福建省莆田第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学 含答案

这是一份福建省莆田第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学 含答案，共9页。试卷主要包含了98等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．下列求导结果正确的是（ ）
A． B．csπ6，=−sinπ6
C． D．
2．某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ）
A． B． C． D．
3．在展开式中，的系数为（ ）
A．10B．90C．270D．405
某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（ ）
A．28% B．32% C．35% D．40%
关于函数fx=xe−x说法正确的是（ ）
A．没有最小值，有最大值B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值D．没有最小值，也没有最大值
6．已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．运动会期间，将甲、乙等6名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．78B．126C．150D．168
8．已知直线与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C点，A，B，C的横坐标分别为，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若x10=a0+a1x+1+a2x+12+...+a10x+110 ，则（ ）
A．a0=−1 B．a2=45
C．a1+a2+...+a10=1 D．|a0|+|a1|+|a2|+...+|a10|=1024
10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知曲线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处切线交于点，设，则（ ）
A． B．存在a值，使得有极大值
C．对任意满足题意的a值，有极小值 D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．有6张卡片，分别标有数字，现从这6张卡片中随机抽出2张，则抽出的2张卡片上的数字之和等于5的概率为 ．
13．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为
14．若曲线y=kx与曲线有三条公切线，则的取值范围是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
16．已知等差数列满足：，，为其前项和，.
（1）求数列的通项公式、前项和；
（2）令bn=Sn2n，求bn的最大值
17．已知函数fx=ex−1−ax，(aϵR)．
求函数fx的最小值；
若a=0，m≤1，证明fx>lnx+m
18．某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率；
(2)记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率大，求证：．
19．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若有3个零点，，，其中.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：.
参考答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12．
【详解】从6张卡片中随机抽出2张，则样本空间中总的样本点数为，
其中抽出的2张卡片上的数字之和等于5的组合有1，4或2，3共2种，
所以抽出的2张卡片上的数字之和等于5的概率为．
故答案为：.
13．
【详解】依题意，在区间上有解，
即在区间上有解，
设，则，故只需求在上的最小值，
而在时，取得最小值，故得，
则实数的取值范围为.
故答案为：
14．
【详解】设公切线为是与的切点，由，得，
设是与的切点，由，得，
所以的方程为，因为，整理得，
同理，因为，整理得，
依题意两条直线重合，可得，
消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，
当或时，；当时，，
所以有极小值为，有极大值为，
因为，，，所以，
当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图:
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，
故答案为：
四、解答题
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在长方体中，平面，平面，∴，
∵，，，平面，
∴平面.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，则，，，，，
∵平面，平面，∴，
∵，且，，平面，∴平面，
∴平面的法向量为，
设平面的法向量，由，，
得，取，得，，∴，
∴，∴二面角的正弦值为.
16、（1），Sn=n2 ；（2）98
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
所以，.
所以Sn=na1+nn+1d2=n2
bn=n22n
bn≥bn−1得到n22n≥n−122n−1
bn≥bn+1得到n22n≥n+122n+1
合并得到n2−4n+2≤0n2−2n−1≥0
所以1+2≤n≤2+2，，所以n=3
bmax=98
17
函数的解析式为fx=ex−1−ax,则:,f’x=ex−1−a
①当a≤0时f’x>0恒成立,函数单调递增，无最值
②当a>0时，令f’x=0，ex−1=a，则x=lna+1
当xϵ−∞，lna+1，f’x0函数单调递增
在x=lna+1处取最小值。flna+1=−alna
函数fx的最小值为−alna
若a=0时，fx=ex−1
需要证明ex−1>lnx+m
又ex−1>x，x+m−1lnx+m
只需要证明x>x+m−1
又因为m≤1，所以x≥x+m−1
当m=1，x=0带入，不等式成立。
所以fx>lnx+m
18．(1)
(2)分布列见详解，
(3)证明见详解
【详解】（1）设事件C为“某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐”，
因为30天中张同学午餐去A餐厅用餐的天数为，
午餐去A餐厅用餐且晚餐去B餐厅用餐的天数为，
所以．
（2）由题意可知：X的所有可能取值为1和2，
所以，
，
所以X的分布列为
X的数学期望．
（3）由题知，则
可知，
可得，
即，
所以，即
19．(1)单调递增区间为，无单调递减区间.
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）当时，，，
则在恒成立，所以在单调递增，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）（ⅰ），
，，则除1外还有两个零点.
，令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去；
当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，则，，
所以.
当时，，，则单调递增；
当时，，，则单调递减；
当时，，，则单调递增；
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有3个零点，，.
综上，实数的取值范围为
（ⅱ）因为，
所以若，则，所以.
当时，先证明不等式恒成立，设，
则，
所以函数在上单调递增，于是，
即当时，不等式恒成立.
由，可得，
因为，所以，即，
两边同除以，
得，
所以，选择餐厅情况（午餐，晚餐）
张同学
6天
9天
13天
2天
李同学
6天
6天
6天
12天
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
B
C
A
C
B
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ACD
X
1
2
P