专题06 平面向量和复数-备战2024年高中学业水平考试数学真题分类汇编

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A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】∵，∴D为BC的中点，
∴，
又∵，，
∴.
故选：A.
2．（2021秋·吉林）在中，点D在BC边上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B
3．（2021秋·青海）化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
故选：B
4．（2022·北京）如图，已知四边形为矩形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知.
故选：C
5．（2022春·广西）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；
故选：B
6．（2022春·贵州）如图，在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，.
故选：B.
7．（2021·北京）如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
8．（2021春·天津）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在平行四边形中.
故选：B
9．（2023·河北）在中，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
则，
故选：.
10．（2023·江苏）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，正确.
故选：D
11．（2023春·福建）如图所示，，，M为AB的中点，则为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，，M为AB的中点，
所以.
故选：B
12．（2023春·湖南）在中，D为BC的中点，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，
故，
故选：B
13．（2022春·天津）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，，
因为，，
所以.
故选：B
14．（2022·山西）已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（ ）
A．P在△ABC外部B．P在线段AB上
C．P在线段AC上D．P在线段BC上
【答案】B
【详解】因为，
所以
所以点P在线段AB上
故选：B
15．（2022春·辽宁）已知向量，，则（ ）．
A．B．C．D．（1，1）
【答案】C
【详解】因为向量，，所以.
故选：C.
16．（2022春·辽宁）如图所示，在中，为边上的中线，若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：因为在中，为边上的中线，
所以
故选：C
17．（2022春·浙江）在中，设，，，其中.若和的重心重合，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【详解】设为和的重心，连接延长交与，连接延长交与，
所以是的中点，是的中点，
所以，
，
，
可得，解得.
故选：D.
18．（2022·湖南）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：设，因为，所以，
所以.
故选：D.
19．（2022秋·广东）已知点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】,
故选:D.
20．（2022春·广西）如图，在中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由平行四边形法则知，.
故选：B.
21．（2022春·贵州）已知向量，则（ ）
A．（2，0）B．（0，1）C．（2，1）D．（4，1）
【答案】A
【详解】因为，
所以，
故选：A
22．（2023·山西）中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为
【答案】
【详解】因为，
所以
，
所以，所以
故答案为：
23．（2023春·浙江）在矩形ABCD中，，，点M、N满足，，，则 .
【答案】14
【详解】,
,所以,
故答案为：14

24．（2023·云南），则的坐标为 .
【答案】
【详解】因为，则，
所以的坐标为.
故答案为：
25．（2021秋·福建）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题设，.
故选：C.
考点二：平面向量的模
1．（2021春·河北）已知向量，满足，，，则（ ）
A．5B．4C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
两边平方，得，
又，所以，解得.
故选：C.
2．（2021·湖北）已知两个单位向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：.
故选：A.
3．（多选）（2021·湖北）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】解：，，所以，
因为，所以.
故选：CD.
4．（2022秋·浙江）已知向量满足，则（ ）
A．2B．C．8D．
【答案】B
【详解】∵,
又∵
∴，∴，∴，
故选：B.
5．（2021秋·浙江·）已知平面向量满足，则 .
【答案】
【详解】因为，
所以，
，
，
故答案为：
6．（2023春·湖南）已知向量，，则 .
【答案】5
【详解】由，可得,所以,
故答案为：5
7．（2022春·天津）已知向量，.
(1)求，的坐标；
(2)求，的值.
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1），
（2），
8．（2021春·天津）已知向量，．
(1)求、的坐标；
(2)求、的值．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：因为向量，，则，.
（2）解：因为向量，，则，.
9．（多选）（2023春·浙江）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．向量在向量上的投影向量为
C．D．
【答案】BD
【详解】因为，，，
所以，故A错误；
向量在向量上的投影向量，故B正确；
因为，，
所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：BD
10．（2022春·贵州）已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，
又，不妨设在直线上，又可得，即，
则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；
又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点
到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.
故选：D.
考点三：平面向量的数量积
1．（2023·云南）已知与的夹角为，则（ ）
A．-3B．3C．D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
2．（2022·北京）已知向量，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】.
