新高考数学一轮复习重难点练习14数列通项公式的求法（递推法、做差法）（2份，原卷版+解析版）

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数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．
题型方法
考法1：递推法
一．解答题（共21小题）
1．（2023•五华区校级模拟）设正项数列的前项和为，且，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，且，求数列的通项公式．
【分析】（1）由已知可得：当时，，即，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，然后求解即可；
（2）由（1）可得：，则当时，，然后结合错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）已知正项数列的前项和为，且，
当时，，
，
，
即，
又，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，
则，
则，，
当时，满足上式，
即；
（2）由（1）可得：，
则当时，，①
则，②
由①②得：，
即，
化简得：，
当时， 也满足上式，
所以数列 的通项公式为．
【点评】本题考查了利用数列的递推式求数列的通项公式，重点考查了错位相减法，属中档题．
2．（2023•鼓楼区校级模拟）记为数列的前项和，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足且，的前项和为，证明：．
【分析】（1）由，可得，则数列是首项与公差都是2的等差数列，即可得出答案；
（2）利用累加法求出通项公式，再利用裂项相消法求出，即可证明结论．
【解答】解：（1），
，解得，
当时，，
两式相减可得，
，
又，则，
故数列是首项与公差都是2的等差数列，
；
（2）证明：由（1）得，
又，
则
，
，
，
，
．
【点评】本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3．（2023•南关区校级模拟）数列，满足，，．
（1）求证：是常数列；
（2）设，，求的最大项．
【分析】（1）由已知，容易证得，从而结论成立；
（2）根据已知条件，可判断数列的单调性，从而找到最大项为．
【解答】解：（1），
，，
，，
，
所以，数列是常数列．
（2），，．
由（1）知：，
，又，．
又，．又，．
，即，
所以，数列是递减数列．
故数列的最大项为．
【点评】本题考查了数列中的递推关系及数列的单调性的判定，属中档题．
4．（2023•贾汪区校级模拟）记为数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）令，记的前项和为，证明：．
【分析】（1）由已知可得，即，然后求解即可；
（2）由（1）可得，然后结合错位相减法求数列的前项和即可．
【解答】（1）解：已知为数列的前项和，，①
则，②
由②①可得：，，
即，
即，，
又满足上式，
即；
（2）证明：由（1）可得，
记的前项和为，
则，③
则，④
由③④可得：，
则，
即．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了错位相减法求数列的前项和，属中档题．
5．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）利用数列的递推式可得，即，验证时成立，即可得出答案；
（2）由（1）得，不等式对恒成立，转化为对恒成立，即对恒成立，令，利用数列的函数特性可得是递增数列，即可得出答案．
【解答】解：（1）①，
当时，，解得；
当时，②，
由①②得，即，
故，
又当时，符合上式，
故；
（2）由（1）得，不等式对恒成立，转化为对恒成立，即对恒成立，
令，则，
故是递增数列，
（1），即，
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查数列与不等式的综合、恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6．（2023•濠江区校级三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”．
（1）若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
（2）若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
（3）设数列是公比为的等比数列．若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围．
【分析】根据紧密数列的定义，分别在（1）、（2）条件下去判定各个数列是否满足，第（3）问则反过来根据定义求出的范围，注意讨论．
【解答】解：（1）已知，
则，
，
不是“紧密数列”．
（2）数列为“紧密“数列，理由如下：
由可得：
当时，，
当时，，
又满足，
所以，
所以对任意，
且随着的增大，递减，故，
所以，
因此数列为“紧密”数列；
（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，
当时，有，，
所以有，满足题意；
当时，，，
因为为“紧密“数列，
所以．即或，
当时，．
，
所以，满足为“紧密”数列；
当时，，不满足为“紧密“数列；
综上，实数的取值范围是．
【点评】本题以新概念为载体，考查了等差、等比数列的通项公式，前项和公式等知识，属中档题．
7．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列是等差数列，其前项和为，，，数列满足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对数列，，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列的前2023项的和．
