2025--2026学年福建南平市武夷山二中高一下册期中数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建南平市武夷山二中高一下册期中数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了 A， 已知在中，，，，则， 已知向量，则， 的三边为满足，则是， 已知平面向量，，则， 在中，，，，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. A. B. C. D.
2. 一个球的表面积是，则它的体积是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ）
A. B. C. 24D. 48
4. 已知在中，，，，则（ ）
A. 1B. C. D.
5. 已知向量，则
A. B. 2
C. 5D. 50
6. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）
A. 内的所有直线与是异面直线
B. 内不存在与平行的直线
C. 内的所有直线与都相交
D. 内存在唯一一条直线与平行
7. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
8. 的三边为满足，则是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知平面向量，，则（ ）
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为D. 在方向上的投影向量的坐标为
10. 在中，，，，则（ ）
A. B. 的面积为6
C. D.
11. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限B. 为纯虚数
C. 的模长等于D. 的共轭复数为
第II卷非选择题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为_________
13. 已知向量，，，，若，则的最小值为___________.
14. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，求：
（1）；
（2）16. 在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，
（1）求角A.
（2）求△的面积.
17. 已知复数，其中为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若，设，试求的值．
18. 在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
19. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
数学
第I卷 选择题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：分析：根据公式，可直接计算得
详解： ，故选D.
点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.
2. 一个球的表面积是，则它的体积是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：
根据球的表面积可得球的半径，再由体积公式即可得解.
解答过程：一个球的表面积是，设球的半径为，球的表面积公式为，
代入可得，解得，
所以球的体积为，
故选：D.
方法提示：本题考查了球的表面积和体积公式的简单应用，属于基础题.
3. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ）
A. B. C. 24D. 48
答案：D
解析：
思路：根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，求解面积即可.
解答过程：根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，
其面积为.
故选：D.
4. 已知在中，，，，则（ ）
A. 1B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据余弦定理运算求解.
解答过程：由余弦定理可得，故.
故选：B
5. 已知向量，则
A. B. 2
C. 5D. 50
答案：A
解析：
思路：本题先计算，再根据模的概念求出．
解答过程：由已知，，
所以，
故选A
方法提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
6. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）
A. 内的所有直线与是异面直线
B. 内不存在与平行的直线
C. 内的所有直线与都相交
D. 内存在唯一一条直线与平行
答案：B
解析：
解答过程：依题意，直线与平交，内的直线与直线相交或异面，故B正确，ACD错误.
7. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
解答过程：因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
8. 的三边为满足，则是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据指数函数和幂函数性质由条件证明，由条件结合指数函数性质可得，根据余弦定理和大边对大角即可判断三角形形状.
解答过程：因为，，
所以，
又，
所以，
所以
所以,
由
，
故为锐角三角形，
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知平面向量，，则（ ）
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为D. 在方向上的投影向量的坐标为
答案：BC
解析：
思路：对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.
解答过程：对A：，则，故A错误；
对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
10. 在中，，，，则（ ）
A. B. 的面积为6
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：利用同角三角函数的平方关系可判断A；先用余弦定理求出AB，代入三角形的面积公式可判断B；将表示为，再根据数量积的定义进行计算即可判断C，根据进行计算判断D.
解答过程：因为，且，所以，A正确；
在中由余弦定理可得：，则，B正确；
，C错误；
CA→−CB→=BA→=AB=3 ，D正确.
11. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限B. 为纯虚数
C. 的模长等于D. 的共轭复数为
答案：ACD
解析：
思路：根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断.
解答过程：对于A项：由题意可得：，则其对应的点为，
∵，则，
∴对应的点位于第二象限，故A项正确；
对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误；
对于C项：由题意可得：，
则，故C项正确；
对于D项：由题意可得：，
则的共轭复数为，故D项正确；
故选：ACD.
第II卷非选择题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为_________
答案：
解析：
解答过程：由题意得，圆锥的高为，则圆锥的体积为.
13. 已知向量，，，，若，则的最小值为___________.
答案：2
解析：
思路：根据，得，结合“1”的巧用即可求解.
解答过程：由，得，即，
因此，
故当且仅当“”时，取最小值2.
故2.
14. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
答案：150
解析：
解答过程：试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为150．
考点：正弦定理的应用．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，求：
（1）；
（2）答案：（1）17 （2）
解析：
思路：（1）直接进行数量积的坐标运算即可；（2）求出的坐标，利用坐标求向量的模.
（1）；
（2），所以.
16. 在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，
（1）求角A.
（2）求△的面积.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）由题设条件，结合余弦定理可得，即可求角A；
（2）应用三角形面积公式直接求△的面积即可.
解答过程：（1）由，得，
∴，，可得.
（2）.
17. 已知复数，其中为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若，设，试求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据纯虚数的定义求解即可；
（2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可.
（1）由题意可得：，且，
解得，
所以的值为；
（2）若m＝2，则，
所以，
所以，，
所以.
18. 在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
解析：
思路：（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
解答过程：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
19. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
答案：(1) ;(2).
解析：
思路：(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
解答过程：(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．
方法提示：(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.