新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题36 圆锥曲线定点问题十二大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151500048" 题型1直线过定点之型 PAGEREF _Tc151500048 \h 1
\l "_Tc151500049" 题型2直线过定点之 PAGEREF _Tc151500049 \h 3
\l "_Tc151500050" 题型3直线过定点之求直线方程 PAGEREF _Tc151500050 \h 4
\l "_Tc151500051" 题型4特殊到一般法 PAGEREF _Tc151500051 \h 6
\l "_Tc151500052" 题型5斜率和问题 PAGEREF _Tc151500052 \h 8
\l "_Tc151500053" 题型6斜率积问题 PAGEREF _Tc151500053 \h 10
\l "_Tc151500054" 题型7斜率比值问题 PAGEREF _Tc151500054 \h 11
\l "_Tc151500055" 题型8多斜率问题 PAGEREF _Tc151500055 \h 13
\l "_Tc151500056" 题型9与角度有关的定点问题 PAGEREF _Tc151500056 \h 15
\l "_Tc151500057" 题型10直线过定点之类比法 PAGEREF _Tc151500057 \h 17
\l "_Tc151500058" 题型11定点与恒成立问题 PAGEREF _Tc151500058 \h 18
\l "_Tc151500059" 题型12圆过定点问题 PAGEREF _Tc151500059 \h 20
题型1直线过定点之型
【例题1】（2021·贵州贵阳·高三校联考开学考试）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点．
(1)求C的方程；
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线与C交于A、B两点（l不经过D点），且．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．
【变式1-1】1. （2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校考期末）已知动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知曲线与轴的正半轴交于点，不与轴垂直的直线交曲线于两点（，异于点），直线分别与轴交于两点，若的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【变式1-1】2. （2023上·广西玉林·高三校联考开学考试）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.
【变式1-1】3. （2023上·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．
【变式1-1】4. （2023上·河北张家口·高三统考开学考试）已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作与相切的两条直线，分别交椭圆C于P，Q两点，求证：直线恒过定点．
题型2直线过定点之
【例题2】（2021·广东深圳·统考二模）已知圆:，一动圆与直线相切且与圆外切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若经过定点的直线与曲线交于两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】1. （2020·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，且满足，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；
(3)已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．
【变式2-1】2. （2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【变式2-1】3. （2023上·北京丰台·高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点．
【变式2-1】4. （2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，设为坐标原点，线段的中点为，且满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点，圆过且交直线于两点，直线分别交于另一点（异于点）.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
题型3直线过定点之求直线方程
【例题3】（2020下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.
【变式3-1】1. （2020上·安徽·高三校联考阶段练习）在中，已知、，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上一点，直线与交点的横坐标为，求证：直线过定点.
【变式3-1】2. （2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线，交于点E．判断直线是否过定点，并说明理由．
【变式3-1】3. （2023上·江苏连云港·高三校联考阶段练习）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，点，为C的左，右顶点．P为直线上的动点，与C的另一个交点为M，与C的另一个交点为N．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．
【变式3-1】4. （2020·全国·校联考二模）在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【变式3-1】5.（2023上·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
题型4特殊到一般法
【例题4】（2023上·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.
【变式4-1】1. （2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知点为抛物线的焦点，点，过点作直线与抛物线顺次交于两点，过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求证：直线过定点．
【变式4-1】2. （2023·河北·统考模拟预测）已知直线l：与点，过直线l上的一动点Q作直线，且点P满足．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作直线与C交于A，B两点，设，直线AM与直线l相交于点N．试问：直线BN是否经过x轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【变式4-1】3. （2023·全国·高三专题练习）动点P到定点的距离比它到直线x＝－2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F且斜率为k（）的直线交曲线C于M，N两点.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)若点M关于x轴的对称点为A，探究直线AN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【变式4-1】4. （2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.
【变式4-1】5.（2023·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线：（，）的左､右焦点，点为双曲线上的点，且的面积为.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设原点到直线的距离为，直线交双曲线于，两点，试问：以线段为直径的圆是否经过一个定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由.
题型5斜率和问题
【例题5】（2020下·山西运城·高三统考阶段练习）椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上运动，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为，的两条直线分别交椭圆于点，，且，证明：直线恒过定点．
【变式5-1】1. （2023·山西吕梁·统考二模）已知抛物线：过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，证明：直线恒过定点．
【变式5-1】2. （2023上·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．
【变式5-1】3. （2023·河北张家口·统考三模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【变式5-1】4. （2023下·湖南岳阳·高三统考期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.
题型6斜率积问题
【例题6】（2020·北京·海淀实验中学校考三模）已知点M为椭圆C：的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA 与直线MB斜率之积为.
（1）求椭圆C的离心率及焦点坐标；
（2）试判断直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由.
【变式6-1】1. （2020下·山西运城·高三统考阶段练习）抛物线（），斜率为1的直线过抛物线的准线与轴的交点.
（1）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明；
（2）若，过分别作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，两点，且，证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标.
【变式6-1】2. （2024上·山东临沂·高三校联考开学考试）已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．
(1)求E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最小值．
【变式6-1】3. （2023上·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆的右顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为1，证明：直线过定点.
【变式6-1】4. （2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.
(1)求点的轨迹；
(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.
题型7斜率比值问题
【例题7】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值；
(3)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点.
