角公式，即可求解；
(3)设AQ=λAC=(0,2λ,−2λ)，求得MQ=(0,2λ−1,2−2λ)，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得λ的值，即可得到答案．
本题考查空间向量法求解二面角及直线与平面垂直，属于中档题．
19.【答案】证明：当a=12时，g(x)=12(x−1x)，
则由f(x)=g(x)，可得lnx−12x+12x=0，
令h(x)=lnx−12x+12x，x∈(0,+∞)，
则h′(x)=1x−12−12x2=−(x−1)22x2≤0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，
又h(1)=ln1−12+12=0，则h(x)仅有x=1一个零点，
即方程f(x)=g(x)有且只有一个实根 当a≤0时，F(x)在(0,+∞)上单调递增；当04n2+3n+14n3+6n2+2n，得证
【解析】解：(1)证明：当a=12时，g(x)=12(x−1x)，
则由f(x)=g(x)，可得lnx−12x+12x=0，
令h(x)=lnx−12x+12x，x∈(0,+∞)，
则h′(x)=1x−12−12x2=−(x−1)22x2≤0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，
又h(1)=ln1−12+12=0，则h(x)仅有x=1一个零点，
即方程f(x)=g(x)有且只有一个实根．
(2)F(x)=lnx−a(x−1x)，则F′(x)=1x−a(1+1x2)=−ax2+x−ax2，x∈(0,+∞)，
当a≤0时，−ax2+x−a>0，所以F′(x)>0，故F(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，令φ(x)=−ax2+x−a，x>0，则Δ=1−4a2，
当Δ=1−4a2≤0，即a≥12时，φ(x)≤0，即F′(x)≤0，故F(x)在(0,+∞)上单调递减；
当Δ>0，即0