【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，利用通项公式与求和公式可得关于与的方程组，解得，，即可得出．根据数列满足，可得时，，
相减化简整理可得．
（2）时，与之间插入即个2，时，与之间插入即个2，，时，在与之间插入个2，此时共有项，在的后面再插入个2即可．利用求和公式即可得出数列的前2023项的和
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，，
，，
解得，
．
数列满足，
时，，
相减可得：，
又，
，
时，，，解得，满足，
．
（2）时，与之间插入即个2，时，与之间插入即个2，，时，在与之间插入个2，
此时共有项，在的后面再插入个2即可．
数列的前2023项的和．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2023•枣庄二模）已知数列的首项，且满足．
（1）证明：为等比数列；
（2）已知为的前项和，求．
【分析】（1）由，变形为，即可证明结论．
（2）由（1）可得：，可得，为奇数时，；为偶数时，．分组求和即可得出．
【解答】解：（1）证明：，
变形为，
，
为等比数列，首项为1，公比为．
（2）由（1）可得：，
，
为奇数时，；
为偶数时，．
．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（2023•南京模拟）已知公比大于1的等比数列满足：，．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若，，证明：是等差数列．
【分析】（1）方法1：由等比数列性质得到关于首项和公比的方程组，求出解得，得到通项公式；
方法2：根据等比数列性质计算出，从而求出公比，得到通项公式；
（2）根据与的关系式得到，从而结合（1）知，，得到结论．
【解答】解：（1）方法1：设公比为，
由等比数列性质得出，
解得或，
又，，
因此．
方法2：设公比为，
是等比数列，，
又，解得或．
又，，，．
因此．
（2）由（1）得，，
两式作差可得，
即，整理得，．
方程同除以得，，即．
数列是公差为的等差数列．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2023•广陵区校级模拟）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点，在函数的图象上，其中为正整数，
（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设，，定义，且记，求数列的前项和．
【分析】（1）由与的关系，可证是平方递推数列，再两边取对数，可证等比数列；
（2）根据新定义，找出的表达式，然后根据的范围利用公式分段求和．
【解答】解：（1）证明：由题意，点，在函数的图象上，
所以，
即，
满足题设中平方递推数列定义，是“平方递推数列”．
对两边同时取常用对数，
可得，
又，
数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
由题意知：当时，；
当时，．
又
由，可得
①当且时，
；
②当且时，
，
综上，
【点评】本题考查了等比数列的证明、新定义下的数列求和，属中档题．
11．（2023•辽宁模拟）设正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）能否从中选出以为首项，以原次序组成等比数列．若能，请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据与的关系式，分成与两种情况，即可得出答案；
（2）当，公比时满足题意，并证明当，公比为时不成立．
【解答】解：（1）①，
当时，，即，解得或（舍去）．
当时，②，
由①②得，即．
，
，，即数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
故；
（2）存在，当，时，会得到数列中原次序的一列等比数列，
此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中；
下面证明此时的公比最小：，假若取，公比为，
则为奇数，不可能在数列中．
所以．
【点评】本题主要考查数列递推式，等比数列得性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（2023•南京二模）已知数列的前项和为，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【分析】（1）推导出，由累乘法可求得，由此用与的关系能求出通项公式．
（2）方法1：推导出当时，，再利用裂项求和法进行证明．
方法2：推导出当时，，再利用裂项求和法进行证明．
【解答】解：（1），，
又，，
，
，，
，
，，
也满足上式，
．
（2）方法一：证明：由（1）可知：当时，，
．
又，，
．
方法二：由（1）可知：当时，，
．
当时，也成立，
．
【点评】本题考查构造法、放缩法、数列递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13．（2023•皇姑区校级模拟）已知数列满足，．
（1）计算：，，，，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
（2）若，，求的取值范围．
【分析】（1）由前几项猜想，用数学归纳法证明即可；
（2）分离，将不等式恒成立的问题，转化为求数列的最小项问题，利用作差法找出最小项，即可求解．
【解答】解：（1）依题意，，，，
猜测，．以下用数学归纳法证明．
证明：①已知，2，3，4，5时成立；
②假设时，成立，
则，符合猜想；
综上，成立．
（2）取，
则．，
当，2，3，4，5，6时，，
当时，，
为数列的最小项，
所以的取值范围是．
【点评】本题考查了用数学归纳法证明数列通项公式以及不等式恒成立问题，属中档题．
14．（2023•麒麟区校级模拟）已知数列满足，．记．
（Ⅰ）证明：数列为等差数列；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前20项的和．