故选：B.
3．（2021春·贵州）已知向量和的夹角为，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】由
故选：D
4．（2023·广东）已知向量和的夹角为，，，则 .
【答案】
【详解】由平面向量数量积的定义可得.
故答案为：.
5．（2022春·浙江）已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：由题意，令，，
则，所以，
由，得，
所以.，
故答案为：
6．（2021秋·广西）已知向量，，则 .
【答案】2
【详解】由题意可得：.
故答案为：2.
7．（2021·北京）已知向量，且，则实数 ； .
【答案】 2 4
【详解】解：（1）由题得；
（2）.
故答案为：2；4.
8．（2022春·浙江）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ）
\
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，，，
，
，，即的取值范围为.
故选：B.
9．（2021·北京）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，那么（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系
由题意可知，，
，
故选：B
考点四：平面向量的夹角
1．（2022秋·福建）已知向量与满足，且，则与的夹角等于 ．
【答案】/
【详解】依题意， ，∴ 与 的夹角为 ；
故答案为： .
2．（2023·河北）已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得：，
∵，
∴向量的夹角为.
故选：D
3．（2021秋·福建）已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为 .
【答案】
【详解】解：设与的夹角为，因为，，，所以，
所以与的夹角的余弦值为．
故答案为：.
4．（2021春·河北）若向量，，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】向量，， ，
设向量与的夹角为，则，
由，得.
故选：A.
5．（2021秋·河南）已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，.
（1）求；
（2）求的余弦值.
【答案】（1）-16（2）
【详解】解：（1）由已知，得，.
所以.
（2）.
考点五：平面向量的平行和垂直关系
1．（2023·北京）已知向量，．若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为向量，且，则.
故选：C.
2．（2023·河北）已知向量，，若，则实数（ ）
A．1B．C．4D．
【答案】A
【详解】因为，则，
又因为向量，，所以，则，
故选：.
3．（2023·山西）已知向量，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，，，
所以，
所以，，A错误，B错误，
所以，
所以，C正确，D错误.
故选：C.
4．（2023春·福建）已知，，且，则y的值为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【详解】因为，，且，则，解得，
所以y的值为3.
故选：A
5．（2023·云南）已知向量，若，则（ ）
A．-8B．8C．-10D．10
【答案】D
【详解】由向量，，
则，解得.
故选：D.
6．（2023春·新疆）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．6D．
【答案】D
【详解】向量，且，则，
所以.
故选：D
7．（2021秋·吉林）已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．B．C．-2D．2
【答案】A
【详解】由于，
所以.
故选：A
8．（2021·吉林）已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，即.
故选：B
9．（2021春·贵州）已知向量．若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【详解】解：因为，
所以，解得.
故选：B.
10．（2021秋·贵州）已知向量，若，则实数x＝ .
【答案】-6
【详解】因为，所以，解得：
故答案为：-6
11．（2022春·浙江）已知平面向量，.若，则实数（ ）
A．B．3C．D．12
【答案】B
【详解】由，可得，解得.
故选：B.
12．（2022秋·广东）设向量，，若，则 ．
【答案】1
【详解】由于，
所以.
故答案为：
13．（2022春·辽宁）已知向量，，
(1)求；
(2)若，求y的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：向量，，所以.
（2）解：向量，，若，则，解得.
14．（2021秋·广东）已知向量，若与共线，则m = .
【答案】
【详解】因为向量，且与共线，
所以，
解得：，
故答案为：.
15．（2023·江苏）已知向量，则实数（ ）
A．B．0C．1D．或1
【答案】D
【详解】由已知向量，
可得，
由可得，
即，解得，
故选：D
16．（2023春·新疆）已知向量与的夹角为60°，．
(1)求的值；
(2)求为何值时，向量与相互垂直．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为向量与的夹角为60°，
所以
（2）因为向量与相互垂直，
所以，则，
所以，
则
考点六：正、余弦定理
1．（2023·北京）在中，，，，则（ ）
A．60°B．75°C．90°D．120°
【答案】D
【详解】由余弦定理得： ，.
