2026年高考数学真题汇编导数及其应用专题复习练习题

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考点01 导数概念及几何意义
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·上海卷·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
3．（2026·上海卷·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
考点02 导数的应用
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2026·北京卷·高考真题）已知，给出下列四个结论：
①在上有最小值和最大值
②，有3个解；
③，时，有最大值；
④，与有4个交点.
其中正确结论的序号是________．
4.（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线为．
(1)求，；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)当时，，求的最小值．
5．（2026·天津卷·高考真题）已知．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明；
(3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立．
6.（2026·北京卷·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求的极值点个数；
(3)求与交点个数．
模拟题汇编
一、单选题
1．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·福建泉州·三模）定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）.
A．B．C．D．
4．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（ ）
命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数
命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性
A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确
6．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·北京房山·二模）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数，其导函数为，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在上单调递减D．“是周期函数”的否定是真命题
12．（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（ ）
A．有3个不同的零点B．在区间上单调递增
C．，D．，
13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，则（ ）
A．B．存在使得
C．D．的图象关于直线对称
14．（2026·福建南平·二模）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．在上是减函数
三、填空题
15．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________．
16．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______.
17．（2026·云南·模拟预测）已知函数没有极值点，则______．
18．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______．
四、解答题
19．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数，其中．
(1)记，若为的极值点，求证：为偶数．
(2)求
20．（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)讨论零点的个数．
21．（2026·广东茂名·二模）已知函数．
(1)当时，证明：恒成立；
(2)当时，证明：当时，函数的图象与的图象无交点；
(3)已知，证明：．
22．（2026·福建南平·二模）定义：函数图象上不同的三点，若它们的横坐标依次成等比数列，且该函数在点处的切线的斜率恒小于直线的斜率，则称该函数在点处“等比偏移”；若函数图象上任意一点都满足“等比偏移”，则称该函数是其定义域上的“等比偏移”函数.设.
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，判断函数在点处是否“等比偏移”?请说明理由；
(3)若，试证明：函数是其定义域上的“等比偏移”函数.
参考数据：，
23．（2026·新疆·二模）已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值；
（ⅱ）证明：．答案解析
真题汇编
考点01 导数概念及几何意义
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，则，当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
2．（2026·上海卷·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
【答案】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式．
【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，
又，
所以，解得，故；
已知初速度为0，则，解得，
已知，则，
速度第一次达到4时用时秒，则，即，
此时．
3．（2026·上海卷·高考真题）已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；
（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，，
在与中，
，解得，
∴，
∵，
∴，解得或或
∴不等式的解集为.
（2）由题意及（1）得，，
在中，，
∴
∵直线为在点的切线，
∴直线的方程为：，即，
∵是过点且垂直于的直线，
∴直线的方程为：，即，
在中，，与、在第一象限内均无公共点，
∴与无正实数解，
分离参数得，，，
∴直线与与曲线在内均无交点，
而，
当时，解得（舍）或，
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴在处取最小值，，
当时，，当时，，
∴且，即或，
∴实数的取值范围为.
考点02 导数的应用
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【详解】法1：（1）当时，由，解得，
故函数定义域为.
①当时，，
当，则，故不存在最大值，不合题意；
②当时，此时，，
故最大值不为，不合题意；
③当时，，
当，则，故不存在最大值，不合题意；
（2）当时，则，则函数定义域为.
且由最大值为可知，，
即对任意恒成立，且等号能取到.
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故，当且仅当时，，
由对任意恒成立，可知，
又当时，恒有，取不到等号，所以有，
故选：B.
法2：，
由选项知，则定义域为，
故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为，
由，
则由，可得①，
且，即②，
联立①②解得.
验证：当时，，
则，
设，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
，且，
且当，；当，；
作出函数的大致图象，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
则，满足题意，故.
法3：由选项知，则定义域为，
由，解得.
同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得..
法4：由选项知，则定义域为，
由，解得.
验证：当时，由不等式可得，
故，当且仅当时等号成立，
故满足题意，由选项唯一可得.
2．（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；
B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；
方法一：
C，在中，，则，
，函数单调递减，故错误；
D，在中，，解得，
，则为奇函数，
，即函数在定义域上单调递增，故正确.
