2026年吉林省中考数学真题（word试卷+答案解析）

这是一份2026年吉林省中考数学真题（word试卷+答案解析），共35页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分）
1. 如图，将一双筷子想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据对顶角相等即可得到答案．
解：∵与是对顶角，
∴
∵，
∴ ．
2. 吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据160000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：数据160000000000用科学记数法表示为．
3. 近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
解：∵原票价为元，
∴优惠后的票价为元．
4. 由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：它的俯视图为
．
5. 如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可．
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵点为边上不与点，重合的任意一点，
∴，
∵
∴四个选项中只有A选项符合题意．
6. 十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得，这两个数分别为多少？若设第一个数为，则所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
先根据两数和为10，用表示出第二个数，再按照题目描述的运算顺序列出方程，对比选项即可得到结果．
解：∵设第一个数为，两数和为，
∴第二个数为，
∴可列方程．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
解：
移项，得，
合并同类项，得，
故解集为．
8. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键．
使用平方差公式进行因式分解即可．
解：．
故答案为：．
9. 已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________．
【答案】
【解析】
根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可．
解：∵在反比例函数 中，，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
∵点，的横坐标都为正，
∴这两点都在第一象限，
又∵ ，
∴．
10. 如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）．
【答案】##
【解析】
根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可．
解：由题意可知，车轮半径，圆心角
∴劣弧的长
．
11. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________．
【答案】
【解析】
由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
解：由作法可知，，
，
，
，
．
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
原式化简结果为，值为
【解析】
解：
，
当时，原式 ．
13. 第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率．
【答案】
【解析】
画出树状图得到所有等可能的结果，再得出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，最后根据概率公式求解即可．
解：短道速滑、冰壶、冰球这三个项目分别用A、B、C表示，画树状图如下：
由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3种，
∴小冰和小雪被分配到同一项目组的概率为 ．
14. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：．
【答案】证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
∴．
【解析】
根据正方形的性质，结合 “”证明全等即可．
略
15. 吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价．
【答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元．
【解析】
设出两种玉米的单价，根据题干给出的两个等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果．
解：设每箱“吉林一号”玉米售价为元，每箱“吉林二号”玉米售价为元．
根据题意列方程组得，
解得，
答：每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元．
16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，找一个格点，画一个以点，，为顶点的等腰三角形．
（2）在图②中，找一个格点，画一个以点，，，为顶点的平行四边形．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）
【解析】
（1）根据等腰三角形的定义解答即可；
（2）根据平行四边形的定义作图即可
【小问1】
略
【小问2】
略
17. 某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量（单位：）．把收集到的数据分成，，，，，，，八组，并绘制了如下频数分布直方图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次一共调查了多少个家庭？
（2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组．
（3）若该小区有550个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于．
【答案】（1）此次一共调查了55个家庭；
（2）组
（3）估计该小区有210个家庭的月均用水量小于．
【解析】
（1）根据频数分布直方图将八组家庭数量相加求解即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）用小区总家庭数乘以样本中月均用水量小于的家庭占比求解即可．
【小问1】
解：（个），
答：此次一共调查了55个家庭；
【小问2】
解：55个家庭中，中位数为第28名家庭月均用水量，
A、B、C三组的家庭数为（个），A、B、C、D四组的家庭数为（个），
这些家庭月均用水量的中位数位于组；
【小问3】
解：（个），
答：估计该小区有210个家庭的月均用水量小于．
18. 如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】
先根据三角函数求出的长度，减去的长度，即可求出的长度．
解：由题意知，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
答：这条河的宽度为．
19. 如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为．
（1）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（2）当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）分和两种情况建立函数关系式即可；
（2）分别求出矩形面积的和矩形面积的，然后分别代入和求出对应的时间，再求解时间差即可．
【小问1】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
当时，；
当时，扫过的图形为四边形，此时
∴
∴；
【小问2】
解：由题意得，，
当时，则，解得；
当时，则，解得
∴点运动了．
20. 一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）求汽车在高速公路上行驶的速度．
（2）求所在直线对应的函数解析式．
（3）记者出发后多长时间到达采访地？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）根据路程除以时间即可求解；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把代入即可求解．
【小问1】
解：，
答：汽车在高速公路上行驶的速度为；
【小问2】
解：设所在直线对应的函数解析式为，
代入和
则
解得
∴所在直线对应的函数解析式为；
【小问3】
解：把代入，则，
解得
答：记者出发后到达采访地．
21. 如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，．
（1）如图②，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由．
（2）如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长．
【答案】（1）添加条件：；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
连接．
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形．
（3）
【解析】
（1）由折叠可得，，当时，可得到，即可得出是等边三角形；
（2）连接．由矩形的性质得到，由折叠得到，，，根据等角的余角相等得到，从而有，再证明，可得四边形是平行四边形，结合得出是菱形；
（3）设，则，，在中根据勾股定理构造方程，求得，．设，则，在中根据勾股定理构造方程，求得，由即可解答．
【小问1】
解：由折叠可得，，
当时，，
∴，
∴是等边三角形．
【小问2】
略
【小问3】
解：如图，
设，则，
∵由翻折有，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得，
∴，
∴．
22. 如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为．
（1）填表：
（2）观察图象，解答下列问题：
①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小；
②当时，，求的取值范围．
（3）如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，．
①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；
②当时，直接写出的值．
【答案】（1），，
（2）①或；②
（3）①是；②或或
【解析】
（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解；
（2）①根据函数图象，即可求解．
②令：，求得的值，结合函数图象即可求解；
（3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解；
②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解．
【小问1】
略
【小问2】
①略
②令：，
解得：（舍去），
如图，
又∵
根据函数图象可得：当时，
【小问3】
①∵，：，
点为上一点，横坐标为，则，
点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
点为上一点，横坐标为，，即
∴点，是平移前后的一组对应点；
②解：∵点为上一点，横坐标为3．
∴时，，则，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
即
∴，
情形一：当时，点在轴及其上方部分，如图
最高点为，
（i）当时，最低点为
∴
当时，，
此方程无解，不存在此情形；
（ii）如图，当时，最低点为
∴
当时，
解得：（舍去）或
情形二：当时，此时如图，
最高点为点，则
最低点为，则
当时，，
解得：或（舍去）
图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，．
情形三：当时，
最高点为点，则
最低点为，则
当时，，
解得：（舍去）或，
综上所述，当时，或或．
图象
对应的函数解析式
点的坐标

（__________，__________）
__________
（__________，__________）