新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点07指对同构问题（10大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点07指对同构问题（10大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了八大同构函数图像，同构等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc201662026" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201662026 \h 2
\l "_Tc201662027" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201662027 \h 3
\l "_Tc201662028" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201662028 \h 5
\l "_Tc201662029" 题型一：双变量地位同等同构 PAGEREF _Tc201662029 \h 5
\l "_Tc201662030" 题型二：指对同构法的理解 PAGEREF _Tc201662030 \h 5
\l "_Tc201662031" 题型三：同构方程 PAGEREF _Tc201662031 \h 7
\l "_Tc201662032" 题型四：加法同构 PAGEREF _Tc201662032 \h 8
\l "_Tc201662033" 题型五：乘法同构 PAGEREF _Tc201662033 \h 8
\l "_Tc201662034" 题型六：利用同构法解决零点问题 PAGEREF _Tc201662034 \h 9
\l "_Tc201662035" 题型七：求函数的最值问题 PAGEREF _Tc201662035 \h 10
\l "_Tc201662036" 题型八：不等式问题 PAGEREF _Tc201662036 \h 10
\l "_Tc201662037" 题型九：朗博同构放缩 PAGEREF _Tc201662037 \h 11
\l "_Tc201662038" 题型十：公切线方程中的隐形同构 PAGEREF _Tc201662038 \h 12
\l "_Tc201662039" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201662039 \h 14
同构法是一种解决等式或不等式问题的有效方法。其核心思路是对给定的等式或不等式进行变形，让等式或不等式的左右两边在结构与形式上达成完全一致，进而构造出一个函数。由于该函数具有单调性这一重要性质，我们可以借助函数的单调性来处理问题。同构法在处理含有指数和对数混合的等式或不等式问题时优势明显。通过同构法，能够将复杂的指数、对数混合问题转化为对函数单调性的研究，简化问题求解过程，帮助我们更高效地找到问题的答案，为解决此类数学问题提供了清晰且实用的思路与途径。
一、八大同构函数图像
①，②，
③，④，
⑤，⑥，
⑦，⑧．
二、同构
1、常规变形方式
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤．
2、变形同构
= 1 \* GB3 ①；
②
；
= 3 \* GB3 ③
④
⑤
3、双变量同构
(1)为增函数．
(2)为减函数．
题型一：双变量地位同等同构
【例1】已知函数，若对于任意，都有成立，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2025·福建莆田·三模）已知函数，，若对区间内任意两个实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】若对都有成立，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．e D．2e
【变式1-3】已知，向量与的夹角为，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二：指对同构法的理解
【例2】已知是方程的一个根，则 ．
【变式2-1】阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题．已知实数，满足，则的最小值是多少？
解析：，
有，
得，
设函数，则在上单调递增，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立．
阅读参考以上材料，解答下列问题：
(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(2)已知，求的值．
【变式2-2】对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数．
【变式2-3】对不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数．
【变式2-4】对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
题型三：同构方程
【例3】（2025·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则 ， ．
【变式3-1】同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式． 已知实数 满足 ， 则 ．
【变式3-2】（2025·高三·安徽·开学考试）对任意实数，恒有成立，关于的方程有两根为，，则下列结论正确的为( )
A． B． C． D．
【变式3-3】已知实数，满足，，其中e是自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2025·江苏南京·模拟预测）已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：加法同构
【例4】（2025·四川·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式4-1】任意的，不等式恒成立，则的范围是 ．
【变式4-2】（2025·湖北·三模）若不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式4-3】（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型五：乘法同构
【例5】（2025·河北廊坊·模拟预测）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2025·江西宜春·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用同构法解决零点问题
【例6】已知函数和，证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【变式6-1】已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若函数只有一个零点，求的取值范围；
(3)若，证明：方程有唯一解，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列．
【变式6-2】（2025·高三·上海青浦·期中）已知函数和，．
(1)求在点处的切线方程；
(2)若函数和有相同的最小值，
①求的值；
②证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
题型七：求函数的最值问题
【例7】（2025·高三·甘肃兰州·期中）已知函数，，若，，则的最小值为 ．
【变式7-1】已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（多选题）（2025·高三·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，，若存在，，使得成立，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为
题型八：不等式问题
【例8】（2025·福建三明·模拟预测）已知e为自然对数的底数，a， B均为大于1的实数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】设a， B都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】若，则 ( )
A． B．
C． D．
【变式8-3】若(a， B为变量)成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-4】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
题型九：朗博同构放缩
【例9】已知函数，（其中是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)当时，，求实数的取值范围．
【变式9-3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，．
(1)若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
题型十：公切线方程中的隐形同构
【例10】（2025·高三·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则k的最大值是（ ）
A． B． C．2e D．4e
【变式10-1】（2025·辽宁沈阳·二模）若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．
【变式10-2】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式10-3】（2025·福建龙岩·三模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知满足，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·高三·山西吕梁·期末）已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）已知，，a>0．若y=f(x)，y=g(x)图象有公共点P，且在该点处的切线重合，则 B的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）已知函数，，，若，图象有公共点P，且在该点处的切线重合，则实数 B的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2025·广东广州·一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
9．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ．
10．（2025·江西赣州·一模）若a，，自然对数的底数为e，则的最小值为 ．
11．（2025·高三·安徽六安·期末）已知函数，，若，，则的最大值为 ．
12．已知函数和．
(1)分别求函数和的最大值；
(2)若，求证：曲线和有唯一公共点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并探究这三个交点（从左向右）的横坐标是否成等比数列？
13．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．
14．（2025·江西赣州·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对于一切，恒有成立，求实数a的取值范围．
15．（2025·内蒙古·三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
16．设，若对任意的，恒成立，求a的范围．