新高考数学二轮复习培优训练压轴题型09 立体几何中的压轴小题（2份，原卷版+解析版）

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立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角房j距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用。很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易出分点。究其愿因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决闻题的策略造成的。
动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素， 因此要认真分析其变化特点，寻找不变态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态丛才化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解乳口对于探究存在问题或动态范围(最值问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题邮止为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)球与截面面积问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)体积、面积、周长、角度、距离定值问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)体积、面积、周长、距离最值与范围问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)立体几何中的交线问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)空间线段以及线段之和最值问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)空间角问题
EQ \\ac(○,热) EQ \\ac(○,点) EQ \\ac(○,题) EQ \\ac(○,型)立体几何装液体问题
一、多选题
1．正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则到直线的距离的最小值为
B．若，则，且直线平面
C．若，则与平面所成角正弦的最小值为
D．若，，则，两点之间距离的最小值为
2．半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点、、是该多面体的三个顶点，且棱长，则下列结论正确的是（ ）
A．该多面体的表面积为
B．该多面体的体积为
C．该多面体的外接球的表面积为
D．若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为
3．一个三棱锥的三个侧面中有一个是边长为2的正三角形，另两个是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积可能为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．不存在点M满足平面
B．存在无数个点M满足
C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为
D．满足的点M的轨迹长度是
5．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点B到平面的距离相等
6．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为4
C．勒洛四面体ABCD的体积是
D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是
7．如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将△折起到△的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥四个面都是直角三角形B．平面平面
C．与所成角的余弦值为D．点到平面的距离为
8．祖暅是我国南北朝时期数学家，天文学家，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异．”这就是祖暅原理，比西方发现早一千一百多年．即：夹在两个平行平面之间的两几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，曲线C：，过点作曲线C的切线l（l的斜率不为0），将曲线C、直线l、直线y=1及x轴所围成的阴影部分绕y轴旋转一周所得的几何体记为，过点作的水平截面，所得截面面积为S，利用祖暅原理，可得出的体积为V，则（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．不存在某个位置，使
B．存在某个位置，使
C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为
D．当时，的最小值为
10．在封闭的四棱锥内有一个半径为的球， 为正方形，的面积为1，，则（ ）
A．PA的最小值为
B．该球球面不能与该四棱锥的每个面都相切
C．若，则的最大值为
D．若，则的最大值为
11．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，研究发现：平面和直线所成的角为，该圆锥侧面与平面的交线为曲线.当时，曲线为圆；当时，曲线为椭圆；当时，曲线为抛物线；当时，曲线为双曲线.则下列结论正确的为（ ）
A．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2
B．的取值范围为
C．若为线段上的动点，则
D．若，则曲线必为双曲线的一部分
12．已知正方体的棱长为，为侧面的中心，为棱的中点，为线段上的动点（不含端点），为上底面内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若平面，则
C．若，则线段的最大值为
D．当与的所成角为时，点的轨迹为双曲线的一部分
13．已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．当最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等
D．若，则点N的轨迹长度为
14．在长方体中，，E是棱的中点，过点B，E，的平面交棱AD于点F，点P为线段上一动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点P，使得
C．直线PE与平面所成角的正切值的最大值为
D．三棱锥外接球表面积的取值范围是
15．已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆的直径长为．若为底面圆周上不同于的任意一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．面积的最大值为
C．圆锥的外接球的表面积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
16．已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上存在点使平面
B．圆上存在点使平面
C．圆锥的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
二、填空题
17．如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为______．
18．三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．
19．长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是___________.
20．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________.