故选：D.
2．（2023·河北）在中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得，，，
由余弦定理可得，即
又可得；
利用正弦定理可知，所以.
故选：A
3．（2023·江苏）在中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，，解得.
故选：D
4．（2023春·浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【详解】，
，
由正弦定理，,
由角B为三角形内角，则，可得，
由，可得或，
故选：B
5．（2023春·湖南）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由余弦定理可得：.
故选：C.
6．（2023春·新疆）在△ABC中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由余弦定理得，，
又，所以.
故选：C
7．（2021春·河北）在中，内角所对的边分别是.若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由正弦定理可得，即，解得，
因为中，所以，
所以，，
故选：D
8．（2021春·河北）如图，在平面四边形ABCD中，，，，为等边三角形，则该四边形的面积是（ ）
A．12B．16C．D．
【答案】D
【详解】中，根据余弦定理，
则，则,
因为是等边三角形，所以，
的面积，
所以四边形的面积.
故选：D
9．（2021秋·吉林）在中，，，，则角B为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由正弦定理得，即，解得
由于，所以为锐角，所以.
故选：B
10．（2021春·浙江）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】由余弦定理可得，
，
所以.
故选：B.
11．（2021秋·河南）的三边长分别为3，5，7，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】C
【详解】设最大角为，则，是钝角，三角形为钝角三角形．故选：C．
12．（2021秋·河南）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，，则B=（ ）
A．45°B．60°C．60°或120°D．45°或135°
【答案】D
【详解】由正弦定理得，
因为，即，所以或．
故选：D．
13．（2021春·贵州）三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由三角形面积公式知：.
故选：A
14．（2021春·贵州）三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】解：在中由正弦定理可得，即，即，解得；
故选：C
15．（2021春·贵州）△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，则，
所以，而，
则且，
又，当时的最大值为.
故选：A
16．（2021秋·贵州）△ABC三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a＝1，c＝2，B＝60°，则b=（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【详解】由余弦定理得
，
因为，所以，
故选：D
17．（2021秋·福建）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则 .
【答案】
【详解】由可得,
由正弦定理可得，
解得，
故答案为：
18．（2023·北京）在中，，，则 ．
【答案】4
【详解】由正弦定理可得，故，所以.
故答案为：4.
19．（2023春·福建）已知分别为三个内角的对边，若，，则= .
【答案】/
【详解】由余弦定理，则，
又，所以，
故答案为：.
20．（2022秋·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b= .
【答案】
【详解】解：因为a=2，A=45°，B=60°，，
所以.
故答案为：.
21．（2022秋·福建）的内角所对的边分别为，且，则 ．
【答案】
【详解】由正弦定理得： ；
故答案为： .
22．（2022·湖南）在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为 ．
【答案】
【详解】由正弦定理： 可得： ，
由 可得 ，则： .
23．（2022春·广西）在中，，则csA= .
【答案】
【详解】由余弦定理得.
故答案为：
24．（2021秋·广西）如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为 m.
【答案】
【详解】在中，，，，
则，
因为，
所以，
所以点与点间的距离为.
故答案为：.
25．（2021秋·贵州）已知△ABC三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D是线段BC上任意一点，ADBC，且AD＝BC，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为ADBC，且，D是线段BC上任意一点，
所以当点D与B重合时，c最小，b最大，取最大值，
当点D与C重合时，c最大，b最小，取最小值，
所以，
由对勾函数的性质可得.
故答案为：.
26．（2022春·贵州）已知的外接圆半径为，边所对圆心角为，则面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：如图设外接圆的圆心为，过点作，交于点，
依题意，，
所以，，
要使的面积最大，即点到的距离最大，显然点到的距离，
所以
故答案为：
27．（2021春·天津）已知、、分别是三个内角、、的对边，且，，，则 ．
【答案】
【详解】因为，，，
由余弦定理可得.
故答案为：.
28．（2023春·福建）已知分别为三个内角的对边，.
(1)求的值；
(2)若，求b的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，因为，所以.
（2）由正弦定理，，又，
所以.