法二：
C，在中，，则，为奇函数，
∵和是减函数，
∴函数单调递减，故错误；
D，在中，，解得，
，为奇函数，
∵和是增函数，则为增函数，
∴函数单调递增，故正确.
3．（2026·北京卷·高考真题）已知，给出下列四个结论：
①在上有最小值和最大值
②，有3个解；
③，时，有最大值；
④，与有4个交点.
其中正确结论的序号是________．
【答案】①②③④
【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；③，求出在上的单调性，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断.
【详解】由题意，
①在中，，，
，函数为偶函数，
在中，，
∴函数单调递增，
∵，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在处取最小值，，
在中，
，为偶函数，
当在内有零点时，
即，，使得，
此时在，上单调递减，在，上单调递增，
，，，
∵，
∴，
∴在和处取最小值，，
在处取最大值，
当在内无零点时，，
在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得最小值，，
在处取得最大值，，
故①正确；
②同①可得推广结论，
在中，，
，为偶函数，
即，，使得，，
此时在，上单调递减，在，上单调递增，
∴在和处取极小值，
当时，，，，
∵在上单调递减，，
∴，使得，
∵在上单调递增，，
∴，使得，
∴当时，，
∴，有3解，
故②正确；
③当时，
，，，
由①可得，在上单调递增，
∵，，
∴，使得，
∴在中，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取最大值，
③正确；
④由②可得，
在中，，
此时在，上单调递减，在，上单调递增，
在中，，
，开口向上，
∴函数，即恒成立，
∴
∴在下方，
∵，
∴在轴上方，
此时与有4个交点，
故④正确.
4.（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线为．
(1)求，；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)当时，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解；
（2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可；
（3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解.
【详解】（1），
由切点在直线上，也在函数图象上，
可知且，可得；
由，则切线的斜率为，
解得；
故.
（2）由（1）知，，
则
，
故题意可转化为对任意恒成立，
法一：令，，
则，
当时，由且，
则，即，
则在上单调递增，又，
要使对任意恒成立，
则，解得；
当时，不成立；
当时，，，且，
则，
即，则在上单调递减，
又当时，，不满足题意；
综上所述，的取值范围为.
法二：
不等式可转化为，
即对任意恒成立，
当时，不成立；
当时，设，，
当时，由，可知，
，
这与对任意恒成立矛盾；
当时，，
，
由，故在上单调递增，
故在上存在唯一零点，设为，
且当时，，即，
此时不等式不成立；
当时，，
则在上单调递增，
由，故，
故不等式，即恒成立，
综上所述，的取值范围为；
（3）法一：设，
则
，
令，
则，
其中，，.
当时，，
则在上单调递增，故，
故在上单调递增，故，
即当时，恒成立，满足题意；
当时，设
，
由，可知且，
则，可知在上单调递增，
故，即，
故在上单调递增，故，
故在上单调递增，故，
即当时，恒成立，满足题意；
当时，此时，又，
则存在正实数，使得，，
则在上单调递减，则，
即当，，不满足题意；
综上所述，，即的最小值为.
法二：由可得
，
则，即，
则，
由，可知，则，
故原不等式可转化为，
由，
设，，
则，
设，，令，
则，，
由，
再令，
，故在上单调递增，
故，则，故在上单调递增，
所以，即，
故在上单调递减，
又由洛必达法则可知，
故要使当时，恒成立，则，
即的最小值为.
5．（2026·天津卷·高考真题）已知．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明；
(3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立．
【答案】(1)
(2)令，则，
当时，，，则，
所以在上单调递增，则，
所以在上恒成立，即在上恒成立；
当时，令，
所以，因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，由于，
所以，
则在上单调递增，
则，即在恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即在成立，
故在成立，
综上，在上恒成立，
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可；
（2）令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论；
（3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立.
【详解】（1）由于，
所以，，
则曲线在点处的切线方程为：，
即；
（2）略
（3）①当时，设
构造函数，
则，
令，
所以，
由于在上单调递增，
所以，则在上单调递减，
故，则在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立；
令，所以，
所以在上单调递增，则，当且仅当时取等，
即在上恒成立.
故，
令，则，
对于，令，则，
变形得，
裂项求和得，
对题设不等式左边取对数放缩：
，
对题设不等式右边取对数放缩：：
当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件；
②当时，若,恒成立，
此时原不等式右侧，只需证明：，
由（2）问结论可得：
对于二项式展开，
两边取对数，，
又
因此，
所以原不等式成立，则的最大值为
6.（2026·北京卷·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求的极值点个数；
(3)求与交点个数．
【答案】(1)、
(2)有两个极值点
(3)交点个数为
【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解；
（2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数；
（3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数.
