新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点05活用抽象函数模型妙解压轴题（9大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点05活用抽象函数模型妙解压轴题（9大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了判断抽象函数单调性的方法，常见的抽象函数模型等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc201068461" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201068461 \h 2
\l "_Tc201068462" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201068462 \h 3
\l "_Tc201068463" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201068463 \h 5
\l "_Tc201068464" 题型一：一次模型 PAGEREF _Tc201068464 \h 5
\l "_Tc201068465" 题型二：正弦模型 PAGEREF _Tc201068465 \h 7
\l "_Tc201068466" 题型三：余弦模型 PAGEREF _Tc201068466 \h 9
\l "_Tc201068467" 题型四：指数模型 PAGEREF _Tc201068467 \h 12
\l "_Tc201068468" 题型五：对数模型 PAGEREF _Tc201068468 \h 13
\l "_Tc201068469" 题型六：二次模型 PAGEREF _Tc201068469 \h 16
\l "_Tc201068470" 题型七：幂模型 PAGEREF _Tc201068470 \h 18
\l "_Tc201068471" 题型八：正切模型 PAGEREF _Tc201068471 \h 20
\l "_Tc201068472" 题型九：其他模型 PAGEREF _Tc201068472 \h 22
\l "_Tc201068473" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201068473 \h 26
活用抽象函数模型解高考压轴题，是高考数学中极具挑战性与区分度的考查方向。此类题目常位于试卷末尾，定位为高难度综合题。抽象函数模型不给出具体解析式，仅通过函数性质（如单调性、奇偶性、周期性等）或特定运算关系描述，着重考查学生抽象思维、逻辑推理与知识迁移能力。考生需精准把握函数性质，灵活运用赋值法、特殊值法、数形结合等策略，将抽象问题具象化，突破思维瓶颈，从而在高考中脱颖而出，展现扎实的数学功底与卓越的解题能力。
抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过的变换判定单调性、出现及判定抽象函数的奇偶性、换x为确定周期性.
1、判断抽象函数单调性的方法
①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…,判断符号时要变形为或；
②若给出的是“积型”抽象函数,判断符号时要变形为或.
2、常见的抽象函数模型
（1）一次函数模型
（2）二次函数模型
（3）幂函数模型
或
（4）指数函数模型
或 且 )
（5）对数函数模型
或 或
且 )
（6）正切函数模型
（7）正弦函数模型
（8）余弦函数模型
或
（9）双曲函数模型
或
题型一：一次模型
【例1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
【变式1-1】已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
【变式1-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．的图象关于点对称
【变式1-4】已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．为奇函数
题型二：正弦模型
【例2】（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【变式2-1】已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．
【变式2-2】已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数B．是周期函数
C．当时，D．当时，
【变式2-3】（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
题型三：余弦模型
【例3】已知函数满足：，对任意实数都有，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】已知函数的定义域为R且则（ ）
A．B．C．1D．
【变式3-2】若，且，则（ ）
A．-2B．-1C．D．0
【变式3-3】已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．1B．C．2024D．
题型四：指数模型
【例4】已知函数满足：，，则的值（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】如果函数对任意满足,且,则
A．505B．1010C．2020D．4040
【变式4-2】如果函数对任意，满足，且，则
A．504B．1009C．2018D．4036
题型五：对数模型
【例5】已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（ ）
A．B．
C．D．
题型六：二次模型
【例6】（2025·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2025·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
题型七：幂模型
【例7】（多选题）已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在上是增函数
【变式7-1】（多选题）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是偶函数
【变式7-2】（多选题）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为上的减函数D．为奇函数
【变式7-3】（多选题）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．函数为上的增函数D．函数为奇函数
【变式7-4】（多选题）（2025·高三·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．是奇函数
C．函数是上的增函数D．
题型八：正切模型
【例8】定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为
A．B．C．D．
【变式8-1】已知函数定义在区间上，，且当x，时，恒有，又数列满足，，设，对于任意的，的最小自然数m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型九：其他模型
【例9】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式9-1】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．若x为正整数，则
【变式9-2】（2025·高三·河北承德·期中）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（ ）
A．0B．1012C．2024D．4048
【变式9-3】已知函数满足：对，都有，且，则以下选项错误的是（ ）
A．B．C．D．
1．已知函数满足，，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A．B．0C．D．1
3．已知定义域为的函数满足：，，且，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．，
4．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为增函数
5．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（ ）
A．B．-1C．D．0
6．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．函数是奇函数
C．若，则D．函数在单调递减
7．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
8．已知函数的定义域为，若，则下列选项不正确的有（ ）
A．B．
C．函数是增函数D．函数是奇函数
9．（2025·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
10．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
11．（多选题）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上是减函数
D．若，则不等式的解集为
12．（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
13．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，总有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．为奇函数
D．函数在上单调递增
14．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．
B．
C．方程有唯一的实数解
D．函数有最小值
15．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A．函数为偶函数
B．8是的一个周期
C．的图象关于点对称
D．
16．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．
B．
C．方程有唯一的实数解
D．函数有极大值
17．（多选题）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．
D．若，则或
18．（多选题）（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2025·山西阳泉·三模）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递减
C．是偶函数D．在在上单调递增
20．（多选题）设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．是偶函数
B．不是奇函数
C．函数有10个不同的零点
D．
21．（多选题）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为增函数
22．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数的值域为
23．（多选题）（2025·海南·三模）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．若，则
24．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期末）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
25．（多选题）（2025·江西鹰潭·二模）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
26．（多选题）（2025·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A．B．
C．D．
27．（多选题）（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．若，则
28．（多选题）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．若当时，，则在单调递减
29．（多选题）（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．
C．D．
30．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
31．（多选题）定义在上的函数满足，且当时，则（ ）
A．B．是奇函数
C．在上单调递增D．
32．（多选题）定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（ ）
A．是奇函数B．是增函数
C．D．
33．（多选题）（2025·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则的图像关于点对称
D．若，则
34．定义在上的函数满足当时，，且对任意的、，有，，则不等式的解集为 .
35．已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：（1），（2）当时，；则下列结论中正确的是 ．
①；
②函数是奇函数；
③函数在上是减函数；
④不等式的解集为
36．若定义在的函数满足，且有对恒成立，则的最小值为 ．
37．已知函数满足：对任意实数、，都有成立，且，则 ．
38．已知函数满足，，则的值为 .
39．如果且，则 ．