新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点12利用导数解决双变量问题（7大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点12利用导数解决双变量问题（7大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了变更主元法，构造差函数法，利用极值点关系等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc201739682" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201739682 \h 2
\l "_Tc201739683" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201739683 \h 3
\l "_Tc201739684" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201739684 \h 4
\l "_Tc201739685" 题型一：构造单调性 PAGEREF _Tc201739685 \h 4
\l "_Tc201739686" 题型二：任意存在型 PAGEREF _Tc201739686 \h 8
\l "_Tc201739687" 题型三：比较双变量 PAGEREF _Tc201739687 \h 13
\l "_Tc201739688" 题型四：变量换元类 PAGEREF _Tc201739688 \h 20
\l "_Tc201739689" 题型五：韦达定理类 PAGEREF _Tc201739689 \h 26
\l "_Tc201739690" 题型六：引参换元类（比值代换与差值代换） PAGEREF _Tc201739690 \h 31
\l "_Tc201739691" 题型七：双变量放缩类 PAGEREF _Tc201739691 \h 39
\l "_Tc201739692" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201739692 \h 45
在高考数学中，利用导数解决双变量问题是重点与难点。这类问题通常涉及两个变量，需通过导数将其转化为单变量问题求解。解题关键在于找到变量间的关系，如极值点满足的方程，通过消元或整体代换简化问题。常用方法包括：变更主元，指定主变量，将双变量转化为值域或最值问题；利用函数单调性，构造新函数求解；通过韦达定理、对数平均不等式等工具处理极值点偏移问题。解题时需灵活运用导数性质，结合函数图像分析，合理构造函数，利用单调性、极值等性质证明不等式或求解参数范围。掌握这些方法，能有效提升解决双变量问题的能力。
在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法：
1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。
2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。
3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。
题型一：构造单调性
【典例1-1】（2025·山东聊城·一模）已知函数，曲线在处的切线交轴于点．
（1）求的值；
（2）若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，得，
，，
∴曲线在处的切线方程为，
则，解得；
（2），
不妨设，对于内的任意两个数，，，
即有，
设，则在上为减函数．
则对恒成立．
可得在上恒成立．
令，，
则在上单调递减，
∴．
∴，即．
∴实数的取值范围是．
【典例1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）依题意，令，，
则，
令，解得或.
当时，即时，恒成立且不恒为零，
所以，函数的增区间为；
当时，即时，由可得或，由可得，
所以，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即时，由可得或，由可得.
所以，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（2）当时，恒成立，
所以在上单调递增，且.
因为，所以，
则不等式可化为，
即.
令，则问题等价于函数在上单调递增，
即在上恒成立，
即，.
令，，
则.
令，解得，
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以当时，函数取得最小值，且，
所以当时，，所以.
【变式1-1】已知函数，其中
（1）当时，若在区间，上的最小值为，求的取值范围；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
当时，
令，解得或；
①当，即时，在上单调递增；
在上的最小值是，符合题意；
②当，即时，在上的最小值是，不合题意；
③当，即时，在上单调递减；
在上的最小值是不合题意；
综上所述，的取值范围是；
（2）令，则只需在上单调递增即可，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，只需在上恒成立；
，
只需；
；
对于函数，过定点（0，1），对称轴为，只需，解得，
综上所述，的取值范围是
【变式1-2】已知函数，对于任意，，不等式恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】，
设，，则有且，即恒成立，
即，令，则在上单调递增，即恒成立，
即，，得，下证成立：
，易证当时，，
考查函数：，则，故函数在区间上单调递减，在区间上单调造增，当时，函数的最小值为，据此可得：，
当时，，故成立．
故选B．
【变式1-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.
【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为证明 恒成立．设，则上式等价于，要证明对任意，恒成立，要证明g（x1+x2）＞g（x1-x2）对任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即证明在上单调递增，根据函数的单调性证明即可．
（1）由于.
1）当时，，当时，，递增，
当时，，递减；
2）当时，由得或.
当时，，当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增；
当时，，递增；
③当时，.
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增.
综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在，上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是增函数；
当时，在，上是增函数，在上是减函数.
（2）依题意 恒成立.
设，则上式等价于，
要证明对任意，恒成立，
即证明在上单调递增，又，
只需证明即可.令，则，
当时，，当时，，
∴，即，，那么，当时，，所以 ；当时，， ，
∴恒成立.从而原不等式成立.
题型二：任意存在型
【典例2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
【解析】（1）由题，.
当，则，则此时在上单调递减；
当，则.
若，即时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，此时在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）时，由（1）可得；
又，则，得在上单调递增，
则.
又注意到存在，，使得，
等价于时，，
则，又，
则.
【典例2-2】已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可知：函数的定义域为，
且，，
①当时，令得；令得；
可知在内单调递增；在内单调递减；
②当时，令得；令得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减.
（2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减，
即当时，函数取得极小值，同时也是最小值.
若对任意，存在，使，
等价于为，即，整理可得，
构建，则，
由，得，或（舍），
当时，；当时，；
可知函数在内单调递增，函数在内单调递减，
则当时，取得极大值同时也是最大值，
且，，
可知，则函数的最小值为，
可得，所以实数的取值范围为.
【变式2-1】已知函数，，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；
(3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．
【解析】（1）
，即曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线与直线垂直，
；
（2）若方程在上恰有两个不同的实数根，
即在上恰有两个不同的实数根，
当时，等式不成立，
故在上有个实数根，
令，则恒成立，
故在和上均为增函数；
当时，；
当时，，
综上可得：
（3）由（1）中得：
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数；
故当时，函数取最小值，
当时，函数，，
当时，函数；
当时，由得：，
由对任意，总存在唯一的，使得得：
，解得：；
当时，由得：，
满足对任意，总存在唯一的，使得
当时，由得：，
由对任意，总存在唯一的，使得得：，解得：；
综上可得：
【变式2-2】已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】
【解析】由题意可得：，分类讨论a>0,a=0,a