新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳4.4解三角形（3大考点+9大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳4.4解三角形（3大考点+9大题型）（讲义+精练）（2份，原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了正弦定理等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc209427208" 01 课标要求 PAGEREF _Tc209427208 \h 2
\l "_Tc209427209" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc209427209 \h 3
\l "_Tc209427210" 一、正弦定理、余弦定理 PAGEREF _Tc209427210 \h 3
\l "_Tc209427211" 二、三角形的面积公式 PAGEREF _Tc209427211 \h 3
\l "_Tc209427212" 三、实际应用问题 PAGEREF _Tc209427212 \h 3
\l "_Tc209427213" 常用二级结论 PAGEREF _Tc209427213 \h 4
\l "_Tc209427214" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc209427214 \h 6
\l "_Tc209427215" 题型一：利用公式解三角形 PAGEREF _Tc209427215 \h 6
\l "_Tc209427216" 题型二：判断三角形解的个数 PAGEREF _Tc209427216 \h 7
\l "_Tc209427217" 题型三：三角形的形状判断 PAGEREF _Tc209427217 \h 8
\l "_Tc209427218" 题型四：三角形的面积 PAGEREF _Tc209427218 \h 9
\l "_Tc209427219" 题型五：与平面几何有关的问题 PAGEREF _Tc209427219 \h 10
\l "_Tc209427220" 题型六：与三角函数性质的结合应用 PAGEREF _Tc209427220 \h 12
\l "_Tc209427221" 题型七：实际应用问题 PAGEREF _Tc209427221 \h 14
\l "_Tc209427222" 题型八：周长问题 PAGEREF _Tc209427222 \h 16
\l "_Tc209427223" 题型九：倍角问题 PAGEREF _Tc209427223 \h 17
\l "_Tc209427224" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc209427224 \h 19
\l "_Tc209427225" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc209427225 \h 20
\l "_Tc209427226" ①数形结合 PAGEREF _Tc209427226 \h 20
\l "_Tc209427227" ②转化与化归 PAGEREF _Tc209427227 \h 20
\l "_Tc209427228" ③分类讨论 PAGEREF _Tc209427228 \h 21
\l "_Tc209427229" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc209427229 \h 22
\l "_Tc209427230" 基础过关篇 PAGEREF _Tc209427230 \h 22
\l "_Tc209427231" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc209427231 \h 25
1、掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2、理解三角形的面积公式并能应用.
3、能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
一、正弦定理、余弦定理
1、正弦定理和余弦定理：指的内角的对边，指的外接圆半径
二、三角形的面积公式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
三、实际应用问题
（1）距离问题
（2）高度问题
常用二级结论
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
题型一：利用公式解三角形
【典例1-1】（2025·高三·四川·学业考试）已知的内角的对边分别为，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【解题总结】
（1）涉及三角形两边以及对角的问题优先考虑正弦定理，其中包含 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①已知两边＋其中一边的对角类型； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②已知两角+其中一角的对边类型．
（2）涉及三角形三边加一个内角的问题选择余弦定理，其中包含 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①已知三边求一内角的类型； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②已知两边和一内角，求另一边的类型（若该内角为两边的夹角，直接使用公式求解；若内角不为夹角，则用公式建立方程求解．）
【变式1-1】（2025·四川巴中·模拟预测）在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2025·广东梅州·模拟预测）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2025·高三·江苏常州·开学考试）在中，已知，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2025·高三·河北衡水·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型二：判断三角形解的个数
【典例2-1】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解题总结】
三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【变式2-1】符合下列条件的三角形有2个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【变式2-2】在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ）
A．，，，有两解B．，，，有两解
C．，，，有两解D．，，，无解
题型三：三角形的形状判断
【典例3-1】在中，角A，B，C所对的边分别为，且成等比数列，设的面积为，若，则的形状为（ ）．
A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【典例3-2】已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【解题总结】
(1)判断三角形形状的两种思路
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
【变式3-1】已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【变式3-2】在中， 若， 则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【变式3-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定的
【变式3-4】在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型四：三角形的面积
【典例4-1】在中， .
(1)求；
(2)求c以及的值.
【典例4-2】中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求角C的值；
(2)求的最大值；
(3)若AB边上的中线CD长为，求的面积．
【解题总结】
与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【变式4-1】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求；
(2)若，面积为，求c.
【变式4-2】（2025·四川巴中·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，点在边上，，求的面积.
【变式4-3】（2025·高三·河南商丘·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)求角B的大小；
(2)若的外接圆半径，求的面积．
【变式4-4】（2025·高三·广西桂林·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
题型五：与平面几何有关的问题
【典例5-1】（2025·高三·山东·开学考试）如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为 ．
【典例5-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，是两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为 ．
【变式5-1】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 .
