2026年高考数学真题汇编平面向量专题复习练习题

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1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·北京卷·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2026·上海卷·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．
5．（2026·天津卷·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________．
模拟题汇编
一、单选题
1．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（ ）
A．6B．9C．4D．5
2．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（ ）
A．4B．5C．D．
3．（2026·四川广安·模拟预测）已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2026·辽宁锦州·二模）已知向量，，且，则（ ）
A．B．4C．D．5
5．（2026·湖北孝感·二模）已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（ ）
A．B．1C．D．2
6．（2026·四川自贡·模拟预测）已知向量满足，则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
7．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2026·广东广州·模拟预测）设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·福建福州·模拟预测）已知，为两个不共线的单位向量，且与的夹角为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，，，为内一点（含边界），且．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）
A．8B．C．4D．
二、多选题
12．（2026·山东日照·模拟预测）已知向量，，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．
13．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C． 与 夹角的余弦值为 D． 在 上的投影向量为
14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．存在两个实数t，使得
C．若，则
D．以，为邻边的平行四边形面积的最小值为
15．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为的重心，则
B．若P为的内心，则
C．若P为的外心，则
D．若P为的垂心，则
16．（2026·四川眉山·模拟预测）如图在正方形中，圆以点为圆心且与相切，过定点的直线与线段相交于点，直线与圆相交于不同的两点，，且点在线段上，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．若，则的取值范围为．
三、填空题
17．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________.
18．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________.
19．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，，平分交于，则的最大值为______．
20．（2026·山西忻州·模拟预测）在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________.答案解析
真题汇编
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】由平面向量基本定理可得.
【详解】由题意可知平面向量不共线，且，
则.
2．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，
所以，即；
由，得，
所以，即.
两式相减，得，
所以 .
3．（2026·北京卷·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解.
【详解】因为，且 ，则，
所以，
所以当反向时，取最大值为4.
4．（2026·上海卷·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．
【答案】
【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论；
方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论.
【详解】方法一：因为，所以.
因为，所以，
所以，
因为不平行，所以，所以.
方法二：因为，，两两不平行，
所以，.
若不共面，所以，矛盾，
所以共面，可设，
所以，
所以.
因为，可设，
所以，，
所以，，
，所以.
5．（2026·天津卷·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________．
【答案】
【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论；
第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围.
解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围.
解法三：不妨设，，， ，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.
【详解】由题意，
，，，
第一空：
当时，，
∴，
∴.
第二空：
解法一：将代入得，
两边平方，得：，
展开：，
代入，，记，
，
令，，，
则原式变为：，
配方得：，
由于 ，，因此 ，
即 ，解得，
，
因此，的取值范围为：.
解法二：因为，，
不妨设，，，则，，
若，设，
则.
解法三：因为，，
不妨设，，，即点在直线上，
且，，
因为，
若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出），
若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上，
则圆在直线和之间，可得，即，
所以的取值范围为.
模拟题汇编
一、单选题
1．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（ ）
A．6B．9C．4D．5
【答案】A
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可.
【详解】由题意得，
又向量，则，所以，解得．
2．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算，即可求解.
【详解】，
所以，即，即,
即.
故选：D
3．（2026·四川广安·模拟预测）已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量共线定理，结合不共线向量线性表示的系数唯一性列方程求解x.
【详解】因为与共线，由平面向量共线定理可知，存在实数λ，使得，
而，，故，
非零向量，不共线，可得方程组：，解得.
4．（2026·辽宁锦州·二模）已知向量，，且，则（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的线性运算及向量的模计算即可.
【详解】由，得，即，解得，此时.
所以，则.
5．（2026·湖北孝感·二模）已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【详解】若，，三点共线，
则存在实数满足，即，
又因为向量，不共线，所以，
因此.
6．（2026·四川自贡·模拟预测）已知向量满足，则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】D
【详解】因为，所以，
化简得：，所以，则：.
7．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【详解】，两边平方得，
即，
又，为单位向量且不共线，故，
解得，（舍去）；
若，则，
解得.
8．（2026·广东广州·模拟预测）设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，求出，求出，则在上的投影数量为，代入数值求解即可.
【详解】单位向量的夹角为，，
，
，
，
，
则在上的投影数量为，故选项D正确.
9．（2026·福建福州·模拟预测）已知，为两个不共线的单位向量，且与的夹角为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，因为与的夹角为，
所以，化简可得，
两边同时平方可得，化简可得，
解得或，
因为不共线，即，
所以，则．
10．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，，，为内一点（含边界），且．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，以A为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，则，
设，
过点作轴的垂线，垂足为，则，，
，，即，
则，其中，
当时，有最大值为.
