上海市徐汇区2025-2026学年高一第一学期徐汇区学习能力诊断数学试题（含答案解析）

这是一份上海市徐汇区2025-2026学年高一第一学期徐汇区学习能力诊断数学试题（含答案解析），共8页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 已知全集，设集合，则________．
2. 已知，，则的取值范围是________．
3. 不等式的解集为________．（用区间表示）
4. 设，用有理数指数幂的形式表示：________．
5. 陈述句“或”的否定形式为________．
6. 若，则________．（用的代数式表示）
7. 若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________．
8. 不等式的解集为________．（用区间表示）
9. 已知函数，若将该函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（其中）后所得到的曲线依然可以看成是某一个函数的图象，则锐角的最大值为________．（用角度表示）
10. 统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的__________倍（结果精确到个位）.
11. 已知平面直角坐标系上两点，，记，设点的坐标为，点的坐标为，若，则实数的取值范围是________．
12. 已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：
①对任意，；
②关于的方程无实数解；
则实数的取值范围是________．
二、单选题
13. 若实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
14. 已知，则“”是“”的（ ）条件．
15. 已知奇函数的定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（ ）
16. 已知集合，则下列说法正确的是（ ）
三、解答题
17. 已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
18. 已知关于的不等式的解集为．
(1)若，，求；
(2)甲、乙两人同时解该不等式，甲把一次项系数抄错了，解得，乙把常数项抄错了，解得，结合上述信息，求出该不等式正确的解集．
19. 已知函数，其中．
(1)当时，请用函数奇偶性的定义证明：函数是偶函数；
(2)当时，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
20. 2025年被称为“智能体元年”，随着人工智能技术的发展，智能体集群已在日常生活中得到广泛的应用．在研究某智能体集群的运行效率时，集群密度是指单位时间内某区域内的智能体数量，记为；移动速率是指智能体在该区域的平均移动速度，记为；现定义流通效率（其中为流通效率，反映智能体集群的整体运行效能）．已知智能体移动速率，其中常数．
(1)若移动速率，求集群密度的取值范围；
(2)已知集群密度时，移动速率，求流通效率的最大值．
21. 若函数满足：对于任意正数，都有，，且，则称函数为“函数”．
(1)若，判断函数是否为“函数”，并证明你的结论；
(2)若函数为“函数”，且，求证：对任意（为正整数），都有．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既不充分也不必要
A．0个
B．2个
C．4个
D．6个
A．
B．中只有一个元素
C．中有两个元素
D．中有无穷多个元素