新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练3-7 解三角形及其应用举例 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc7911" 3-7 解三角形及其应用举例 PAGEREF _Tc7911 \h 1
\l "_Tc16184" 一、主干知识 PAGEREF _Tc16184 \h 1
\l "_Tc23721" 考点1：测量中的几个有关术语 PAGEREF _Tc23721 \h 2
\l "_Tc30492" 二、分类题型 PAGEREF _Tc30492 \h 3
\l "_Tc17820" 题型一 解三角形的应用举例 PAGEREF _Tc17820 \h 3
\l "_Tc24067" 命题点1 距离问题 PAGEREF _Tc24067 \h 3
\l "_Tc12490" 命题点2 高度问题 PAGEREF _Tc12490 \h 5
\l "_Tc11629" 命题点3 角度问题 PAGEREF _Tc11629 \h 7
\l "_Tc15822" 题型二 解三角形中的最值和范围问题 PAGEREF _Tc15822 \h 13
\l "_Tc2624" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc2624 \h 17
一、主干知识
考点1：测量中的几个有关术语
二、分类题型
题型一 解三角形的应用举例
命题点1 距离问题
故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为，冬至前后正午太阳高度角约为．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度（单位：米）约为（ ）
A．3B．4C．D．
【解答】如图,根据题意得,
所以,所以在,由正弦定理得,即,解得,所以在中,,即,
解得
.故选：C
如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（ ）
A． B．2
C．3D．2
【解答】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有＝，变形可得BC＝＝＝，
在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB＝9，则AB＝3．故选：.
命题点2 高度问题
圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A．B．C．D．
【解答】由题意知：，所以
在中，，
在中，由正弦定理得 所以 ，
在中，
故选：D
如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）
A．B．C．D．
【解答】依题意，在中，，则m，
在中，，则m，
在中，，由余弦定理得：，
即，解得m，即有，
所以他的步行速度为.故选：D
命题点3 角度问题
如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cs θ等于
A．B．C．－1D．－1
【解答】在ABC中，由正弦定理得，∴AC＝100．在ADC中，，
∴cs θ＝sin(θ＋90°)＝.故选：C
一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，，海里，
由正弦定理可得=，代入数据得.故选：C.
解三角形的应用问题的要点
(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
（2022•厦门模拟）埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）．同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为．因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为
A．37680千米B．39250千米C．41200千米D．42192千米
【解答】解：由亚历山大城到赛伊尼走，则地球大圆周长的视距段为，
则，得个视距段，
则地球的周长为米千米．
故选：．
（湖北高考真题）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ．
【解答】解：设此山高，则，
在中，，，，．
根据正弦定理得，
解得
故答案为：．
（新课标Ⅰ）如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高 150 ．
【解答】解：中，，，，
．
中，，，
，由正弦定理可得，解得．
中，，
故答案为：150．
（2021•泉州二模）拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点．”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值．如图，设代表旧城区，新的城市发展中心，，分别为正，正，正的中心．现已知，，△的面积为，则的面积为 ．
【解答】解：如图所示，连接，，由题意得：
，，，，
又，，
又，，
由勾股定理可得：，
则，得，
由余弦定理可得：
又，解得，
．
故答案为：．
（2010•陕西）一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，，是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点．现位于点北偏东，点北偏西的客船东方之星点）发出求救信号，位于点南偏西且与点相距千米的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达点需要多长时间？
【解答】解：由题意知，，，
．
在中，由正弦定理得：，
又．
在中．由余弦定理得：
救援船到达时间为（小时）
答：该救援船到达点需要1小时．
（2021•泉州一模）脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹．某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬崖村”．当地政府把“滕梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯”，实现了“村民搬下来，旅游搬上去”，做到了长效脱贫．
如图，为得到峭壁上的，两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的，两点处分别测得，，，，，且．
（1）用，，表示；
（2）已知，，米，，又经计算得米．求．
参考数据：，，，．
【解答】解：（1）如图所示
中，，，，所以，
由正弦定理得，
解得；
（2）中，，，所以，
又，由正弦定理得，
，
中，，
由余弦定理得，
解得（米．
题型二 解三角形中的最值和范围问题
在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大小；
(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．
【解答】（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，
又∵，∴．
（2）在△ABC中，由余弦定理得，
即．
∵，，
∴，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当a＝c＝2时，，
又∵△ABC面积为，
∴当且仅当a＝c＝2时△ABC面积最大．
当a＝c＝2时，．
又∵为的角平分线，∴
∴在△ABD中，，
∴在△ABD中，由正弦定理得．
已知的面积为，角所对的边为．点为的内心，且．
(1)求的大小；
(2)求的周长的取值范围．
【解答】（1）因为，
所以，即，可得，
因为，所以．
（2）设周长为，，如图所示，
由（1）知，所以，可得，
因为点为的内心，，分别是，的平分线，且，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，可得，
可得周长．
解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为______.
