新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳1.3等式性质与不等式性质（4大考点+6大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳1.3等式性质与不等式性质（4大考点+6大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版），共31页。
\l "_Tc199355861" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199355861 \h 4
\l "_Tc199355862" 一、两个实数比较大小的方法 PAGEREF _Tc199355862 \h 4
\l "_Tc199355863" 二、等式的性质 PAGEREF _Tc199355863 \h 4
\l "_Tc199355864" 三、不等式的性质 PAGEREF _Tc199355864 \h 4
\l "_Tc199355865" 四、常用二级结论 PAGEREF _Tc199355865 \h 5
\l "_Tc199355866" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199355866 \h 6
\l "_Tc199355867" 题型一：数(式)的大小比较 PAGEREF _Tc199355867 \h 6
\l "_Tc199355868" 题型二：利用不等式的性质解题 PAGEREF _Tc199355868 \h 8
\l "_Tc199355869" 题型三：证明不等式 PAGEREF _Tc199355869 \h 9
\l "_Tc199355870" 题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限 PAGEREF _Tc199355870 \h 12
\l "_Tc199355871" 题型五：不等式的综合问题 PAGEREF _Tc199355871 \h 14
\l "_Tc199355872" 题型六：浓度不等式 PAGEREF _Tc199355872 \h 16
\l "_Tc199355873" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199355873 \h 19
\l "_Tc199355874" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199355874 \h 20
\l "_Tc199355875" ①数形结合 PAGEREF _Tc199355875 \h 20
\l "_Tc199355876" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199355876 \h 22
\l "_Tc199355877" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199355877 \h 23
\l "_Tc199355878" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199355878 \h 26
\l "_Tc199355879" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199355879 \h 26
\l "_Tc199355880" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199355880 \h 31
1、掌握等式性质.
2、会比较两个数的大小.
3、理解不等式的性质，并能简单应用.
一、两个实数比较大小的方法
二、等式的性质
性质1 对称性：如果，那么；
性质2 传递性：如果，，那么；
性质3 可加(减)性：如果，那么；
性质4 可乘性：如果，那么；
性质5 可除性：如果，，那么.
三、不等式的性质
性质1 对称性：；
性质2 传递性：；
性质3 可加性：；
性质4 可乘性：；
性质5 同向可加性：；
性质6 同向同正可乘性：；
性质7 同正可乘方性：.
四、常用二级结论
1、浓度不等式
(1) 浓度不等式定理：若，，则一定有>
通俗的理解：克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜
(2) 浓度不等式的倒数形式：设，，则有>.
题型一：数(式)的大小比较
【例1】（2025·四川攀枝花·三模）已知，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】对于A：当，，满足，但是，故A错误；
对于B：当，，满足，但是，故B错误；
对于C：若，，满足，但是，故C错误；
对于D：因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
若，则，所以，故D正确.
故选：D
【解题总结】
比较大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
【变式1-1】若，下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于AB，由题，所以由得，
令，因为均为增函数，所以为增函数，
所以，即，，故A错误，B正确；
对于C，若，此时，且，
而，
所以，则，此时，故C错误，
对于D，若，此时，且，
若时，，必有，故D错误；
故选：B
【变式1-2】（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A选项，不妨取，，，则，A错；
对于B选项，不妨设，，，则，B错；
对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对；
对于D选项，不妨设，，，则，D错.
故选：C.
【变式1-3】（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，，A正确；
对于B，取，，B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，D正确.
故选：B
题型二：利用不等式的性质解题
【例2】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，所以，故A对；
因为，所以，
由，所以，故B对；
若，满足，显然不成立，故C错；
当，则，必有，
当，则，故，必有，
故D对.
故选：ABD
【解题总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、构造函数，利用函数的单调性．
3、利用特殊值法排除错误选项.
【变式2-1】（多选题）（2025·河南·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确；
对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确；
对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误；
对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确.
故选：ABD.
【变式2-2】（多选题）设，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【解析】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，则，B错误；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，，，则，当且仅当时取等号，D正确.
故选：AD
【变式2-3】（多选题）已知，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，由，得，则，因此，C正确；
对于D，取，满足，而，D错误．
故选：AC
题型三：证明不等式
【例3】证明下列不等式：
(1)已知，，，求证：；
(2)已知，，均为正实数，且，求证：.
【解析】（1）由，得，
因为，所以，
所以，进而得到，
因为，所以.
（2）因为，，均为正实数，且，
所以由基本不等式得，
，
当且仅当时，等号成立.
【解题总结】
证明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
【变式3-1】对于正数，，，，求证
(1)
(2)
【解析】（1），
当且仅当时取等号，
（2）解法一：注意到因式分解
，
当且仅当时取到，
所以，
令，则有.