【分析】（Ⅰ）由，，两边同时除以即可证明结论．
（Ⅱ）由可得数列的前项和为，通过分组求和即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）证明：，，
，
，
，，
数列为等差数列，公差为2，首项为1．
（Ⅱ）由可得数列的前项和为．
数列的前20项的和为
．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分组求和法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（2023•皇姑区四模）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，．
（Ⅰ）是否存在常数，使得？请说明理由；
（Ⅱ）若为等比数列，求数列的通项公式及其前项和．
【分析】（1）由递推式将化为后相减，再结合条件约分，经比较可得的值．
（2）据条件找出和，再用公式即可求得．
【解答】解：（1），，
，
两式相减可得
，
，两边同时除以可得：
，
与题设条件比较可知：存在满足条件；
（2）设公比为，，．
由（1）可知：，
化简得，
解得，即，
当时，，解得，
，
．
【点评】本题考查数列的递推式，等比数列的通项公式和前项和公式，属中档题．
16．（2023•龙华区校级模拟）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由，可得，时，，时，，化简利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：，利用裂项求和方法并且结合数列的单调性即可得出结论．
【解答】解：（1），
，
时，，
化为，
，都有，
，
时，，解得，
数列是等差数列，公差为2，首项为1，
．
（2）由（1）可得：，
时，，
当时，
，
当时，总有恒成立，
，
实数的取值范围为：，．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（2023•洪山区校级模拟）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，且，其中为常数．（1）若数列为等差数列，求；
（2）若，求数列的前20项和．
【分析】（1）由及数列递推式可依次推得，的值，再根据等差中项的概念，即可求得；
（2）由数列递推式可推得，，根据，的值可求得和的值，再用裂项相消法即可求得．
【解答】解：（1）由，，
可得，，
因为数列为等差数列，
所以，即，
解得，所以，公差，
故，；
（2）当时，有①，
则②，
②①得：，
因为数列的各项均为正数，所以，
则有，，
令，则，
故
，
由（1）知，，
由，可得：
，
，
所以．
【点评】本题考查由数列递推式求通项，裂项相消法求和，属中档题．
18．（2023•南关区校级模拟）已知数列的各项均为正数，其前项和为，数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意正整数，均有，求实数的最大值．
【分析】（1）根据数列的递推关系，将变量换成，得到一个新的等式，两式相减后通过变型可得是等比数列，写的时候要注意先算前两项．（2）由等比数列的前项公式求出，然后通过参变分离的方法求的范围，求的时候注意的范围是正整数．
【解答】解：（1）将代入，，得，
解得或，因为各项是正的，所以舍去，故
将代入，，得，
解得（舍去），，
由，①，可得，，②，
令①②得，，利用平方差公式化简得
，．
即，．因为各项是正的，所以可化简为．，．
由．，．可得，，．
两式相减得，，
化简得，，．
由上面算的，，可知时，也成立．
所以是等比数列，首项是2，公比是3，
即．
（2）由（1）的结果可知，将代入不等式中，
可得，化简得，
利用参变分离的方法，得到，
设，则，我们需要求出的最小值，下面证明一下的单调性，
由恒成立可知，
恒成立，所以单调递增，最小值为（1）．
故恒成立，所以的最大值为1．
【点评】本题主要考查数列的递推公式和不等式恒成立问题，第（1）问要注意先算前两项，第（2）问要注意和数列有关的函数在判断增减性时通常不会求导，一般都是用作差法或作商法看单调性．
19．（2023•宜章县二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为．
（1）求的分布列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的期望．
【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2，分别求出概率，写出分布列；
（2）由全概率公式得到，判断出数列是以为首项，以为公比的等比数列即可求解；
（3）利用全概率公式求出，求出，进而求出．
【解答】解：（1）由题可知，的可能取值为0，1，2，由相互独立事件概率乘法公式可知：
，，，
故的分布列如下表：
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：．
（3）由全概率公式可得：
，
即：，
又，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查数列的应用，是难题．
20．（2023•恩施市校级模拟）已知各项均不为零的数列满足，其前项和记为，且，，，数列满足，．
（1）求，，；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）由题设，可找出的关系式，难点在于对下标范围的把握，要特别留意；
（2）在（1）的基础上，分范围写出所求数列的通项，再综合利用分组、公式法及裂项相消法求和．
【解答】解：（1）因为当时，，
所以．又，
当时，有，所以
当时，有，所以，
当时，由可得，
两式相减可得：，
时，，
相减可得：，
数列的奇数项从第3项起，为公差为4的等差数列；
偶数项为公差为4的等差数列．
．
（2）由题意，，，
由（1）知：当时，，当时，，
故数列从第2项起，构成等差数列，且．
，
当时，；
当时，．，
记．，
则有．．，
两式相减，可得：
，
故．代入可得：
，
综上所述，
．
【点评】本题主要考查数列求和的常用方法，难点在于对范围的处理，属难题．
