新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题10 导数与不等式恒成立九大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题10 导数与不等式恒成立九大题型汇总（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题10导数与不等式恒成立九大题型汇总原卷版doc、新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题10导数与不等式恒成立九大题型汇总解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共121页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145077590" 题型1直接求导型 PAGEREF _Tc145077590 \h 1
\l "_Tc145077591" 题型2端点赋值法 PAGEREF _Tc145077591 \h 2
\l "_Tc145077592" 题型3 隐零点型 PAGEREF _Tc145077592 \h 3
\l "_Tc145077593" 题型4分离参数法 PAGEREF _Tc145077593 \h 5
\l "_Tc145077594" 题型5分离参数法-洛必达法则 PAGEREF _Tc145077594 \h 6
\l "_Tc145077595" 题型6构造辅助函数求参 PAGEREF _Tc145077595 \h 6
\l "_Tc145077596" 题型7绝对值同构求参 PAGEREF _Tc145077596 \h 7
\l "_Tc145077597" 题型8函数取“整”型 PAGEREF _Tc145077597 \h 9
\l "_Tc145077598" 题型9“存在”成立问题 PAGEREF _Tc145077598 \h 10
题型1直接求导型
【例题1】（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知函数，．其中
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若，且，恒成立，求的取值范围．
【变式1-1】1. （2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【变式1-1】2. （2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数，且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.
【变式1-1】3. （2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数，
(1)若函数，讨论当时函数的单调性；
(2)若函数恒成立，求的取值范围.
【变式1-1】4. （2023秋·云南保山·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
题型2端点赋值法
【例题2】（2022·河南郑州·统考一模）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数对任意都有成立，求的取值范围.
【变式2-1】1. （2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)若是的极值点，求的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【变式2-1】2. （2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）设函数，已知直线是曲线的一条切线．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【变式2-1】3. （2023春·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知函数．（a，b为实数）
(1)当时，求过点的图象的切线方程；
(2)设，若恒成立，求b的取值范围．
【变式2-1】4. （2023·四川成都·校联考二模）已知函数在处的切线与轴垂直．（其中是自然对数的底数）
(1)设，，当时，求证：函数在上的图象恒在函数的图象的上方；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围．
题型3 隐零点型
【例题3】（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直．
(1)求实数a的值；
(2)若存在，使得恒成立，求实数k的最大值．
【变式3-1】1. （2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，，求的取值范围．
(3)若存在实数、，使得恒成立，求的最小值．
【变式3-1】2. （2022秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性，
(2)若，当时，恒成立时，求的最大值.（参考数据：）
【变式3-1】3. （2023·福建泉州·校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若对任意，恒成立，求整数m的最小值.
题型4分离参数法
【例题4】（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数（e为自然对数的底数）.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求证：实数.
【变式4-1】1. （2023秋·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)若是函数的极值点，求m的值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【变式4-1】2. （2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值.
【变式4-1】3. （2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的最小值.
【变式4-1】4. （2023·江西·校联考模拟预测）设函数；
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明：．
题型5分离参数法-洛必达法则
【例题5】设函数．（1）求的单调区间；
（2）如果对任何，都有，求的取值范围．
【变式5-1】1.设函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
【变式5-1】2.已知函数，曲线在点处的切线为．
(1)证明：对于，；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
题型6构造辅助函数求参
【例题6】（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考三模）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若任意且，都有成立，求实数的取值范围.
【变式6-1】1. （2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.
【变式6-1】2. （2023秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若任意、且，都有成立，求实数的取值范围．
【变式6-1】3. （2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数，其中.
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2)若，证明对任意，恒成立.
【变式6-1】4. （2021·甘肃嘉峪关·嘉峪关市第一中学校考三模）已知函数.
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；
（2）若对任意，都有，求的取值范围.
题型7绝对值同构求参
【例题7】（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
【变式7-1】1. （2022秋·天津北辰·高三校联考期中）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若，证明对任意，，恒成立．
【变式7-1】2. （2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值；
(2)当时，，且，求证．
(3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围；
【变式7-1】3. （2021·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意，都有成立，其中且，求实数a的取值范围.
【变式7-1】4. （2020秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值．
【变式7-1】5. （2021秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数．
（1）若在上的最大值为，求的值；
（2）记，当时，若对任意，总有，求的最大值．
题型8函数取“整”型
【例题8】（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值.
【变式8-1】1. （2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【变式8-1】2. （2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）设函数
(1)若，，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k的最大值．
【变式8-1】3. （2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且存在整数使得恒成立，求整数的最大值.
（参考数据：，）
【变式8-1】4. （2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若m为整数，且关于x的不等式恒成立，求整数的最小值.
题型9“存在”成立问题
【例题9】（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）已知函数，
(1)证明：当时，恒成立；
(2)若关于的方程在内有解，求实数的取值范围.
【变式9-1】1. （2023秋·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知函数，，是的导函数.
(1)证明：存在唯一零点；
(2)若关于x的不等式有解，求a的取值范围.
【变式9-1】2. （2023·全国·高三专题练习）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，记，是否存在整数t，使得关于x的不等式有解?若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由.
【变式9-1】3. （2022·辽宁·校联考一模）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
【变式9-1】4. （2022秋·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围；
(3)若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围；（只需直接写出结果）
【变式9-1】5. （2022·北京海淀·101中学统考模拟预测）设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
1. （2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知函数，是的导函数．
(1)设，证明：是增函数；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
2. （2023·河南开封·统考三模）已知函数．
(1)若，函数的图象与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围；
(2)若 在恒成立，求的最小值．
3. （2023·福建厦门·厦门一中校考一模）函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
4. （2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，若恒成立，求的取值范围；
(2)若在上有极值点，求证：．
5. （2023·广东深圳·统考二模）已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
6. （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数，其中.
(1)若在上恒成立，求的取值范围；
(2)证明：，有.
7. （2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的导函数的单调性；
(2)若，求证：对，恒成立．
8. （2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)若为上的增函数，求的取值范围；
(2)若在内恒成立，，求的最大值．
9. （2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
10．（2011·北京·高考真题）已知函数.
（1）若时，有解，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下取最小值时，求证：恒成立.
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；；
1．端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用）
2．为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围．注意，开区间不一定是充分条件．
有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论．
1．导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解．但得到参数和的等量代换关系．备用
2.知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根
3.利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围．
4.再代入参数和互化式中求得参数范围．
1．若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”
2．注意“断点”是在端点处还是区间分界处．
1．含有和型，大多数可以考虑变换结构相同，构造函数解决．
2．可以利用第一问的某些结论或者函数结构寻找构造的函数特征．
1．含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值．
2．去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数．
讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题
1．当不能分离参数时候，要移项分类讨论．
2．确定是最大值还是最小值．