新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第06讲 导数与函数的极值最值（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第06讲 导数与函数的极值最值（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了 考纲定位， 命题趋势， 高频考点分布等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26685" 思维导图 PAGEREF _Tc26685 \h 2
\l "_Tc223" 高考分析 PAGEREF _Tc223 \h 2
\l "_Tc1542" 学习目标 PAGEREF _Tc1542 \h 3
\l "_Tc6683" 知识要点 PAGEREF _Tc6683 \h 3
\l "_Tc302" 解题策略 PAGEREF _Tc302 \h 5
\l "_Tc30772" 题型归纳 PAGEREF _Tc30772 \h 6
\l "_Tc3024" 题型01：求函数的极值（极值点） PAGEREF _Tc3024 \h 6
\l "_Tc11938" （一）极值点辨析 PAGEREF _Tc11938 \h 6
\l "_Tc5676" （二）求函数的极值 PAGEREF _Tc5676 \h 7
\l "_Tc29888" （三）由函数图像判断极值 PAGEREF _Tc29888 \h 10
\l "_Tc18910" 题型02：根据极值（极值点）求参数 PAGEREF _Tc18910 \h 14
\l "_Tc9890" 题型03：由导数求函数的最值（不含参） PAGEREF _Tc9890 \h 17
\l "_Tc12274" 题型04：由导数求函数的最值（含参） PAGEREF _Tc12274 \h 23
\l "_Tc22879" 题型05：由函数的最值求参数 PAGEREF _Tc22879 \h 27
\l "_Tc24684" 题型06：函数最值与恒成立问题 PAGEREF _Tc24684 \h 34
\l "_Tc1781" 题型07：函数单调性，极值，最值综合应用 PAGEREF _Tc1781 \h 36
1. 考纲定位
属于函数与导数核心模块，是高考数学的高频重难点，在选择、填空、解答题中均有涉及，解答题常作为压轴题或次压轴题出现，分值占比约 10 - 17 分。
核心考查利用导数研究函数极值、最值的方法，以及与单调性、不等式证明、参数范围求解的综合应用。
2. 命题趋势
①基础题型：直接考查极值点的判定、极值与最值的计算，多以选择、填空题形式出现，侧重对导数公式、极值判定定理的基本应用。
②综合题型：结合含参函数，考查极值点的个数、最值的取值范围，常与分类讨论思想、数形结合思想结合；或与不等式恒成立、能成立问题联动，转化为最值求解，是解答题的核心考向。
③创新题型：近年出现结合函数图象、极值点偏移、多变量最值问题的命题，对逻辑推理和运算能力要求提升。
3. 高频考点分布
①极值点的判定（导数为零的点与单调性的关系）。
②函数在闭区间上的最值求解步骤。
③含参函数的极值、最值与参数范围的互求。
④极值、最值在不等式证明、恒成立问题中的应用。
1. 知识目标
①理解函数极值的定义，掌握极值点的判定条件（必要条件：f'(x_0)=0；充分条件：导数在x_0两侧异号）。
②掌握闭区间上连续函数最值的求解方法，明确极值与最值的区别与联系（极值是局部性质，最值是整体性质）。
③能熟练运用导数求不含参、含参函数的极值与最值。
2. 能力目标
①提升分类讨论能力，能针对含参函数的导数零点情况进行分类，求解不同情况下的极值与最值。
②强化转化与化归能力，能将不等式恒成立、存在性问题转化为函数最值问题。
③培养数形结合意识，能结合函数图象分析极值、最值的几何意义。
3. 素养目标
①通过导数与函数极值、最值的研究，渗透数学抽象和逻辑推理素养。
②在含参问题的求解中，提升数学运算素养，养成严谨的解题习惯。
知识点一：极值点与极值
1.极值点与极值
（1）极小值点与极小值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值.
（2）极大值点与极大值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值.
（3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值.
注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值.
2.函数极值的求法
解方程,当时:
（1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值;
（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值
极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标.
②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点.
3.导数与极值的关系
一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号不同.
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性
知识点二：函数的最大(小)值
最值的存在性：
一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.