【详解】（1），则，
，又，解得；
（2）由（1）得，则，
令，则，
令，解得，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，
，，
故存在，使得，且有，
则当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故有两个极值点；
（3）令，则，
令，则；
若，则恒成立（不恒为零），
故在上单调递减，又，
当时，，故在上有唯一零点，
即与有唯一交点；
若时，有两个实根，
设这两个实根分别为、，且，则、，
则当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故为的极小值，为的极大值，且，
由，则，
则
，
由，则，
则有、，
故，则，
又时，，故在上存在唯一零点，
即与有唯一交点；
综上所述：与交点个数为.
模拟题汇编
一、单选题
1．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得，，
所以，，，
曲线在点处的切线方程为：
，，化简得，.
2．（2026·福建泉州·三模）定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得，据此求解即可.
【详解】因为定义在上的奇函数，所以，
两边取导数可得，即，
所以，
因为时，，所以时，，
所以.
3．（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案.
【详解】由题可得瞬时速度,
当位移时，可得，解得：,所以,
所以,
则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为，
故选：A
4．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求定义域，求导，设出切点，根据导函数几何意义得到方程，解方程，可得结论
【详解】A选项，的定义域为R，，设切点为，
假设在处的切线与轴平行，
则，则，，
所以曲线的图象上存在与轴平行的切线，A正确；
B选项，的定义域为R，，设切点为，
假设在处的切线与轴平行，
则，无解，故的图象上不存在与轴平行的切线，B错误；
C选项，的定义域为，，设切点为，
假设在处的切线与轴平行，
则，无解，的图象上不存在与轴平行的切线，C错误；
D选项，的定义域为R，，设切点为，
假设在处的切线与轴平行，
则，无解，故的图象上不存在与轴平行的切线，D错误；
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（ ）
命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数
命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性
A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【答案】A
【分析】首先利用导数的知识求出的表达式，然后结合表达式判断两个命题的真假.
【详解】为“级导同函数”，即，
若，则，满足，
若，则，，(其中是常数)，
所以（其中为常数），，
所以或.
命题①，充分性：为偶函数，
若，则，既不是奇函数，也不是偶函数，
所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足；
必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足.
所以命题①正确；
命题②，若经过一二象限，则，
由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限；
同时，当时，为单调函数，故不具有周期性，所以命题②正确.
6．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围.
【详解】由函数，得，
设切点坐标为，则切线的斜率，
所以切线方程为，其中，
即切线方程为.
整理可得，
又因为直线与曲线相切，
所以，.
设，则，
令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故函数在时取极小值，
且当时，.
综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围.
7．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解.
【详解】是奇函数，所以，
即，
且，又，所以，
因为，即，
即，令，得，
即，
即，则关于直线对称，
可得，
可得
则，故函数是周期为4的函数，
，
所以
8．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得到，构造函数，求导确定单调性即可求解.
【详解】对两边取自然对数，得，
即，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以方程的解只有一个，
又因为，
所以，
所以．
9．（2026·北京房山·二模）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先将题目条件翻译成函数与函数的交点问题，再求参数的取值范围.
【详解】若存在非零实数，使得，
则函数与有公共点，
即有根，
即与有公共点
，
设，
，所以在上单调递减，
因为，所以，
即，所以在上单调递减，
因为，
时，
所以，即，所以.
10．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过将不等式问题转化为函数问题，结合导数即可求解函数最值，进而得到的范围.
【详解】由得
因为，所以
令
则问题转化为求在上的最小值．
求导得
令，
因为，所以与同号．
又，所以在上单调递增．
当时，；又，所以存在唯一的，使得．
再看方程，
函数，，则，
则在上单调递增，且当时，，
当时，，所以该方程有唯一正根．
设这个正根为，则，
于是且，说明这个正是的唯一根．
因此，当时，，从而；
当时，，从而．
所以在处取得最小值．
由，得，又，
所以
所以．
要使对任意恒成立，必须且只需．
当时，取，原不等式等号成立，不满足严格大于．
故的取值范围为．
二、多选题
11．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数，其导函数为，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在上单调递减D．“是周期函数”的否定是真命题
【答案】ABD
【分析】求出导函数，根据奇函数、偶函数的定义即可判断AB；通过导数即可判断C；根据周期函数的定义即可判断D.
