新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点15不等式证明方法（12大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点15不等式证明方法（12大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了常用导数放缩，对数平均不等式等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc202365034" 01 重点解读 PAGEREF _Tc202365034 \h 2
\l "_Tc202365035" 02 思维升华 PAGEREF _Tc202365035 \h 3
\l "_Tc202365036" 03 典型例题 PAGEREF _Tc202365036 \h 4
\l "_Tc202365037" 题型一：直接法（转化为最值问题） PAGEREF _Tc202365037 \h 4
\l "_Tc202365038" 题型二：指对切线放缩 PAGEREF _Tc202365038 \h 5
\l "_Tc202365039" 题型三：指对增强放缩 PAGEREF _Tc202365039 \h 6
\l "_Tc202365040" 题型四：对称化构造法(和型) PAGEREF _Tc202365040 \h 7
\l "_Tc202365041" 题型五：对称化构造法(积型) PAGEREF _Tc202365041 \h 8
\l "_Tc202365042" 题型六：换元构造辅助函数 PAGEREF _Tc202365042 \h 9
\l "_Tc202365043" 题型七：比值代换 PAGEREF _Tc202365043 \h 10
\l "_Tc202365044" 题型八：对数单身狗，指数找朋友 PAGEREF _Tc202365044 \h 12
\l "_Tc202365045" 题型九：主元法 PAGEREF _Tc202365045 \h 13
\l "_Tc202365046" 题型十：与数列结合的不等式问题 PAGEREF _Tc202365046 \h 14
\l "_Tc202365047" 题型十一：凹凸反转 PAGEREF _Tc202365047 \h 16
\l "_Tc202365048" 题型十二：拐点偏移问题 PAGEREF _Tc202365048 \h 17
\l "_Tc202365049" 04 课时精练 PAGEREF _Tc202365049 \h 19
在高考数学考纲里，利用导数证明不等式是导数应用板块的关键内容，着重考查学生的逻辑推理、运算求解以及综合运用知识的能力。
考纲要求学生掌握构造合适函数的方法，能依据所证不等式的特征，巧妙构建函数模型。熟练运用求导公式与法则，准确求出函数的导数，通过分析导数的正负性，精准判断函数的单调性。进而依据单调性确定函数在特定区间上的最值，利用最值与不等式的关系完成证明。
此考点常与函数、方程等知识综合考查，难度较高。备考时，学生需深入理解导数的本质，多做针对性练习，总结常见题型和解题策略，提升思维的严谨性与灵活性，以应对高考中的此类难题。
1、常用导数放缩
①(切点横坐标是，)
②
③(切点横坐标是，)
④
⑤
⑥
2、利用导数证明不等式是高中数学的重要方法，常见方法有以下几种：
（1）构造函数法：将不等式变形，构造新函数。如证明，可设，对求导，根据导数正负判断其单调性。若在某区间单调递增，且能求出在该区间端点值或极限值大于0，则可证不等式成立。
（2）放缩构造函数法：当直接构造函数难以处理时，对不等式进行适当放缩，再构造函数。
（3）多次求导法：对于一些复杂函数，一次求导难以判断单调性，需多次求导。通过多次分析导数的变化情况，确定函数的单调性与极值，进而证明不等式。
3、对(指)数平均不等式
对数平均不等式：两个正数的对数平均，有如下关系：，即几何平均数对数平均数算术平均数．
指数平均不等式：设，，则，有如下关系：．
题型一：直接法（转化为最值问题）
【例1】（2025·江西·模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点；
(2)若曲线与相切．
（ⅰ）求a；
（ⅱ）当时，证明：．
【变式1-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：对任意的，恒成立；
【变式1-2】已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，判断函数在区间上的单调性；
(2)令，若函数在区间上存在极值，设极值点为，证明：.
【变式1-3】已知函数．
(1)求的零点及；
(2)求的极值；
(3)求证：．
题型二：指对切线放缩
【例2】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，为的导函数.
(1)若函数的图象与的图象的交点的横坐标，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
【变式2-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的最小值；
(3)求证：.
【变式2-2】设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
题型三：指对增强放缩
【例3】（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求实数的值
(2)证明：．
【变式3-1】（2025·湖南岳阳·三模）已知函数（）．
(1)设，当时，，求的取值范围．
(2)当时，
①写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设，数列满足，，证明：．
【变式3-2】已知函数．
(1)当时，求的最小值．
(2)求证：．
【变式3-3】当时，求证：．
题型四：对称化构造法(和型)
【例4】已知函数，，是自然对数的底数.
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，若，（其中）满足，求证：.
【变式4-1】已知函数．
(1)若有两个零点，且，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【变式4-2】已知函数，为实数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：.
【变式4-3】已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，且，求证：．
题型五：对称化构造法(积型)
【例5】已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
【变式5-1】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
(1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．
(2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”．
①求b的取值范围；
②证明：．
【变式5-2】已知函数，直线是曲线的一条切线．
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：．
【变式5-3】（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
题型六：换元构造辅助函数
【例6】已知函数在处的切线与直线平行
（1）求实数的值，并求的极值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.