最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者.
②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得.最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间
2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤：
S1：在区间上的极值;
S2：将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到
1. 基础题型：极值与最值的直接求解
步骤：
① 求函数f(x)的定义域；
② 求导f'(x)，解方程f'(x)=0，得到导数零点；
③ 分析导数零点两侧f'(x)的符号，判定极值点（左正右负为极大值点，左负右正为极小值点），计算极值；
④ 若求闭区间[a,b]上的最值，需计算极值点和区间端点的函数值，比较大小得出最值。
易错点：忽略定义域；误将导数为零的点直接当作极值点（需验证两侧符号）。
2. 综合题型：含参函数的极值、最值问题
①分类讨论依据：导数零点的个数、导数零点与定义域/给定区间的位置关系。
②示例：对于f(x)=xlnx - ax2，求导f'(x)=lnx+1-2ax讨论a的取值对f'(x)零点个数的影响，进而分析极值情况。
③技巧：可通过分离参数法，将问题转化为函数图象的交点问题，简化分类讨论。
3. 应用题型：极值、最值与不等式结合
①恒成立问题：f(x) ≥ k在[a,b]上恒成立⟹ f(x)min ≥ k；f(x) ≤ k恒成立 ⟹ f(x)max ≤ k。
②存在性问题：Ε x∈[a,b]，使得f(x)≥k ⟹ f(x)max≥ k；Ε x∈[a,b]，使得f(x)≤k ⟹ f(x)min≤ k。
③技巧：构造新函数g(x)=f(x)-k，将问题转化为g(x)的最值符号问题。
题型01：求函数的极值（极值点）
（一）极值点辨析
【典型例题1】已知函数fx的导函数为f'x，则“f'x0=0”是“函数fx在x=x0处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】根据函数在极值点处有极值时导数必为0，导数为0不一定有极值判断即可.
若函数fx在x=x0处有极值，则一定有f'x0=0；
反之，若f'x0=0，函数fx在x=x0处不一定有极值，
如fx=x3在x=0处满足f'0=0，但fx在x=0处无极值，
所以“f'x0=0”是“函数 fx在x=x0处有极值”的必要不充分条件．
故选：B
【典型例题2】已知函数fx在x=x0处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x=x0附近的左侧f'x>0，右侧f'x0，
所以x=0不是fx的极值点，C选项错误.
D选项，f'x的图象在x=x3左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，
所以f'x在x3处有极大值，D选项正确.
故选：BD
【变式训练1-3-1】如图是函数y=fx的导函数y=f'x的图象，下列结论正确的是（ ）

A．y=fx在x=−1处取得极大值B．x=1是函数y=fx的极值点
C．x=−2是函数y=fx的极小值点D．函数y=fx在区间−1,1上单调递减
【变式训练1-3-2】已知函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．−1是函数fx的极小值点
B．−3是函数fx的极大值点
C．函数fx在−3,1上单调递增
D．函数fx在x=0处的切线斜率小于零
【变式训练1-3-3】已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ）

A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．为极值点
D．为极值点
【变式训练1-3-4】如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．，是的极大值点
B．，是的极小值点
C．，不是的极大值点
D．，是的极值点
【变式训练1-3-5】定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（ ）
A．有极大值和极小值
B．有极大值和极小值
C．有极大值和极小值
D．有极大值和极小值
【变式训练1-3-6】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有两个极值点B．为函数的极大值
C．有两个极小值D．为的极小值
【变式训练1-3-7】设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
【变式训练1-3-8】如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）
A．个极大值点，个极小值点B．个极大值点，个极小值点
C．个极大值点，无极小值点D．个极小值点，无极大值点
题型02：根据极值（极值点）求参数
【典型例题1】已知函数fx的导函数gx=x−1x2−3x+a，若1不是函数fx的极值点，则实数a的值为（ ）．
A．－1B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】根据极值点的定义即可求解.