【详解】已知函数，其导函数为，则，
对于A，由于，所以是奇函数，故A正确；
对于B，由于，所以是偶函数，故B正确；
对于C，由于，令，则，
再令，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，即；当时，，即；
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误；
对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有，
即，化简得，
显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾，
因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题，
所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确.
12．（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（ ）
A．有3个不同的零点B．在区间上单调递增
C．，D．，
【答案】BC
【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项．
【详解】，，
因为函数的图象在点处的切线的斜率为，
所以，解得，
所以，，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
对于A，由，得，，A错误；
对于B，区间，即是，
因为在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，B正确；
对于C，当时，，所以，
因为在区间上单调递减，所以，C正确；
对于D，，
，所以恒成立，
即对所有成立，D错误．
13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，则（ ）
A．B．存在使得
C．D．的图象关于直线对称
【答案】ACD
【分析】通过赋值法求的值，判断选项A；构造辅助函数，确定的表达式，进而根据的值域判断选项B；求导，判断选项C；利用函数的对称性判断选项D．
【详解】令，代入等式得：，
解得或，
若，令，则对任意有，此时，
与矛盾，故，A正确；
由于在上可导，对等式两边关于求导，得，
令，并代入，，得，故C正确．
令，
则
由得，
所以在上为常数．
又因此，即，
因为对任意，都有，，
所以不存在使得，故B错误．
，故，
对任意，，
故的图象关于直线对称，故D正确．
14．（2026·福建南平·二模）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．在上是减函数
【答案】ACD
【分析】令判断A，令可判断B，令，所给等式两边取导数可判断C，对两边取导数，再令可求出，即可得出函数单调性判断D.
【详解】令，可得，故A正确；
令，可得，即，所以函数为奇函数，故B错误；
令，则，两边取导数可得，即，故C正确；
由，对两边求导，，
令，可得，又，所以，
当时，，所以在上是减函数，故D正确.
三、填空题
15．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________．
【答案】
【详解】，.
设曲线与曲线在点处有公切线，
所以，即，解得，.
所以，正数的值为5.
16．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______.
【答案】/
【分析】
先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可.
【详解】，令，，
① 当时，，在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意；
② 当时，令，解得，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，有最小值，
所以当在上单调递增时，有，
令，，得，
所以时，；时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
又要求，所以，即.
17．（2026·云南·模拟预测）已知函数没有极值点，则______．
【答案】1
【详解】函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数，
所以函数至多有一个零点，
令，则或或，
∴，即，
∴.
18．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围.
【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值，
由函数，求导得，
函数在上单调递增，；
函数的定义域为，
求导得，当时，，
函数在上单调递增，当时，，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，令，函数在上单调递增，
不等式，解得，
所以实数a的取值范围是.
四、解答题
19．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数，其中．
(1)记，若为的极值点，求证：为偶数．
(2)求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导并根据的奇偶性对导函数符号进行判断，结合极值点可得为偶数；
（2）根据表达式利用分组求和即可.
【详解】（1）因为，
则，
当时，,,故不是极值点.
当为奇数时且时，为偶数，，
当时，，在单调递减，
所以0不为的极值点；
当为偶数时，为奇数，，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以0为的极值点，因此为偶数．
（2），所以，
所以．
20．（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)讨论零点的个数．
【答案】(1)
(2)若或，零点的个数为；若且，零点的个数为
【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解；
（2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数.
【详解】（1）由恒成立，即恒成立，
即恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，恒成立，则恒成立，
故在上单调递减，又，
故当时，，不符合题意，故舍去；
当时，令，解得，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
故要使得恒成立，则有，即；
（2）函数零点的个数等价于函数零点的个数，
由（1）知，当时，在上单调递减，
且，故零点的个数为；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
若，有且仅有，故零点的个数为；
若，则，由，则，
又时，，故存在，使得，
此时有两个零点、，故零点的个数为；
若，则，由，则，
又时，，故存在，使得，
此时有两个零点、，故零点的个数为；
综上所述：若或，零点的个数为；
若且，零点的个数为.
