新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点01集合中的创新问题（3大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点01集合中的创新问题（3大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版），共31页。
\l "_Tc199359150" 01 重点解读 PAGEREF _Tc199359150 \h 2
\l "_Tc199359151" 02 思维升华 PAGEREF _Tc199359151 \h 3
\l "_Tc199359152" 03 典型例题 PAGEREF _Tc199359152 \h 4
\l "_Tc199359153" 题型一：集合中的新概念 PAGEREF _Tc199359153 \h 4
\l "_Tc199359154" 题型二：集合中的新运算 PAGEREF _Tc199359154 \h 5
\l "_Tc199359155" 题型三：集合中的新性质 PAGEREF _Tc199359155 \h 6
\l "_Tc199359156" 04 课时精练 PAGEREF _Tc199359156 \h 9
数学思维创新是思维品质的巅峰层级。在新高考命题里，以集合为背景的创新问题备受青睐，成为创新型试题热点。这类题目聚焦“问题”本身，引导学生以“探究”为手段，踏上“发现”的征程。依托集合构建题目情境，重点考查学生能否精准理解问题，以及能否跳出传统思维框架，有效解决创新型数学问题的能力。
1、新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，可以利用原有集合的相关知识解题．
2、新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等进行解答．
3、新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．在新环境下研究“旧”性质．主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点．
4、通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
5、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
题型一：集合中的新概念
例1．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
例3．定义1：对于一个数集A，定义一种运算，对任意都有，则称集合A关于运算是封闭的（例如：自然数集N对于加法运算是封闭的）.
定义2：对于一个数集A，若存在一个元素，使得任意，满足，则称a为集合A中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称b为集合A中的单位元（例如：0和1分别为自然数集N中的零元和单位元）.
定义3：对于一个数集A，如果满足下列关系：
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集A是一个数域.
(1)指出常用数集N，Z，Q，R中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合，证明：集合A关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合，证明：集合A是一个数域.
变式1．（2025·湖北武汉·三模）用符号表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且，，定义两个集合：①和集；
②邻差集，其中为集合中元素按照从小到大排列．
(1)已知集合，，求，的值；
(2)已知集合，，求的值；
(3)若与都是由个实数构成的集合，证明：的充要条件是．
题型二：集合中的新运算
例4．（多选题）（2025·河南郑州·三模）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．（为虚数单位）关于数的乘法构成群
B．有理数集关于数的加法构成群
C．关于数的除法构成群
D．正实数集关于数的乘法构成群
例5．（多选题）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2025·浙江宁波·三模）设维向量，，定义运算：.
(1)当时，若且，，试比较与的大小；
(2)已知，记且和均为的某一排列}.
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若，求.（提示：.）
变式2． 定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推……
(1)对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例；
(2)证明：若，则；
(3)当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的．
题型三：集合中的新性质
例7．（2025·北京房山·一模）设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值．
(1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由；
(2)当时，若具有性质，求的最大值；
(3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值．
例8．（2025·高三·湖北·期中）已知正实数构成的集合
(1)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.
①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由.
(2)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
例9．（多选题）设A是非空数集，若对任意，都有，，则称A具有性质P.下列命题为真命题的是（ ）
A．若A具有性质P，则A可以是有限集
B．若具有性质P，且，则具有性质P
C．若具有性质P，则具有性质P
D．若A具有性质P，且，则不具有性质P
变式3．（2025·安徽·模拟预测）对于非空数集，，若，则称数集具有性质.
(1)若数集具有性质，证明：；判断，是否具有性质，并说明理由.
(2)若满足①；②，当时，都有.
（i）判断“数集具有性质”是否是“数列为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质且，，求数集具有性质的概率.