由题意可知f'x=gx=x−1x2−3x+a，若1不是函数fx的极值点，则hx=x2−3x+a,h1=0，即1−3+a=0⇒a=2，
当a=2时，f'x=x−1x2−3x+2=x−12x−2，故当x>2,f'x>0 ，当x0，当−10)的最小值是 ．
【变式训练3-3】函数fx=x−2csx在区间0,π上的最大值为 .
【变式训练3-4】已知函数y=x−sinx，x∈π2,π，则y的最大值为 ．
【变式训练3-5】已知函数．
(1)当时，求在上最大值及最小值；
【变式训练3-6】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【变式训练3-7】已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
【变式训练3-8】已知函数的图象在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最值.
【变式训练3-9】已知函数．
(1)，求函数的最小值；
(2)若在上单调递减，求的取值范围．
【变式训练3-10】设函数
(1)求的极大值点与极小值点及单调区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
【变式训练3-11】已知函数，若在点处的切线的斜率为2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的单调区间和最值.
题型04：由导数求函数的最值（含参）
【典型例题1】已知函数
(1)当时，求极值：
(2)当时，求函数在上的最大值．
【答案】(1)的极大值为，极小值为
(2)
【解析】（1）当时，，，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
综上，的极大值为，极小值为；
（2），，
故，，
令得或，
因为，当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
因为，
，
所以，所以；
当，即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，
，
所以；
综上：
【典型例题2】已知函数，是自然对数的底数.
(1)当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
(2)若，且，求的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)，.
【解析】（1）解：当，时，，
∴，∴
当时，，∴，故是上的增函数，
同理是上的减函数，
，，，
故当时，，当时，，
故当时，函数的零点在内，∴满足条件.
同理，当时，函数的零点在内，∴满足条件，
综上.
（2）由已知
①当时，由，可知，∴；
②当时，由，可知，∴；
③当时，，∴在上递减，上递增，
∴当时，，
而，设，
∵（仅当时取等号），
∴在上单调递增，而，
∴当时，，即时，，∴
即.
【典型例题3】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若的最小值不大于0，求的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）由函数，则其定义域为，
求导可得，令，解得，
当时，，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知，当时，无最小值；
则当时，在单调递减，在单调递增，
则，
由题意可得：，由，则，解得.
【变式训练4-1】已知函数，求函数在区间上的最小值．
【变式训练4-2】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求在上的最小值．
【变式训练4-3】已知函数．
(1)若，，求函数斜率为的切线方程；
(2)若，讨论在的最大值．
【变式训练4-4】已知函数fx=alnx+12x−a，a∈R．讨论函数fx的最值；
【变式训练4-5】已知函数fx=alnx−x．
(1)当a=1时，求函数fx的单调区间；
(2)当a>0时，求函数fx的最大值．
【变式训练4-6】（1）求函数fx=12x+sinx,x∈0,2π的最值．
（2）求函数fx=xe2x（e=2.71828⋯是自然对数的底数）的最值．
（3）已知a为常数，求函数fx=−x3+3ax0≤x≤1的最大值．
【变式训练4-7】设函数f(x)=ex−ax
(1)当a=1时，求函数f(x)在x=0处的切线方程；
(2)当a=2时，求证：f(x)>0
(3)当a>1时，求函数f(x)在[0,1]上的最小值
题型05：重点考查由函数的最值求参数
【典型例题1】已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用导数确定函数的单调区间及极小值为，再令，得，最后由，求解即可.
解：因为，
所以，
令，解得或，
所以在，内单调递增，在内单调递减，
所以极小值为．
令，则，
所以，
由题意得，
所以a的取值范围为.
故选:C．
【典型例2】若函数的最小值为，则实数（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【解析】分三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定的值。
因为，所以，
由题意，易知，
当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在时，取得最小值，即，解得；
当时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以无最小值，故舍去；
综上，实数.
故选：B.
【典型例题3】已知函数fx=ax−a−lnx，且fx的最小值为0，则a的值为 ．
【答案】1
【解析】利用导数求出f(x)min=f(1a)，结合已知最小值可得结果.
fx=ax−a−lnx的定义域为(0,+∞)，
f'(x)=a−1x，
当a≤0时，f'(x)0时，令f'(x)0，解得x>ea−1；令f'(x)