重难点突破07 不等式恒成立问题（十大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（原卷版）

重难点突破07 不等式恒成立问题

目录

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，．

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．

4、法则1若函数和满足下列条件：

（1）及；

（2）在点的去心邻域内，与可导且；

（3），

那么=．

法则2若函数和满足下列条件：（1）及；

（2），和在与上可导，且；

（3），

那么=．

法则3若函数和满足下列条件：

（1）及；

（2）在点的去心邻域内，与可导且；

（3），

那么=．

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立．

（2）洛必达法则可处理，，，，，，型．

（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．

（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．

，如满足条件，可继续使用洛必达法则．

题型一：直接法

例1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数.

(1)已知函数在处的切线与圆相切，求实数的值.

(2)已知时，恒成立，求实数的取值范围.

例2．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．

(1)讨论方程实数解的个数；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

例3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若，求的取值范围．

变式1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数，．

(1)若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值；

(2)当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围．

题型二：端点恒成立

例4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数．

(1)求在处的切线方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

例5．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在处取得极值，求实数的值；

(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

例6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数与分别是与的导函数.

(1)证明:当时,方程在上有且仅有一个实数根;

(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

变式2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)记，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

变式3．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数．

(1)讨论在上的单调性；

(2)若对于任意，若函数恒成立，求实数k的取值范围．

变式4．（2023·四川泸州·统考三模）已知函数．

(1)若单调递增，求a的取值范围；

(2)若，，求a的取值范围．

题型三：端点不成立

例7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数的极值；

(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

例8．（2023·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

例9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若对于任意的，恒成立，求实数的最小值．

变式5．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数，．

(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；

(2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．

变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

例10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数.

(1)若的极大值为3，求实数的值；

(2)若，求实数的取值范围.

例11．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且．

(1)求函数的单调性；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

例12．（2023·河北·模拟预测）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

变式7．（2023·福建三明·高三统考期末）已知函数，.

(1)求证：在上单调递增；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

变式8．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数，为的导函数．

(1)讨论的极值；

(2)当时，，求k的取值范围．

变式9．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知，.

(1)求的极值；

(2)若，求实数k的取值范围.

变式10．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.

(1)求函数的极值点个数；

(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.

变式11．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，求实数的取值范围．

题型五：洛必达法则

例13．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.

(1)求实数的值；

(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

例14．设函数.当时，，求的取值范围.

例15．设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．

题型六：同构法

例16．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数.

(1)若，判断的零点个数；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函数，.

(1)若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；

(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围.

例18．（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．

变式12．（2023·广西柳州·统考三模）已知，（），若在上恒成立，则实数a的最小值为（    ）

A． B． C． D．

变式13．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.

(1)讨论函数极值点的个数；

(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.

变式14．（2023·海南·校考模拟预测）已知，函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若，求a的取值范围．

变式16．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数，其中，.

(1)当时，求函数的零点；

(2)若函数恒成立，求的取值范围.

变式17．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求实数a的取值范围.

题型七：必要性探路

例19．（2023·江西九江·统考三模）已知函数

(1)讨论f(x)的单调性：

(2)当时，若，，求实数m的取值范围．

例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

例21．（2023·江西九江·统考三模）已知函数）在处的切线斜率为.

(1)求a的值；

(2)若，，求实数m的取值范围.

变式18．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数．

(1)当时，讨论在区间上的单调性；

(2)若，求的值．

变式19．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知函数．

(1)若，，求证：有且仅有一个零点；

(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．

题型八：max，min函数问题

例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中.

(1)证明：当时，；当时，；

(2)用表示中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，请说明理由.

例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中.

（1）证明：当时，；当时，；

（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.

例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中.

（1）证明：当时，；当时，；

（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.

变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.

（1）证明恒成立；

（2）用表示m，n中的最大值.已知函数，记函数，若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

变式21．（2023·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，.

(1)求的值；

(2)①判断的零点个数；

②定义函数在上单调递增.求实数的取值范围.

变式22．（2023·全国·高三专题练习）设函数.

（1）若，证明：在上存在唯一零点；

（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.

题型九：构造函数技巧

例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．

例26．（2023·江苏·统考高考真题）已知关于x的函数与在区间D上恒有．

（1）若，求h(x)的表达式；

（2）若，求k的取值范围；

（3）若求证：．

例27．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.

变式23．（2023·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知函数.

(1)当时，求的单调递增区间；

(2)若恒成立，求的取值范围.

变式24．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数．

(1)判断的导函数的零点个数；

(2)若，求a的取值范围．

变式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数）．

(1)若函数的最大值为0，求a的值；

(2)若对于任意正数x，恒成立，求实数a的取值范围．

变式26．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数．

(1)讨论的极值；

(2)当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

变式27．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数的导函数为.

(1)当时，求函数的极值点的个数；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

变式28．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知函数与的图象有公切线.

(1)求实数和的值；

(2)若，且，求实数的最大值.

题型十：双变量最值问题

例28．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ）

A． B．－1 C． D．－2

例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中．

（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；

（2）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值．

例30．（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数，，其中

(1)若，且的图象与的图象相切，求的值；

(2)若对任意的恒成立，求的最大值.

变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中.(为自然对数的底数)

（1）求在点处的切线方程；

（2）若时，在上恒成立.当取得最大值时，求的最小值.

变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=aex﹣x，

（1）求f(x)的单调区间，

（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立，求的最小值.

变式31．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）给定实数，函数，（其中，．

(1)求经过点的曲线的切线的条数；

(2)若对，有恒成立，求的最小值．

变式32．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）设函数，.

(1)若，讨论的单调性；

(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.

变式33．（2023·高二单元测试）若对于任意正实数，都有( 为自然对数的底数)成立，则的最小值是________.

变式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是___________.