21．（2026·广东茂名·二模）已知函数．
(1)当时，证明：恒成立；
(2)当时，证明：当时，函数的图象与的图象无交点；
(3)已知，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可知函数的定义域为，通过求导得到函数的单调性即可求解；
（2）构造函数，利用导数研究函数的单调性得时，函数单调递增，时，函数单调递减，再结合，符号即可证明；
（3）结合（1），令，有，进而结合得，再累加求和即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得，再累加求和即可证明不等式右侧部分.
【详解】（1）已知函数，当时，，
由，解得，因此函数的定义域为，
对函数求导，得，
当时，，当时，，
因此函数在单调递增，在单调递减，因此函数在取极大值，同时也是最大值，
由于，所以恒成立.
（2）当时，，
构造函数，，所以，
令，，则，
由于在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，
因为，，所以存在使得，即，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因为，，，
所以存在，使得，即，
当时，，即，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，
因为，，
所以在恒成立，即，
所以对任意，有，
即当时，函数的图象与的图象无交点.
（3）先证，
由（1）知，当时，函数在单调递减，故当时，，即，
令，则，即，
令，由恒成立，所以在单调递减，
所以，即，故当时，有，
令，则，
所以，
所以，
再证，
由（2）知，，即在恒成立，
令，则，
所以，即，
综上，.
22．（2026·福建南平·二模）定义：函数图象上不同的三点，若它们的横坐标依次成等比数列，且该函数在点处的切线的斜率恒小于直线的斜率，则称该函数在点处“等比偏移”；若函数图象上任意一点都满足“等比偏移”，则称该函数是其定义域上的“等比偏移”函数.设.
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，判断函数在点处是否“等比偏移”?请说明理由；
(3)若，试证明：函数是其定义域上的“等比偏移”函数.
参考数据：，
【答案】(1)答案见解析
(2)不“等比偏移”，理由见解析
(3)证明见详解
【分析】（1）研究函数的单调性，根据单调区间判断极值即可；
（2）方法一：由题知在处的切线斜率为，再取，，计算得即可判断；
方法二：同法一求得在处的切线斜率为，设，，，再求，再取特殊值即可判断；
（3）方法一：设，，不妨设，则，进而转化为
证，进一步转化为证明，当时，（*）式显然成立 ；当时，转化为证明，即证. 设，，进一步转化为证明当时，恒成立，最后构造函数证明不等式即可；
方法二：同方法一得证，再设，，转化为证明当时，恒成立，再构造函数证明不等式即可；
【详解】（1）解：首先的定义域为，.
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，由于函数与在上单调递增，
所以在上单调递增，
令，
所以，当时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又
所以在处取得极小值，，无极大值.
（2）解：方法一：
结论：当时，在处不“等比偏移”，理由如下：
当时，，，
在处的切线斜率为，
取，，，，
，
即，
所以当时，在处不“等比偏移”
方法二：
所以当时，在处不“等比偏移”.
一般的，取A，B，C三点的横坐标成等比数列，设，，，
直线的斜率为，
取就是上面的特例；
若取，则有
，
即，
所以当时，在处不“等比偏移”.
经检验，取或都成立；
（3）（3）证明：思路一：设，，不妨设，则，
要证是其定义域上的“等比偏移”函数，只要证.
因为，，
，，
，
故只要证，（*）
由均值不等式知：，
当时，（*）式显然成立；
当时，要证（*）式，只要证，
只要证，即证.
设，，则只需证：当时，恒成立.
令，当时，
因为，
所以在上单调递减，从而，命题获证.
（3）思路二：以上证法同思路一.
若设，，则只需证：当时，恒成立.
令，因为，
所以在上单调递减，从而，命题获证.
23．（2026·新疆·二模）已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)极小值，无极大值；
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，确定单调区间，进而求出极值.
（2）（ⅰ）利用（1）中单调区间，按分类，借助单调性求出最小值，再构造函数，结合零点存在性定理求解；（ⅱ）由（ⅰ）的信息，结合赋值法、裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，而，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，无极大值.
（2）（ⅰ）由（1）知，当时，函数在上单调递增，，因此；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，令函数，求导得，
函数在上单调递减，而，
则存在，，即，
因此当时，，
所以正整数k的最大值为3.
（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，恒成立，
即对恒成立，取，
则，
因此
，
即，
所以.