11．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）
A．8B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，确定区域形状，进而求得其面积.
【详解】由题意知，可得，
因为，所以，所以是等边三角形，
不妨设，，且
因为，可得，
即，所以，解得，
又，则，画出如下图形，
则平行四边形及其内部即为点集所表示的区域，
由可得，
由可得，
由可得，
所以，
点到直线的距离
所以平行四边形的面积为，
即点集所表示的区域的面积是.
二、多选题
12．（2026·山东日照·模拟预测）已知向量，，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．
【答案】ACD
【详解】A选项，，故，A正确；
B选项，，则，
所以，解得，故，B错误；
C选项，，故，
所以，C正确；
D选项，，D正确.
13．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C． 与 夹角的余弦值为 D． 在 上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】利用向量共线、垂直的判定条件，向量夹角余弦公式、投影向量的计算方法逐一验证选项即可.
【详解】选项A：两向量平行的充要条件是，代入得 ，故与不平行，A错误；
选项B：计算得 ，
则 ，故 ，B正确；
选项C： ，， ，
则夹角的余弦值，C正确；
选项D：在方向上的投影向量为，D正确.
14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．存在两个实数t，使得
C．若，则
D．以，为邻边的平行四边形面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于选项A,直接利用向量模的定义，转化为关于的函数即可求解；对于选项B，，转化为关于的一元二次方程实根个数问题；对于选项C，即，转化为关于的一元二次方程进行求解；对选项D，以，为邻边的平行四边形面积，先使用数量积求出，再转化为关于的函数即可求解.
【详解】对于选项A，
，故选项A正确；
对于选项B，令，则，
即，
由于，故存在两个实数t，使得，选项B正确；
对于选项C，若，则，即，
，
，当时，方程不成立，故选项C错误；
对于选项D，以，为邻边的平行四边形，设，夹角为，
则，
由于，则
那么以，为邻边的平行四边形面积
，故选项D正确.
15．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为的重心，则
B．若P为的内心，则
C．若P为的外心，则
D．若P为的垂心，则
【答案】ACD
【详解】设的中点为.由知，过点，且.
若P为的重心，则，
所以，所以，所以A正确.
若P为的内心，则，
化简得，，
所以，
所以，所以B错误.
若P为的外心，
易知，所以的外接圆的半径为，
即.
则，所以C正确.
若P为的垂心，则，所以，所以 .
所以D正确.
16．（2026·四川眉山·模拟预测）如图在正方形中，圆以点为圆心且与相切，过定点的直线与线段相交于点，直线与圆相交于不同的两点，，且点在线段上，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．若，则的取值范围为．
【答案】ACD
【分析】对于A，结合圆的性质及直角三角形的性质证明即可；对于B，结合弦心距公式及临界条件求解判断即可；对于C，结合直角三角形余弦公式及向量的数量积求解即可；对于D，设，得到；过点作交于，得到，令，结合三角形相似及临界条件求出的范围，根据向量的线性运算求得，进而得到，即可求解.
【详解】对于A，设与的交点为，则为、中点，且
因为为弦的中点，所以，即，
所以，且，
所以，则，
所以，A正确.
对于B， 因为圆以点为圆心且与相切，圆的半径为，点到圆心的距离为.
是过点的割线，（共线时取到），
趋近于切线时，，
所以，B错误.
对于C，在中，，在中，，
所以，C正确.
对于D，设，则.
过点作交于，则，，所以.
当为切点时，在中，，所以，则，
所以，即，所以，
又不能为切点，所以.
又共线，所以，
又，所以，D正确.
三、填空题
17．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________.
【答案】
【详解】∵ ，对等式两边同时平方得.
展开得①，
∵，
∴，
展开得，
整理得②，
将①中的代入②，得，
即，解得，
∴
18．（2026·四川成都·三模）已知向量满足与的夹角为，若，则__________.
【答案】
【详解】因为与的夹角为，所以.
因为，所以，
解得.
19．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，，平分交于，则的最大值为______．
【答案】
【分析】利用数量积的定义可求，再利用面积关系和基本不等式可求的最大值.
【详解】设中所对的边为，
因为，且，故，故.
而，
所以，
故，
故，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
20．（2026·山西忻州·模拟预测）在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________.
【答案】 /
【分析】①建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用向量相等求；②设在上的参数表示，求出坐标，将数量积表示为二次函数，利用单调性求最小值.
【详解】
① 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，，.
由，且在线段上，则.
于是，，.
又，对照可得，，故；
②点在线段上，设，，
则,即，
又为中点，，则得,故，
则，
因，故当时，取得最小值为.