【变式5-2】如图，在平面四边形中，，，，，则 .
【变式5-3】如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ．
【变式5-4】如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则 ．
题型六：与三角函数性质的结合应用
【典例6-1】（2025·高三·上海·期中）已知函数 ．
(1)若是三角形中一内角，且 ，求的值；
(2)若，且，求的值．
【典例6-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，的最大值为.
(1)求角；
(2)若点在上，满足，且，，解这个三角形.
【解题总结】
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦定理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以进一步简化计算过程，提高解题效率。
【变式6-1】（2025·高三·上海虹口·期中）已知向量.设.
(1)求函数的单调增区间；
(2)在中，角所对的边分别为.若，三角形的面积为，求边的长.
【变式6-2】已知函数
(1)当时, 求函数的值域;
(2)已知的内角满足，点是边的中点，，，求三角形的面积.
【变式6-3】已知向量，，设函数.
(1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程；
(2)已知分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，且恰是函数在上的最大值，求三角形的面积.
【变式6-4】（2025·上海宝山·一模）已知函数，.
(1)求函数的单调增区间；
(2)在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当，，且三角形ABC的面积为时，求a.
题型七：实际应用问题
【典例7-1】（2025·高三·福建·开学考试）崇妙保圣坚牢塔，位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓，塔用花岗石砌建，风化后呈黑色，故俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形，七层檐，塔心有曲尺形通道供登攀，塔上浮雕佛像及碑刻，是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图，某测绘小组为了测量崇妙保圣坚牢塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，现测得m，在点测得塔顶的仰角为.取，则塔高约为（ ）

A．B．C．D．
【典例7-2】（2025·高三·河北衡水·开学考试）如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）
A．200mB．C．400mD．600m
【解题总结】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．
【变式7-1】镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（）
A．37.52mB．35.48mC．33.26mD．31.52m
【变式7-2】（2025·全国·模拟预测）某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为a，则表高（即的长）为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-4】如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（ ）
A．B．C．D．
题型八：周长问题
【典例8-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 .
【典例8-2】（2025·高三·江苏扬州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长为 .
【解题总结】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【变式8-1】中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ．
【变式8-2】（2025·河南·模拟预测）在中，的面积为，则的周长为 .
【变式8-3】在中，若，且，则的周长为 ．
【变式8-4】中，、、的对边分别为、、，且，，则的周长为
题型九：倍角问题
【典例9-1】在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例9-2】在锐角中，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性。
【变式9-1】已知的三个角的对边分别是，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（2025·吉林长春·模拟预测）的内角所对的边分别为，则（ ）
A．2B．C．D．1
【变式9-4】（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
①数形结合
1．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则
A．B．C．1D．
2．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面凸四边形ABCD中，，，，，，则（ ）
A．B．3C．D．
②转化与化归
4．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，D为BC边上的点，且，，，则
A．4B．C．D．
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是
A．B．C．D．
③分类讨论
7．在中，“”是“C为直角”的（ ）
A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
8．在中，，，，则角A的大小为
A．B．或C．D．或
9．钝角的内角A，B，C的对边分别是，若，则的面积为
A．B．C．D．或
基础过关篇
1．（2025年高考全国二卷数学真题）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年北京高考数学真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
7．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））在中，已知，，，则 ．
8．（2025年高考北京卷数学真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
9．（2025年高考天津卷数学真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
10．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
11．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
12．（2024年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
13．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
14．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
15．（2023年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
能力拓展篇
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设为抛物线的焦点，是上一点，点，若的延长线与交于点．记，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）已知锐角三角形中，角的对边分别为，有，则的取值不可能是（ ）.
A．B．C．D．
5．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是 海里.
6．（2025·江苏宿迁·三模）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，为边上一点，满足，
①求的周长；
②求的长.
7．（2025·河北邯郸·一模）在锐角中，内角满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围；
(3)证明：.
8．（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求.
9．（2025·河北唐山·模拟预测）在中，角所对的边分别是．已知，的面积为．
(1)求；
(2)为边上一点，
①若是的平分线，求线段的长；
②若，求．
10．（2025·黑龙江大庆·一模）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
11．（2025·福建三明·模拟预测）在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为．
(1)求的长；
(2)若，求的周长．
12．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若平分，点在线段上，且，求的长．
13．（2025·福建福州·一模）在中，，为的中点，.
(1)若，求的长；
(2)若，求的长.
14．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，点在边上，，，．
(1)若，求；
(2)若，求．
定理
正弦定理
余弦定理
基本公式
；
；
．
常见
推论
（1），，；
（2），，；
（3）；
（4）．
；
；
．
类型
图形
方法
两点间不可到达的距离
余弦定理
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解