解法二：由第一问可知，
，
不等式两边同除可得，
两边同时取次方即可得，
令，则有.
方法3：不妨设，取，
①若，则（将其设为），
因此有，
②若，不妨设，则有，
否则，因中前两项之和小于或等于，第三项等于，其计算结果不可能等于，与矛盾.
下面证明，只需证.
显然.
不妨设，则，
，
由于，所以，即.
因此有，所以.
而，
所以由①可得.证毕.
【变式3-2】已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【解析】（1）由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
（2）由，而，
所以，即，得证.
【变式3-3】设，，，证明：．
【解析】由题意知，，，
则有，，，①
，，，
所以．
又根据①的结论可知，，，
所以．
综上所述，.
题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限
【例4】（多选题）（2025·高三·重庆·期中）已知，且，则（ ）
A．B．
C．无最小值，只有最大值为4D．的最小值为12
【答案】ACD
【解析】由，则，又，即，同理，A对；
由，且，显然时，B错；
由上分析知：且，结合的单调性知：，C对；
由，当且仅当时等号成立，D对.
故选：ACD
【解题总结】
在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点：
首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。
【变式4-1】已知则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则有，
即，解得，
所以由，可得,
两同向不等式相加得：
化简得
故选：C.
【变式4-2】（多选题）已知实数满足，，则 （ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】ACD
【解析】不等式，，
对于A，，即，解得，A正确；
对于B，∵，∴，，
又，∴，
即，解得，B错误；
对于C，∵，，∴，
即，解得，C正确；
对于D，∵，，
又，
∴，所以，D正确.
故选：ACD.
【变式4-3】（2025·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（ ）
A．27B．24C．12D．32
【答案】A
【解析】由，得，
又，所以，
所以，即，
所以的最大值为27.
故选：A
题型五：不等式的综合问题
【例5】设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A．B．3C．8D．9
【答案】B
【解析】由，得，
于是，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3.
故选：B
【解题总结】
综合利用等式与不等式的性质进行求解.
【变式5-1】记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，所以，
所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故选：A
【变式5-2】（2025·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得：
，
当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
【变式5-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，点在圆上，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，当且仅当取等号.
故选：B.
题型六：浓度不等式
【例6】求证：．
【解析】‌原不等式可转化为，
由浓度不等式得，
则得，
于是
两边开平方，即得．
下面证明浓度不等式，，其中，
证明：由，
所以.
【解题总结】
浓度不等式定理：若，，则一定有>
【变式6-1】（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则一定有
【答案】BCD
【解析】对于A，，，
，，故A错误，
对于B，，，
，，故B正确，
对于C，，，
，，
，
，故C正确，
对于D，，，
，，
，故D正确，
故选：BCD
【变式6-2】求证：．
【解析】‌由浓度不等式，可得，
则有，
于是，
，
因此．
证明浓度不等式：，其中，
证明：，
所以.
【变式6-3】（多选题）（2025·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知，正确；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，即，错误；
对于D，，正确.故选：ABD
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
①数形结合
1．已知均为正实数，以下不等式恒成立的有 ①；②；③
A．①②B．②③C．①②③D．①
【答案】B
【解析】①，当，时，，，此时，此时①不成立；
②，，当且仅当且时等号成立，
而，，
故在a，b均为正实数时恒成立，②恒成立；
③，令，则可以看成当时，
函数的函数值恒大于或等于1，
由函数图象可知③恒成立．
故选
2．设，且，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A选项，若，满足，但，所以A选项错误．
B选项，若，满足，但，所以B选项错误．
C选项，若，满足，但，所以C选项错误．
D选项，对于函数，图象如下图所示，
由图可知函数在R上单调递增，所以D选项正确．
故选：
3．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形，则以下说法中错误的是
A．
B．当时，，，，四点重合
C．
D．
【答案】C
【解析】由题知：正方形ABCD的面积为，正方形的面积为，长方形面积为
对于A：由图可知：正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有，故A正确；
对于B：正方形的面积为，当时，正方形的面积为0，故B正确；
对于C：结合图象正方形的面积与4个长方形的面积之和的大小关系不定，故C错误；
对于D：结合图象正方形ABCD的面积大于正方形的面积，即，故D正确．
故选
②转化与化归
4．已知实数x，y满足，则和y的最大值分别为
A．2，B．2，1C．4，D．4，
【答案】D
【解析】因为
，
因为，所以，解得
又因为，所以，
所以，
即，即，解得，
所以，所以，
故的最大值为4，y的最大值为
故选：
5．若，，则以下结论正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】，，则，
，故①正确；
，，
，
，故③正确；
，故②正确；
，
，
，
，
，故④正确；
故选：
6．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ）
A．第一象限点比第二象限点多B．第二象限点比第三象限点多
C．第一象限点比第三象限点少D．第二象限点比第四象限点少
【答案】D
【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个，
第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个，
第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个，
第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个，
又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，
所以①，且②，
由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少.