29．（2023·广东）在中，内角、、的对边分别为、、，，，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由正弦定理可得，所以，，
因为，则，故.
（2）解：由（1）可知，所以，.
30．（2023·云南）在中，角的对边分别为.
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)4；
(2)1.
【详解】（1）在中，，由正弦定理，得，
所以的值是4.
（2）在中，，由余弦定理，得，
则有，即，解得，
所以的值为1.
31．（2022·山西）在中，内角的对面分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，求及的面积.
【答案】（1）；（2）8，.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，且易知
所以，又，
所以.
（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，
，
即，
因为，解得，
所以.
32．（2022春·辽宁）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．
(1)求A的大小；
(2)若，，求a．
【答案】(1)或；
(2)答案见解析.
【详解】（1）解：由以及正弦定理可得，.
又，所以.
因为，所以或.
（2）解：当时，，由余弦定理可得，
，，
解得；
当时，，由余弦定理可得，
，，
解得.
综上所述，当时，；当时，.
33．（2022秋·广东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，
(1)求b
(2)求的值
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理，
所以.
（2）由正弦定理.
34．（2021秋·广东）如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3
（1）求△CBD的面积；
（2）求边AC的长.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
则，
；
（2）在中，由正弦定理得，
即，解得.
35．（2021·吉林）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∵是的内角，∴.
（2）∵，
∴，∴，
∵，∴，
又因为，所以.
考点六：复数的概念及四则运算
1．（2023·河北）若实数满足，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A.
2．（2023·山西）复数z满足，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【详解】设，则，
由，根据复数的模长公式，，
即，.
故选：B
3．（2023·江苏）已知，则（ ）
A．3B．4C．D．10
【答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C.
4．（2023春·湖南）已知i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，
故选：B
5．（2023·云南）若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】复数，则在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B
6．（2023春·新疆）设复数，则的虚部是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为复数，所以的虚部是.
故选：D
7．（2023春·新疆）若复数满足，则对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】依题意，，复数对应的点位于第三象限.
故选：C
8．（2022·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵复数z对应的点的坐标是，
∴.
故选：D.
9．（2022春·天津）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限.
故选：A
10．（2022春·辽宁）计算的值是（ ）．
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【详解】.
故选：A.
11．（2022春·浙江）复数（为虚数单位）的实部是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【详解】显然复数的实部是2.
故选：C.
12．（2022春·浙江）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四像限
【答案】B
【详解】，对应的复平面内的点为，位于第二象限.
故选：B.
13．（2022·湖南）已知，为虚数单位，，若为实数，则取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】为实数，则
故选：B
14．（2022春·广西）若复数，为虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C
15．（2021·北京）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】解：在复平面内，复数对应的点为，在第二象限.
故选：B
16．（2021春·天津）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【详解】根据复数的几何意义，在复平面内对应的点是，在第一象限.
故选：A
17．（多选）（2023春·浙江）已知是虚数单位，，复数是共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】因为，复数是共轭复数,
所以，所以，故A正确；
，故B正确；
因为虚数不能比较大小，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
18．（2021秋·吉林）若,其中是虚数单位,则的值分别等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解:由题知,
,
.
故选:C
19．（2021·湖北）复数所对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【详解】复数所对应的点的坐标为，
所以位于第一象限，
故选：A.
20．（2021秋·广西）已知是虚数单位，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得：.
故选：D.
21．（2023·北京）已知复数，，则 ．
【答案】/
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
22．（2023春·福建）已知为虚数单位，则 .
【答案】
【详解】.
故答案为：.
23．（2023·广东）已知复数，要让z为实数，则实数m为 .
【答案】2
【详解】为实数，则，．
故答案为：2.
24．（2022春·天津）是虚数单位，则复数 .
【答案】
【详解】由题意得，.
故答案为：
25．（2022·山西）已知是虚数单位，复数 .
【答案】
【详解】
故答案为：
26．（2022春·浙江）若复数（为虚数单位），则 ．
【答案】/0.4
【详解】．
故答案为：
27．（2021春·天津）为虚数单位，复数 ．
【答案】
【详解】．
故答案为：．