【解答】因为，所以，所以，所以.
，，且满足，解得，由余弦定理得，
所以，则.
故答案为：.
在锐角中，角的对边分别为，已知，且，则锐角面积的取值范围是______.
【解答】依题意，锐角三角形中，，
即，即.
由正弦定理得，由于，所以.
故，即，
由于，所以，所以，
.
画出三角形的图象如下图所示，其中，
，
由于三角形是锐角三角形，所以在线段内运动（不包括端点），
所以，即.
所以.
故答案为：
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•平江县模拟）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为．想在山高的处的山腰建立一个亭子，则此山腰高为
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可知，，，，
分别在，中，，，
所以，
又，
在 中，由正弦定理可得，
即，，
在中，，所以山腰高为．
故选：．
2．（2023春•道里区校级期中）在中，角，，所对应的边分别为，，，设的面积为，若不等式恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由不等式恒成立得．
，，，
．
．
故选：．
3．（2023•泰州模拟）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为
A．49.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60
【解答】解：如图，
设球的半径为，则，
，
，
，
故选：．
4．（2023春•仓山区校级期中）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是
A．海里B．海里C．海里D．海里
【解答】解：由题意作出图形：，，则，
由图知：，则，又，
所以，则海里．
故选：．
5．（2023•平顶山模拟）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度约为（参考数据：，
A．13米B．24米C．39米D．45米
【解答】解：在中，由于，，米，
所以，
利用正弦定理，
整理得，
在中，，解得：米．
故选：．
6．（2023•宜川县校级一模）在中，角，，的对边分别为，，，，，，且，则的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，
又，，
，
，
，
，
因为，
，，，．
，，
，
．
故选：．
7．（2023•兴庆区校级模拟）“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的，两地竖起高度均为寸的标杆与，与的差结合“寸影千里”来推算，两地的距离．记，则按照“寸影千里”的原则，，两地的距离大约为
A．里B．里
C．里D．里
【解答】解：由题意可得，，，
则，，
，
按照“寸影千里”的原则，，两地的距离大约为．
故选：．
8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为
A．B．C．6D．
【解答】解：由余弦定理可得，，
即①，
又由，
所以，
由正弦定理可得，，即，
所以②，
由①②可得，或（舍，
所以的面积为．
故选：．
9．（2023春•泉州期中）为了测量河对岸两点，间的距离，现在沿岸相距的两点，处分别测得，，，，则，间的距离为
A．B．2C．D．4
【解答】解：因为，，
所以是正三角形，
所以，
因为中，，，
所以，
利用正弦定理得，
，
中，，
所以，
所以，即、间的距离为．
故选：．
10．（2023•南部县校级模拟）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是
A．海里B．海里C．海里D．海里
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；
由已知得，，，，
所以．
在中，由正弦定理得，
即，，
所以、两点间的距离是海里．
故选：．
11．（2023•南宁二模）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图），则旗杆的高度为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
依题意知，，
，
由正弦定理知，
，
在中，
即旗杆的高度为．
故选：．
二．填空题（共5小题）
12．（2023春•郑州期中）位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点，从处看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又测量得，若塔尖到山脚底部的距离为米，塔尖到山脚底部的距离为米，则两塔塔尖之间的距离为 米．
【解答】解：在中，米，，则米．
同理，在中，米，
在中，米，米，，
由余弦定理，得米．
故答案为：．
13．（2023春•朝阳区校级月考）需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为 米
【解答】解：因为在中，，，米，
所以，
由正弦定理得，即，解得（米，
在中，，所以，即塔高（米．
故答案为：．
14．（2023春•西安期中）广州国际金融中心大楼，简称“广州”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山．小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为 435 米．
【解答】解：作出图形，如图所示：
由题意得，，，且，，，米，
设广州国际金融中心大楼的高度为，则，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由图形得，即，
，
，解得，
故广州国际金融中心大楼的高度为435米．
故答案为：435．
15．（2023春•碑林区校级期中）在锐角三角形中，内角，，所对的边，，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，
因为为锐角三角形，则，所以，