21．（2023•大兴区校级模拟）若有穷数列，，，，满足，2，，，则称数列为数列．
（Ⅰ）判断下列数列是否为数列，并说明理由；
①1，2，4，3；
②4，2，8，1．
（Ⅱ）已知数列，，，，其中，，求的最小值；
（Ⅲ）已知数列是1，2，，的一个排列．若，求的所有取值．
【分析】（Ⅰ）利用定义判断即可；
（Ⅱ）由已知判断出，从而解得或者，再同理可得或者，以此类推即可；
（Ⅲ）分类讨论，4，5及时，分别研究是否满足题意．
【解答】解：①因为，所以该数列不是数列；
②因为，所以该数列是数列．
由，则有，可得或者，
恒成立，可得或者，
同理可得：，，
故，
故最小值为13；
当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为3，2，4，1．此时，符合题意；
当时，数列为 2，3，4，5，1．此时，符合题意；
下证当时，不存在满足题意，
令，2，，，
则，且，
所以有以下三种可能：
①，②，③，
当时，因为，
由知：，，，是公差为1（或的等差数列，
当公差为1时，由得 或，所以或，与已知矛盾，
当公差为时，同理得出与已知矛盾，
所以当时，不存在满足题意，
其它情况同理，
综上可知，的所有取值为4或5．
【点评】本题主要考查数列递推式及绝对值不等式的应用以及分类讨论思想，属于难题．
考法2：做差法
一．解答题（共12小题）
1．（2023•临泉县校级三模）已知数列的前项和为，．
（1）若，证明：数列为等差数列
（2）若，，求的最小值．
【分析】（1）从递推关系中构造出（常数）；
（2）在第（1）的基础上，找到的表达式，进而找出，分析的变化，找到的最小值．
【解答】证明：（1）由，两边同除以，
得，即，
由，可知．两边同时取倒数，
可得，
，
故数列 为以1为公差的等差数列．
解：（2）由，可得，故，即，
当 时，，
，
当时，，
当时，，
符合题意的的最小值为33．
【点评】本题难度不大，第一问的切入点，要抓住所证数列的结构特点，结合等差数列的定义去对递推公式进行变换．第二问考查的点其实是已知求这个基本点，比较简单，解答时注意绝对值的处理．
2．（2023•海口模拟）记为数列的前项和，已知．
（Ⅰ）证明：数列 是等差数列；
（Ⅱ）设为实数，且对任意，总有，求的最小值．
【分析】（1）由题设和与的关系即可证；
（2）求出，再由的单调性求出的取值范围即可求得．
【解答】解：（1）因为，所以，
作差可得，变形可得：，
由条件可得，所以，，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得：，，，
，
，满足的的最小值为2．
【点评】本题考查与的关系和等差数列的性质，数列的相关运算，属中档题．
3．（2023•广州一模）已知数列的前项和为，且．
（1）求，并证明数列是等差数列；
（2）若，求正整数的所有取值．
【分析】（1）利用与的关系，变形得，即，结合等差数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）得，即，利用错位相减法求出，不等式转化为，构造函数，利用函数的单调性，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：①，
当时，，解得，
当时，②，
由①②得，即，
，
又，
数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）得，即，
③，
④，
由③④得，
，则，，
，，即，
令，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
又（1），（2），（3），（4），
要使，即，
故正整数的所有取值为1，2，3．
【点评】本题考查等差数列定义和由数列的递推式求数列的通项，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4．（2023•碑林区校级模拟）已知数列的前项和为，且对任意的有．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）由可得，两式相减并结合即可证明是等比数列；
（2）由（1）可知，则，从而利用分组求和法求出即可．
【解答】解：（1）证明：由，得，
两式相减得，即，所以，
又当时，，解得，当时，解得，满足，
所以是以1为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，则，
所以．
【点评】本题考查数列的递推公式，分组求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
5．（2023•福田区校级模拟）已知数列，的前项和分别为，，且，，当时，满足．
（1）求；
（2）求．
【分析】（1）根据数列的前项和作差，即可求解；
（2）由（1）和累加法求得，再利用错位相减法，即可求解．
【解答】解：（1）当时，；
当时，
，
也满足上式，
．
（2），
由（1）得：，
，
当时，
，
也满足上式，
．
，①
． ②
由①②得：
，
．
【点评】本题考查根据数列的前项和与累乘法求通项公式，错位相减法求和，还考查了计算能力，属于中档题．
6．（2023•云南模拟）正项数列的前项和为，已知．
（1）求证：数列为等差数列，并求出，；
（2）若，求数列的前2023项和．
【分析】（1）先将时代入题干表达式计算出的值，当时，将代入化简整理进一步推导即可证得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，再计算出的表达式，进一步计算出的表达式，最后结合公式计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用分母有理化、分组求和法即可计算出前2023项和．
【解答】（1）证明：由题意，当时，，
即，解得，
当时，将代入，
可得，
化简整理，得，
，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，，
，，
，，
则当时，，
当时，也满足上式，
，．
（2）解：由（1）可得，，
则
