新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳1.1集合（4大考点+9大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳1.1集合（4大考点+9大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版），共31页。
\l "_Tc199250861" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199250861 \h 3
\l "_Tc199250862" 一、 集合的含义与表示 PAGEREF _Tc199250862 \h 3
\l "_Tc199250863" 二、集合间的基本关系 PAGEREF _Tc199250863 \h 3
\l "_Tc199250864" 三、集合的基本运算 PAGEREF _Tc199250864 \h 3
\l "_Tc199250865" 四、常用二级结论 PAGEREF _Tc199250865 \h 4
\l "_Tc199250866" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199250866 \h 5
\l "_Tc199250867" 题型一：集合的含义与表示 PAGEREF _Tc199250867 \h 5
\l "_Tc199250868" 题型二：元素与集合的基本关系 PAGEREF _Tc199250868 \h 5
\l "_Tc199250869" 题型三：集合元素的特征 PAGEREF _Tc199250869 \h 6
\l "_Tc199250870" 题型四：集合间的基本关系 PAGEREF _Tc199250870 \h 7
\l "_Tc199250871" 题型五：集合的基本运算 PAGEREF _Tc199250871 \h 7
\l "_Tc199250872" 题型六：集合与排列组合的综合应用 PAGEREF _Tc199250872 \h 8
\l "_Tc199250873" 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 PAGEREF _Tc199250873 \h 9
\l "_Tc199250874" 题型八：容斥问题 PAGEREF _Tc199250874 \h 10
\l "_Tc199250875" 题型九：集合中的创新问题 PAGEREF _Tc199250875 \h 11
1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3、会求两个集合的并集、交集与补集.
4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
一、 集合的含义与表示
1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性．
2、元素与集合的关系：，；
3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
4、常见数集和数学符号
二、集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
三、集合的基本运算
1、①并集：；
②交集：；
③补集：．
④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
2、运算律
① 交换律 ，；
② 结合律 ，；
③ 分配律 ，；
④ 德摩根律 ，.
四、常用二级结论
（1）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是．
（2）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤．
（3）容斥原理
．
（4）牢记两个注意点
①在应用条件时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.
②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
题型一：集合的含义与表示
【例1】（2025·重庆·三模）已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【方法技巧与总结】
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.
【变式1-1】（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【变式1-2】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个B．63个C．16个D．15个
题型二：元素与集合的基本关系
【例2】（2025·重庆·二模）已知全集，集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。
【变式2-1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2025·河南·三模）已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【变式2-3】（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：集合元素的特征
【例3】（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
【方法技巧与总结】
利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
【变式3-1】（2025·高三·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2B．或0C．1D．
【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-3】已知集合若，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
题型四：集合间的基本关系
【例4】已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直观地判断两个集合之间的关系。
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
【变式4-1】（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2025·河北保定·二模）已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．15
【变式4-3】（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，若集合，则的子集个数是（ ）
A．1B．2C．4D．8
题型五：集合的基本运算
【例5】（2025·宁夏银川·三模）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。
【变式5-1】（2025·山西朔州·二模）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】（多选题）（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（ ）
A．B．
C．集合可能是D．
题型六：集合与排列组合的综合应用
【例6】（2025·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（ ）个．
A．36B．48C．64D．81
【方法技巧与总结】
在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转化的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。
【变式6-1】（2025·山西·模拟预测）现从一含10个元素的集合的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有 种.
【变式6-2】设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个.
【变式6-3】设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为 .（用数字作答）
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算
【例7】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。
【变式7-1】（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（ ）

A．2B．3C．4D．6
【变式7-2】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
【变式7-3】（多选题）（2025·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-4】（多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ）
A．B．
C．D．
题型八：容斥问题
【例8】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700B．800C．900D．1000
【方法技巧与总结】
容斥原理
．
【变式8-1】（多选题）（2025·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1500米比赛的有1人
【变式8-2】“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．51B．50C．49D．48
【变式8-3】学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
题型九：集合中的创新问题
【例9】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
数学思维创新代表着思维品质的顶尖水准，而在新高考命题趋势中，以集合知识为载体的创新题型备受瞩目。这类题目往往围绕“问题”展开，鼓励学生通过“探究”过程，最终达成“发现”新知的成果，全面考察学生应对创新问题的理解力与解决能力。
【变式9-1】（多选题）（2025·四川·三模）已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（ ）
A．当时，是唯一的分集B．对任意，总存在至少一个分集
C．若是分集，则D．若是分集，则
【变式9-2】（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是 .
【变式9-3】（2025·湖南·三模）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或