4.5解三角形6大常考题型（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.5  解三角形6大常考题型

【题型解读】

【知识必备】

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.三角形面积公式：

S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；

3.解三角形多解情况

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

4.实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

（4）坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

5.相关应用

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边

②大边对大角 大角对大边

③合分比：

（2）内角和定理：

①

同理有：，.

②；

③斜三角形中，

④；

⑤在中，内角成等差数列.

【题型精讲】

【题型一　已知边角元素解三角形】

必备技巧 已知边角元素解三角形技巧

正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．

例1  　（多选）（2022·山东济南一模）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】由在中，角，，所对的边分别为，，，知：

在选项中，由余弦定理得：，故正确；

在选项中，由正弦定理得：，

，故正确；

在选项中，，

由余弦定理得：，

整理，得，故正确；

在选项中，由余弦定理得：，

故错误.

故选：.

例2（多选）（2022·重庆市育才中学高三二模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则下列说法正确的是

A．或 B．

C． D．该三角形的面积为

【答案】BC

【解析】由余弦定理得，所以.

由正弦定理得，所以，

由于，所以.所以.

三角形的面积为.

故BC选项正确，AD选项错误.故选：BC

例3（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.

(1)求的值；

(2)求边c的长.

【答案】(1)    (2)

【解析】(1)因为C为钝角，由，则，

则， C为钝角可得为锐角，

所以，，

可得.

(2)由（1）可知：，则，，

则，

正弦定理：，，

可得：.

【跟踪精练】

1．（2022·四川·树德中学模拟）在中，角所对的边分别为，若，则（       ）

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【解析】由得，，由余弦定理得，

因为，所以.故选：C

2．（2022·河南·高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【解析】由正弦定理可得，则，

故或.因为，所以，所以.故选：A

3.（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcos∠ADB，

AC2=DA2+DC2－2DA·DCcos∠ADC，又cos∠ADB=－cos∠ADC

两式相加得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2，即22+32=2DA2+22+22，∴2DA2=5，∴DA=.故选：D

【题型二　已知边角关系解三角形】

必备技巧  已知边角关系解三角形

正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．

例4　（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，已知．

(1)若，求的值；

(2)若，的面积为，求边，的值．

【答案】(1)   (2)，或，

【解析】(1)因为，

由正弦定理得，

即，

因为，所以，

由为三角形内角得；

由，则，

所以，

，

；

(2)因为的面积，所以，

由余弦定理 得,则，

由解得，或，.

例5   （2022·全国·高三专题练习）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.

(1)证明：；

(2)若，求.

【答案】(1)证明见解析；  (2).

【解析】(1)由题设，，又，

所以，由正弦定理可得，

所以，又，

所以，即.

(2)由（1）及题设，，且，

所以，则，故，

又，可得，

若，则，而，故不合题设；

所以，

所以.

【跟踪精练】

1．（新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．设．

（1）求；

（2）若，求．

【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，．

设．

则，

由正弦定理得：，，，．

（2），，由正弦定理得，

解得，，，

．

2. （2022·山东潍坊·模拟预测）在中，内角的对边分别为，．

(1)求角；

(2)是边上的点，若，，求的值．

【答案】(1)  (2)

【解析】(1)由得：，

由正弦定理得：，

，又，，

；

有意义，，，即，

又，.

(2)

，，设，则，

在中，由正弦定理得：，即；

在中，由余弦定理得：；

，解得：，

即，又，.

【题型三　判断三角形形状】

必备技巧   判断三角形形状的方法

（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．

（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

例6　（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（       ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形

【答案】C

【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，

由2cosAsinB＝sinC，得∴，即，又，

故三角形为等边三角形.故选：C

例7　（2022·四川省峨眉第二中学校月考）在中，已知，且，则的形状为（       ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【解析】由题意,,

则,

又，则,

由可得，即，

所以，由，知，

综上可知即的形状是等边三角形.

故选：B

【题型精练】

1. （2022·全国·高三专题练习）对于，有如下四个命题:   

①若 ，则为等腰三角形，

②若，则是直角三角形

③若，则是钝角三角形

④若，则是等边三角形.

其中正确的命题序号是_________

【答案】③④

【解析】对于①可推出或，故不正确；

②若，显然满足条件，但不是直角三角形；

③由正弦定理得，所以，是钝角三角形；

④由正弦定理知，由于半角都是锐角，所以，三角形是等边三角形.

故答案为：③④

2. （2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则的形状一定是（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】B

【解析】由正弦定理得，整理得：

即，又因为,所以,

所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B

【题型四  三角形解的个数问题】

例8　（2022·全国·高三专题练习）已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】B

【解析】对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；

对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；

对于C选项，由正弦定理可得，故无解；

对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.故选：B.

例9　（2022·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为这个三角形有两解，故满足，即，解得.故选：B

【题型精练】

1. （2022·全国·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A选项，，，，又，

由正弦定理得：，，

三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；

对于B选项，，，，

由余弦定理得：，

三角形三边唯一确定，此时三角形有一解，不合题意；

对于C选项，，三边均为定值，三角形唯一确定，故选项C不合题意；

对于D选项，，，，由正弦定理得：，

，，，有两解，符合题意，故选：D.

2. （2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，由正弦定理可得，所以，

又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，

解得.故选：C.

【题型五  解三角形中的最值范围问题】

方法技巧   解三角形中最值范围问题基本处理方法

1.用余弦定理结合基本不等式求解，

2.要求的量转化为某角的三角函数，求函数的最值或值域。（注意角的范围）

例10　（2022·宁夏石嘴山·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．

(1)求角B；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)解：由，

利用正弦定理可得：，，               

∵，∴，∴；

(2)由D为的中点，∴，

∴，，

又∵，∴   ，             ∴，∴，            

当且仅当时，取最小值．

例11（2022·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.

(1)求角B的大小；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)因为，

所以由正弦定理可得，化简得，

所以由余弦定理得，

因为，所以

(2)因为，所以,由正弦定理得，，

所以，

因为为锐角三角形，所以，得，所以，

所以，所以，，所以，即的取值范围为

【题型精练】

1. （2022·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0．

(1)求角B的大小；

(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．

【解析】(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝sinA，又在△ABC中，sin A>0，

故sin B＝，由题意得B＝．

(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC是锐角三角形，得A∈ ．

由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得

cosA＋cosB＋cosC＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈．

故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是．

2. （2022·陕西高三期中）在中，在线段上，且，，.

（1）若，求的面积；    （2）求的周长的最大值。

【答案】（1）8     （2）

【解析】（1）设，则，

在中，由余弦定理知，，

解得，∴，，

由余弦定理知，，

∴，

故的面积为.

（2）由（1）知，，，，∵，

∴cos，在中，由余弦定理知，

.

∴，

设的周长为，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

故的周长的最大值为.

【题型六  解三角形实际应用问题】

方法技巧   解三角形实际应用

从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．

例12　（2022·山东省六地市部分学校高三3月线考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（    ）

A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m

【答案】A

【解析】如图,为“泉标”高度,设高为米，由题意,平面,米,，

．
在中,,在中,,
在中,，,，,
由余弦定理可得，
解得或 (舍去),故选：B.

【题型精练】

1. （2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.

(1)求的值；

(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.

【答案】(1)

(2)能够拦截成功拦截，时间为2小时

【解析】(1)解：由题意，直线的倾斜角为，

若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，

如图所示，则轴，，且关于y轴对称，

所以，所以.

(2)解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，

则，，，，

因为

可得

整理得，解得或（舍去），

所以能够拦截成功拦截时间为2小时.