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及求前项和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等差数列通项公式与求和公式的运用，分母有理化，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
7．（2023•全国二模）已知正项数列的前项和为，且，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
【分析】（1）由条件可利用与的关系将条件式化为，再由等差数列的定义求出，再用与的关系求出通项；
（2）由（1）的结果求出数列的通项公式，再用裂项相消法求出，最后由的值证得：．
【解答】解：（1）由得：
，
为正项数列，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，
当时，，
也满足上式，
．
证明：（2）由（1）得，
，
．
【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项相消法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
8．（2023•武功县校级模拟）已知数列的各项均为正数，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
【分析】（1）利用求得；
（2）根据的表达式，转换后利用裂项相消法求和即可求得．
【解答】解：（1）依题意，
当时，，解得，
当时，由，得①，
所以②，
①②得：，
即，
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以；
（2）由得，
所以，
所以．
【点评】本题考查由数列前项和求通项，考查裂项相消法求和，属中档题．
9．（2023•鼓楼区校级模拟）记为数列的前项和，已知，．
（1）求，并证明是等差数列；
（2）求．
【分析】（1）当时，有，可求出，当时，有，可求出，从而可得；由可得，则，两式相减并整理可得，从而可证明是以6为首项，以4为公差的等差数列；
（2）由可得，两式相减得，从而分类讨论为奇数与为偶数两种情况即可求出．
【解答】解：（1）当时，，解得，
当时，，解得，
所以；
由，得，则，
两式相减得，则，
令，则，，
所以是以6为首项，以4为公差的等差数列；
（2）当为偶数时，，
由，得，两式相减得，
所以当为奇数时，
，
即，
综上．
【点评】本题考查数列的递推公式，并项求和法，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
10．（2023•乌鲁木齐二模）若数列的前项和满足．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，证明：．
【分析】（Ⅰ）先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减可得，进一步转化推导即可证得数列是以为首项，2为公比的等比数列；
（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列的通项公式，以及数列的通项公式，再计算出数列与数列的通项公式，最后运用放缩法，裂项相消法，不等式的运算即可证明结论成立．
【解答】证明：（Ⅰ）由题意，当时，，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
两边同时减去1，
可得，
，
数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，
则，，
故，
，
，
故不等式对任意恒成立．
【点评】本题主要考查等比数列的判定，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论，转化与化归思想，放缩法，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
11．（2023•安徽模拟）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．
（1）求和；
（2）若，证明：．
【分析】（1）先将代入题干表达式计算出的值，当时，将代入，进一步转化推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，从而计算出的表达式，然后根据公式即可计算出数列的通项公式．
（2）根据题意有当时，，则，在求和时代入并运用放缩法，以及等比数列的求和公式即可证明不等式恒成立．
【解答】（1）解：由题意，当时，，
即，解得，
当时，将代入，
可得，
化简整理，得，
，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，
，，
当时，，
当时，也满足上式，
，．
（2）证明：由题意，当时，，则
则
，
故当时，不等式恒成立．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，放缩法，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
12．（2023•丹东模拟）为数列的前项和，已知．
（1）证明：；
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，，求这个新数列的前50项和．
【分析】（1）根据数列的前项和进行求解即可；
（2）根据题意，利用等比数列的前项和公式和错位相减法求解．
【解答】解：（1）证明：由，可得，即，
又，相减得，
所以，
又，所以数列为常数0，
即，
可证得：；
（2）设数列的前项和为，
则，
两边同乘以2得，
以上两式相减得，
设是新数列的第项，则，
当时，，当时，，
故这个新数列的前50项中包含的前9项，
以及数列的前项和，2，3，，的和以及中的前5项和，
由（1）知，所以这个新数列的前50项和为：
．
【点评】本题考查已知数列前项和求通项，错位相减法、分组法求和等知识，属中档题．
0
1
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