故选：D.
③分类讨论
7．某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为 x，y，单位：本现了解到：①②，则这些数学专著至少有
A．9本B．10本C．11本D．12本
【答案】A
【解析】由已知，①，②，并且，
可得：，所以
当时，，不合条件；
当时，，所以，这时，
其中若，则，满足条件，这时，
若，则，不合条件；
当时，一定有
综上所述，这些数学专著至少有本
故选：
8．以表示数集M中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】令，，，m，n，，
则，
①若，
令，
；
②若，即，
令，
，
，
综上可知，的最小值为
故答案为
9．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，当时，
不妨设，
①当时，
②当时，，
若，则；
若，则；
③当时，，，
；
④当时，，，
同理，当时，可以证明
综上所述：S的最大值为
故答案为
基础过关篇
1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以 ，所以选B.
3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知，即；
.
圆台中，故，即，，选项A错误，选项B正确.
由基本不等式，结合，得，平方后得到，选项CD错误.
故选：B
5．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，，则，
则，即，充分性成立；
若，，则，
所以，必要性成立，
所以如果，那么“”是“”的充要条件.
故选：C
6．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误，
对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误，
对于选项C，由，得到，即，所以推不出，
但可以得出，故选项C正确，
对于选项D，由，得到，
又，当且仅当时取等号，显然不满足题意，
则，即，
又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误，
故选：C.
7．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】两边取对得，则且，即同号或，
所以，当时，不成立，A错；
由，B对；
由，若时，，C错；
由，且，
当时，，此时，D错.
故选：B
8．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】这一事实表示为一个不等式为．
证明：，
又，，
，即，
即.
故选：
9．（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为对任意的正数，恒成立，
所以，又，所以，所以.
故选：A
10．（多选题）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由题意可得，
A项:由单调递增，知，故选项A正确；
B项:时选项B不正确；
C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确；
D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确．
故选:AC．
11．（多选题）（2025·四川攀枝花·一模）已知实数，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】A.由条件可知，，则，故A正确；
B.，当且仅当时等号成立，故B正确；
C. ，当时等号成立，故C错误；
D.因为，，故D正确.
故选：ABD
12．（2025·高三·云南怒江·期末）已知正数，，满足，则，，的大小关系为 .
【答案】
【解析】由，得，则，得，
所以，所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即
所以，
所以，综上，
故答案为：.
13．（2025·广东中山·一模）已知，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】将不等式可化为，
由不等式可得，即，求解得：或；
由不等式可得，即，求解得：或；
综上：.
故答案为：.
能力拓展篇
14．（2025·河北保定·模拟预测）记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】由题意，，
则，
当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4.
故答案为：4.
15．已知，，则，的大小关系为 ．
【答案】
【解析】法一：，
，
，
．
法二：令，
显然是上的减函数，
，即．
故答案为：
16．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（ ）
A．第一象限的点比第二象限的点多B．第二象限的点比第三象限的点多
C．第三象限的点比第一象限的点多D．第四象限的点比第二象限的点多
【答案】D
【解析】设分别从第一、二、三、四象限中取个点，则，
两式相加得，所以，所以选项D正确，
取时，满足，但，所以A和B错误，
取时，满足，但，所以C错误，
故选：D.
17．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
因为，所以，
当时，，此时，，
这与矛盾，所以，
由，得，
所以，当且仅当时取等号，
由A选项知，当时，不符题意，
所以，
由，可得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
由，得，
则，
因为，，
所以，
又因为，所以，所以，
综上所述，.
故选：A.
18．（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由题意可得，对于函数，
则在R上单调递增，结合，可得.
对于A，，故A正确；
对于B，由不能判断与1的大小，故B错误；
对于C，取，此时C不成立，故C错误；
对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确.
故选：AD.
19．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知实数,满足,,，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】对不等式进行变形化简得：，
设.
求导得：.
所以函数在上单调递增.
由，且函数单调递增，可得，即.
对于选项A：
因为，所以平方可得即.A正确.
对于选项B：
取反例，当时，，满足题意.
而，所以B错误.
对于选项C：
取反例，当时，
计算选项C的左边为，右边，
此时，C错误.
对于选项D：
令，求导得，可以看出该导数在上小于0.
所以在上单调递减，所以.
因为，所以，所以.
由前面可知，所以，所以选项D正确.
故选：AD.
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或