【变式6-1】已知函数，其中为常数且．
（1）若曲线与直线相切，求的值；
（2）设，为两个不相等的正数，若，证明：．
【变式6-2】已知.
(1)求的单调区间；
(2)设，是两个不相等的正数，证明：
【变式6-3】已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)函数有两个零点、，求证：．
【变式6-4】已知函数.
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，且，证明：.
【变式6-5】已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点，求证：．
题型七：比值代换
【例7】已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个零点，且，证明：.
【变式7-1】已知函数.
(1)讨论导函数的零点个数情况；
(2)若有两个不同极值点、.当时，证明：.
【变式7-2】曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为．
(1)比较曲线在点和处弯曲程度的大小；
(2)若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【变式7-3】（2025·四川巴中·二模）已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足.
(1)令函数，求证：在上是减函数；
(2)若在上单调递减，求实数取值范围；
(3)对任意正数，试比较与的大小.
题型八：对数单身狗，指数找朋友
【例8】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求的零点个数；
(3)证明：.
【变式8-1】已知函数，.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)已知的导函数在上存在零点，求证：当时，.
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【变式8-3】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．
题型九：主元法
【例9】已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若是两个不相等的正数，证明：.
【变式9-1】（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”.
(1)若是“强增函数”，求的取值范围；
(2)已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由
(3)已知，，，.证明：.
参考结论：当时，.
【变式9-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）给定函数，若过点P恰能作曲线的k条切线，则称P是的“k秩点”，切点的横坐标为的“k秩数”．
(1)若是函数的“k秩点”，求其“k秩数”；
(2)证明：是函数的“0秩点”；
(3)记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为．证明：对，，且，有．
【变式9-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，当时，的切线斜率．
(1)求的单调区间；
(2)已知，若，求证：若，则．
题型十：与数列结合的不等式问题
【例10】（2025·辽宁鞍山·一模）设有两个极值点，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：；
(3)证明：．
【变式10-1】（2025·河北·模拟预测）函数（或级数）逼近论是函数（或级数）论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数（或级数）的近似表示问题.将一函数用较简单的函数（或级数）来找到最佳逼近，且所产生的误差可以有量化的表征——这种处理复杂函数（或级数）的方法，我们称之为函数（或级数）逼近.用函数去逼近，在处的值称为逼近估差.法国数学家亨利・帕德用有理函数去逼近一些常见函数，有较高的精确度.比如对数函数两个常见的逼近函数为：，
(1)证明：时，；
(2)对时，用分别去逼近和的逼近估差分别为，.证明：
①；
②，必有一数小于0.02.
【变式10-2】（2025·浙江绍兴·二模）已知数列满足，且.为等差数列，其前项的和为，有．
(1)设．
（i）求，并证明为等差数列．
（ii）在的前5项中随机取3项，设其小于的项数为X．求X的分布列与数学期望．
(2)证明：
【变式10-3】（2025·湖南·模拟预测）已知数列是各项均为正整数的递增数列，，且.
(1)求和；
(2)证明：；
(3)设，证明：.
题型十一：凹凸反转
【例11】已知函数，证明：当时，.
【变式11-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
题型十二：拐点偏移问题
【例12】已知函数，，，令．
(1)，研究函数的单调性；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
(3)，正实数，满足，证明：．
【变式12-1】已知函数，.
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）若，正实数，满足，证明：.
【变式12-2】（2025·高三�河北�期中）已知函数（）.
(1)讨论的单调性；
(2)若，且正数满足，证明.
【变式12-3】已知函数的导函数为.
（1）求的最小值；
（2）若，实数、满足且，证明：.
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求证：.
2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）设函数，其中．
(1)当时，判断函数的单调性：
(2)若对任意，函数均有2个零点，求的取值范围：
(3)设且，证明：．
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，若存在数列满足，，.称是“的关联数列”，称为数列的“关联函数”；
(1)若数列的“关联函数”，求最小正数A的值，使数列为等差数列；
(2)若某数列的“关联函数”.证明：当时，；
(3)若数列的“关联函数”，求证：
4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，．
(1)判断的单调性；
(2)若函数图象在处切线斜率为，求；
(3)求证：．
5．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
(2)若函数在区间上单调递增．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：，．
6．（2025·云南·模拟预测）设函数．
(1)证明：；
(2)设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)证明：当时，．
7．（2025·河南新乡·模拟预测）设函数定义在区间上，是函数的导函数，，是函数的两个极值点，且，
(1)设，求的极值；
(2)证明：
8．已知函数的图象与轴相切于原点．
(1)求实数的值；
(2)若，证明：当时，．
9．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
(1)若，求的单调区间；
(2)若，证明：当时，.
10．（2025·安徽合肥·三模）已知函数
(1)证明不等式：；
(2)记，证明：；
(3)已知，证明：.
11．（2025·山东聊城·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
12．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
13．（2025·高三·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
14．已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
15．已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：．
16．已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．
17．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且，证明：．
18．已知．
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：．
19．已知函数，，，令．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：．
20．设函数
(1)分析的单调性和极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
(3)若，且满足时，证明：.