又因为函数在内单调递增，所以，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
则，
因为，所以，则，
因为存在最大值，则，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
16．（2023春•杞县期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，且面积为，若，则 3 ．
【解答】解：，解得：；
又，代入得：或；
根据余弦定理得：，
解得：；
故答案为：3．
1．（2023•柳州模拟）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为
A．B．C．D．6
【解答】解：中，，，由正弦定理得，
所以，，
故
，
因为，，
所以，，
所以面积的最大值为．
故选：．
2．（2023春•仓山区校级期中）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是
A．海里B．海里C．海里D．海里
【解答】解：由题意作出图形：，，则，
由图知：，则，又，
所以，则海里．
故选：．
3．（2023春•山西月考）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么
A．B．C．D．
【解答】解：路程，
位移大小是，
故．
故选：．
4．（2023•高新区校级模拟）矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天的高度为
A．B．C．D．
【解答】解：设，则，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，
所以，即，
解得，所以四门通天的高度为．
故选：．
5．（2023春•泉州期中）为了测量河对岸两点，间的距离，现在沿岸相距的两点，处分别测得，，，，则，间的距离为
A．B．2C．D．4
【解答】解：因为，，
所以是正三角形，
所以，
因为中，，，
所以，
利用正弦定理得，
，
中，，
所以，
所以，即、间的距离为．
故选：．
6．（2023•南部县校级模拟）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是
A．海里B．海里C．海里D．海里
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；
由已知得，，，，
所以．
在中，由正弦定理得，
即，，
所以、两点间的距离是海里．
故选：．
二．多选题（共1小题）
7．（2023春•工农区校级月考）花戏楼位于亳州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位．花戏楼始于清顺治十三年（公元1656年），是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼．它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝．我校数学兴趣小组为了测量旗杆的高度，选取与旗杆底部（点在同一水平面内的两点与，，不在同一直线上），如图，兴趣小组可以测量的数据有：，，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆的高度的是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【解答】解：对于，中，由、、，利用正弦定理求出，再利用，即可求出的高度，选项正确；
对于，在，都只有一边一角，不能求出其它角或边，无法求解的高度，所以选项错误；
对于，中，由、、，利用正弦定理求，再利用，即可求出的高度，选项正确；
对于，△由，可得，，结合，以及正弦定理求出，
再结合，求出的高度，选项正确．
故选：．
三．填空题（共2小题）
8．（2023•广州模拟）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为 ．
【解答】解：如图所示：
中，，，，
所以，由正弦定理得，解得，
中，，，
，
所以，所以，
中，由余弦定理得
，
所以，即、两点间的距离为．
故答案为：．
9．（2023•平罗县校级二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，则的取值范围为 ， ．
【解答】解：中，，
由正弦定理得，可得：，
由余弦定理得，
，可得：，，
则
，
由，可得，
可得，
则，．
则的取值范围为，．
故答案为：，．
四．解答题（共1小题）
10．（2023春•如东县期中）如图，在中，，，为内角，，的对边．已知，分别为边上两点，且，平分线，，，．
（1）求角的大小及边的长度；
（2）求的面积．
【解答】解：（1）中，，，由正弦定理得，，即，
又因为，所以，
所以；
又因为，所以，
所以，解得；
由余弦定理得，，即，
所以，解得或（舍去）；
所以．
（2）的面积为，
所以，
所以的面积为．
1．（2019•岳麓区校级模拟）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达处．在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是
A．海里B．海里C．海里D．海里
【解答】解：如图，由已知可得，，，
，从而．
在中，由正弦定理，
得．
故选：．
2．（2016•宁波二模）已知中，，，分别为角，，所对的边，且，，，则的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：化简得，
，
所以．所以．
，把，，代入
解得，
所以
故选：．
3．（2015•山东模拟）在中，，是边上任意一点与、不重合），且丨，则 ．
【解答】解：做高，不妨设在上，设，，，，则，，
则，
，
，
是边上任意一点与、不重合），
，
即，
，所以，
，
即为中点，于是为等腰三角形．
顶角为，则底角
故答案为．
4．（2014•南关区校级模拟）在中，边上的高为，则 ．
【解答】解：由题意可知三角形的面积为：，
所以．
由余弦定理，
所以，
所以．
所以．
故答案为：．
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