【变式7-1】1. （2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线恒过一定点；
②设的面积为，求的最大值.
【变式7-1】2. （2023·云南·校联考模拟预测）已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.

(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.
【变式7-1】3. （2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为,左右焦点为,点为椭圆上异于的动点，且的面积最大值为.
(1)求椭圆的方程及的值；（、分别指直线的斜率）
(2)设动直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线过定点；
②设的面积分别为，求的取值范围.
【变式7-1】4. （2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设，M为C上一点，N为圆上一点（ 均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
题型8多斜率问题
【例题8】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．
(1)求动点M的轨迹；
(2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．
【变式8-1】1. （2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】2. （2023·湖北武汉·统考三模）已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点.
(1)求双曲线和椭圆的方程；
(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.
【变式8-1】3. （2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．
(1)求椭圆方程；
(2)设斜率存在的直线交椭圆于，两点（，位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，则直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【变式8-1】4.（2023·四川凉山·二模）在平面内动点P与两定点连线斜率之积为．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)已知点，过点P作轨迹E的切线其斜率记为，当直线斜率存在时分别记为．探索是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式8-1】5.（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.
题型9与角度有关的定点问题
【例题9】（2023·陕西西安·校考三模）在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线､的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
【变式9-1】1. （2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点．
(1)当直线的斜率为时，求；
(2)是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-1】2. （2023·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交AC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若过点且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点．问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式9-1】3. （2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，且双曲线焦距为4．
(1)求双曲线的方程；
(2)如果为双曲线右支上的动点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【变式9-1】4. （2022上·贵州·高二校联考阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆：的长轴长为4，的右顶点到右焦点的距离为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，直线与椭圆交于不同的两点，，（，两点都在轴上方），为坐标原点，且.证明直线过定点，并求出该定点坐标.
【变式9-1】5.（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为2，点到C的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
题型10直线过定点之类比法
【例题10】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，左顶点为D，离心率为，经过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，
①证明：直线MN过定点；
②求的最大值.
【变式10-1】1. （2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．
【变式10-1】2. （2023上·广东惠州·高三校考阶段练习）在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
(1)求的方程；
(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
【变式10-1】3. （2023·福建·校联考模拟预测）设抛物线：（）的焦点为，点的坐标为.已知点是抛物线上的动点，的最小值为4.
(1)求抛物线的方程：
(2)若直线与交于另一点，经过点和点的直线与交于另一点，证明：直线过定点.
【变式10-1】4. （2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．
【变式10-1】5.（2023·贵州·校联考二模）抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．
(1)求抛物线的方程；
(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点,,证明：直线经过定点．
题型11定点与恒成立问题
【例题11】（2023上·四川眉山·高三仁寿一中校考期末）椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式11-1】1. （2024·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线：，直线与交于，两点，且.
(1)求；
(2)若在轴上存在定点，使得，求定点的坐标.
【变式11-1】2. （2022上·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第70中校考期中）设，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，直线：与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点.若，求证：直线经过定点.
【变式11-1】3. （2022上·四川绵阳·高三盐亭中学校考期中）已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 ​轴，且经过点​.
(1)求抛物线方程;
(2)若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标.
【变式11-1】4. （2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率是 ，其左､右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
(1)求证：；
(2)若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【变式11-1】5.（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
题型12圆过定点问题
【例题12】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点的坐标为，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于，的一个动点，直线分别于直线交于两点，问以为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.
【变式12-1】1. （2023上·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的标准方程和准线方程；
(2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.
【变式12-1】2. （2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-1】3. （2023·江西九江·统考一模）已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.
【变式12-1】4.（2021·上海·高三专题练习）如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【变式12-1】5.（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值．
【变式12-1】6.（2023·广东广州·统考模拟预测）已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．
(1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；
(2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
1. （2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.
2. （2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．
(1)求的内心坐标；
(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
3. （2023·广东梅州·统考三模）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
4. （2023·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆交于两点，证明：在轴上存在定点，使得直线，关于轴对称.
5. （2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为F，且经过点，过F的直线与椭圆E交于C，D两点，当轴时，．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使成立，证明直线PQ过定点．
6. （2023·湖南岳阳·统考二模）已知点，点分别为椭圆的左､右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.
(1)过椭圆的上顶点引两条互相垂直的直线，记上任一点到两直线的距离分别为，求的最大值；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点试问：是否存在轴上的定点，使得.若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
7. （2023·江西吉安·统考一模）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左､右顶点分别为，直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线斜率为，直线斜率为，过原点做直线的垂线，垂足为，当为定值时，问是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
8. （2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
9. （2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点．
(1)求线段PQ中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
10.（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
11．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
12.（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
13．（2020·全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定点.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
1.直线AB方程为，联立曲线方程，
结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况；
2.设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.
在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．证明直线（曲线）过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线（曲线）方程，根据方程的成立与参数值无关得出的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线（曲线）所过的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系．
特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
与定点问题有关的基本结论
（1）若直线与抛物线交于点，则 直线l过定点；
（2）若直线与抛物线交于点，则 直线l过定点；
（3）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点．
（4）设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则 直线MN过定点；
（5）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
（6）过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
（7）设点是椭圆C：上一定点，点A，B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点；
（8）设点是双曲线C：一定点，点A，B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点．
圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为