2025--2026学年福建莆田第二中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建莆田第二中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的虚部为（ ）
A. B. 0C. 1D. 6
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
3. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（ ）
A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π
8. 已知正方体的外接球表面积为，点在线段上（含端点），则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数为纯虚数，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ）

A. ，M，O三点共线B. 平面
C. 直线与平面所成角的为D. 直线和直线是共面直线
11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A. 三个内角满足关系
B. 的周长为
C. 若为的中点，，与交于点，则的长为
D. 若为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______.
13. 在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______．
14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，，其中是夹角为的单位向量．
（1）求的模．
（2）若与夹角为钝角，求λ的取值范围．
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周长．
17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
18. 如图，△ABC是边长为4的正三角形，点D是△ABC所在平面外一点，AD＝3且AD⊥平面ABC，E为AB的中点．
（1）求证：CE⊥平面ABD；
（2）求直线AD和平面CDE所成角的正弦值；
（3）求点A到平面BCD的距离．
19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点.
（1）求证: 平面;
（2）若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的虚部为（ ）
A. B. 0C. 1D. 6
答案：C
解析：
思路：根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
解答过程：因为，所以其虚部为1，
故选：C.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
答案：B
解析：
思路：根据共线的坐标关系即可求解.
解答过程：由可得，解得，
故选：B
3. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可
解答过程：因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，
所以
,
故选：A
4. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长.
解答过程：如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图，
因为，可得，，
又的周长为，所以，即，
则，则.
故选：A.
5. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解.
解答过程：为等腰三角形，即充分性成立
为等腰三角形或或，
不一定得到，即必要性不成立，
“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件，
故选：A
6. 已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
答案：B
解析：
解答过程：设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为，
圆柱的体积为，
所以圆台的体积为，解得（舍去）.
7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（ ）
A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π
答案：C
解析：
思路：由余弦定理可得，再结合正弦定理可得的外接圆半径，即可求面积.
解答过程：因为，所以，得，
设的外接圆半径为，则，可得，
故的外接圆面积.
故选：C.
8. 已知正方体的外接球表面积为，点在线段上（含端点），则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据对称性得到，将问题转化为平面中点到直线的距离问题，垂线段最短，两边端点处最长，即可求解.
解答过程：
依题意，，解得，
根据对称性得，
在中，因为，所以是等腰三角形，
当为的中点时，取得最小值，
当点与点或点重合时，取得最大值，
所以的取值范围是.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数为纯虚数，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：AB
解析：
思路：使用虚数、纯虚数的概念求解.
解答过程：由题意知，解得，选项正确；
由A得，所以，选项正确；
，选项错误；
，选项错误.
10. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ）

A. ，M，O三点共线B. 平面
C. 直线与平面所成角的为D. 直线和直线是共面直线
答案：ABC
解析：
思路：根据正方体的特性，依次分析各项正误.
解答过程：由正方体的特性可知，为正方体的体对角线，平面，平面平面于，又交平面于点，故点在上，故A项正确；
由正方体的特性可知，平面，平面，故，同理，，于点，故平面，故B项正确；
设正方体的边长为1，直线与平面的夹角为，则，点到平面的距离为，故，，C项正确；
直线与直线为异面直线，故D项错误.
故选：ABC.
11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A. 三个内角满足关系
B. 的周长为
C. 若为的中点，，与交于点，则的长为
D. 若为的外心，则
答案：ABD
解析：
思路：选项A，利用正弦定理得出三边关系，再结合余弦定理可判断；选项B，由三角形面积公式计算可得三边长，再计算周长；选项C，先求出的长度，再利用平面向量基本定理求出在的位置，进而求出的长度；选项D，作出的中点，结合外心性质和平面向量数量积的几何意义求解.
解答过程：由题意，，不妨设.
由余弦定理可得，，，选项A正确.
又，.则.
的周长为，选项B正确.
如图所示，为的中点.

，.
设，.
，解得，，，选项C错误.
如图所示，取的中点，记为，是的外心.
，结合平面向量数量积的几何意义可知：
.
选项D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______.
答案：
解析：
思路：利用投影向量公式即可求解.
解答过程：由题可得：，所以，，
则在方向上的投影向量的坐标为
13. 在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______．
答案：
解析：
解答过程：由余弦定理，，
所以.
解得（舍去负根）．
因为AD平分，所以．
由，
得，
即．
整理得．
14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________．
答案：
解析：
思路：根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；
解答过程：
圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且，
由圆柱与球的性质知，
即，，
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，，其中是夹角为的单位向量．
（1）求的模．
（2）若与夹角为钝角，求λ的取值范围．
答案：（1）；
（2），且．
解析：
思路：(1)根据模长公式进行计算；
(2)夹角为钝角，根据且，利用向量的夹角计算公式，求参数的取值范围．
（1）解：因为，
且，夹角为，
代入可求得：，
故；
（2）设为与夹角，
则，
因为夹角为钝角，故且，
故，且，解得：，且．
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周长．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
答案：（1）
（2）预算资金够用
解析：
思路：（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
（1）解：由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用．
18. 如图，△ABC是边长为4的正三角形，点D是△ABC所在平面外一点，AD＝3且AD⊥平面ABC，E为AB的中点．
（1）求证：CE⊥平面ABD；
（2）求直线AD和平面CDE所成角的正弦值；
（3）求点A到平面BCD的距离．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据平面，可得，又为正三角形，为的中点，可知；
（2）由（1）得平面平面，所以在平面上的射影在上，故即为所成的角，在中，可求直线与平面所成的角；
（3）取的中点，连接，过点在平面内作于，可证得平面，所以平面，利用，可求点到平面的距离．
（1）解：证明：∵平面，平面，∴，
又∵为正三角形，为的中点，∴，
∵，∴平面；
（2）解：由（1）得平面平面，
∵在平面上的射影在上，则即为直线和平面所成的角，
在中，，，∴，
∴，即直线和平面所成角的正弦值为；
（3）解：取的中点，连接，过点在平面内作于，
可得平面，∵平面，
可得， ，
利用等面积可知，，
∴，∴，
所以点到平面的距离为．
19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点.
（1）求证: 平面;
（2）若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长.
答案：（1）证明见解析；
（2）存在为线段中点，证明见解析；
（3）作图见解析，截面周长为.
解析：
思路：（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论；
（2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论；
（3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可.
（1）取线段的中点，连接，
因为分别为线段的中点，
所以，且，
又，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）当为线段中点时，平面，
证明：取线段中点，连接
因为分别为线段的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
又面，
则面面，又面，
所以面，
所以当为线段中点时，平面；
（3）取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段的中点，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，
则，
所以截面周长为.