1．对于集合，，定义且，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·内蒙古包头·二模）已知集合，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（多选题）（2025·四川·三模）已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（ ）
A．当时，是唯一的分集B．对任意，总存在至少一个分集
C．若是分集，则D．若是分集，则
5．（多选题）（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若，则
6．（多选题）（2025·浙江温州·三模）已知数列满足，定义：集合，使得，并记该集合的元素个数为，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在数列，其中有一项能使得且
D．若任取数列的两项，恰好是元素的概率大于，则
7．（多选题）（2025·四川·模拟预测）已知，，设集合A，B，C是的三个不同的子集，若真包含于B，则称子集A，B是S的一个“二阶链条”， 若A真包含于B，B真包含于C，则称子集A，B，C是S的一个“三阶链条”.记S的“二阶链条”的个数为，S的“三阶链条”的个数为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（多选题）（2025·山西·二模）记表示个元素的有限集合，表示非空数集中所有元素的和.若集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则的最小值为14
9．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数时，下列说法正确的是（ ）
A．集合的最长“链”的长度为
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合
D．集合的最长“链”的总数为
10．（多选题）（2025·江苏南通·二模）设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（ ）
A．集合不是“可拆等和集”
B．若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个
C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”
D．若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
11．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 .
12．按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有 个；所有满足条件的集合列有 个.
13．（2025·湖南·三模）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素.
14．（2025·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．
(1)求元素个数最小的数环；
(2)证明：记，证明：是数域；
(3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由．
17．（山东省济宁市2025届高三考前押题联合检测数学试题）设，为整数，且.已知集合，集合为的一个含有个元素的子集.
(1)设，，写出2个不同的，使得中任意2个元素之差都不等于另2个元素之差；
(2)设，，，且，，，证明：若，则；
(3)设集合，证明：若，则中存在4个元素，，，，且中存在4个元素，，，，使得.
18．（2025·山东·二模）对集合A，B，定义集合，记为有限集合X的元素个数．以下给定正整数，并记集合
(1)设为有限集合，证明：；
(2)给定自然数和的子集，求集合的元素个数；
(3)设（其中）为正整数，的子集满足均有．证明：．
19．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：
①，其中；
②⫋，其中；
③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得．
(1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明：
（i）当时，；
（ii）．
20．（2025·江西·三模）已知数列共项，对于中的项，若对任意的，都有，则称为中的一个“局部一项”，记是中所有“局部一项”组成的集合.
(1)已知数列共5项，且.
（i）若为，求；
（ii）若的值为1和的概率均为，记中有个元素，求.
(2)若数列满足为大于1的偶数，，，求中元素个数的最大值.（结果用和表示）
21．已知集合且满足与恰有一个成立．对于T定义．
(1)若求的值及的最大值；
(2)从中任意删去2个数，记剩下的个数之和为M，求证：；
(3)求证：对于满足的每一个集合T，集合S中都存在3个不同的元素e，f，g，使得．
22．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.
(1)求集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和.
23．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．
(1)若，求；
(2)给定集合的子集，求集合的元素个数；
(3)设为有限集合，证明：．
24．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.
(1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；
(2)证明：是“好的”，是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
25．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知元正整数集合，取出的个互不相同的非空子集：构成集合，若中任意个元素的并集均真包含于，任意个元素的并集均等于，我们称合理覆盖
(1)若，问是否合理覆盖？请简要说明理由；
(2)若存在合理覆盖，求的最小值；
(3)是否存在合理覆盖，且构成公差为1的等差数列（表示集合中的元素个数）？若存在请给出一个，若不存在请说明理由．
26．（2025·山东济南·模拟预测）记数集M的所有元素之和为（当M为空集时，规定）.已知非空有限集合，若对于任意正整数，总是存在A的两个相异子集P，Q，使得，则称A为理想集.
(1)从集合的所有非空子集中随机抽取一个集合，求该集合为理想集的概率；
(2)已知正整数，且集合为理想集.
（ⅰ）设，证明：当为理想集时，的最大值为；
（ⅱ）证明：.
27．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知有穷数列A：，，…，（，），设，记S中元素的个数为．
(1)若数列A：0，2，4，12，求集合S，并写出的值；
(2)若A是单调数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)若，，数列A由1，2，3，4，…，n，2n这个数组成，且这个数在数列A中至少出现一次，求的取值个数．