上海市虹口区2025-2026学年高一上学期期终学生学习能力诊断测试数学试题（含答案解析）

这是一份上海市虹口区2025-2026学年高一上学期期终学生学习能力诊断测试数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 已知集合，则___________．
2. 指数函数的反函数的表达式为___________．
3. 不等式的解集为___________．
4. 函数的值域为___________．
5. 若，则的最小值为___________．
6. 已知是定义在上的奇函数，当时，；则当时，________.
7. 关于的不等式的解集为___________．
8. 关于的不等式的解集为___________．
9. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________．
10. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___________．
11. 已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________．
12. 已知，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的值为___________．
13. 用表示实数中较大的数，表示实数中较小的数．已知函数满足：对任意的实数，都有，则的值为___________．
14. 已知函数满足：对任意的实数，都有，且，则的值为___________．
二、单选题
15. “”是“”的（ ）
16. 函数的图像大致是（ ）
17. 已知实数，则下列结论不正确的是（ ）
18. 已知定义在上的函数满足：函数的零点集合为有限集，且对任意的，都有．则函数的零点个数的最大值为（ ）
19. 已知，则函数的零点个数为（ ）
20. 已知定义域为的函数满足：，且对任意的，都有成立．现有如下的两个结论：
①：“函数是偶函数”；
②：“对任意的，都有成立”．
则以下说法正确的是（ ）
21. 已知定义域为的函数满足：，且对任意的，都有成立．现有如下的两个结论：
①：“对任意的，都有成立”；
②：“函数是偶函数”．
则以下说法正确的是（ ）
三、解答题
22. 已知．
(1)求函数的最小值．
(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论．
23. 已知幂函数在上是严格减函数，其中．
(1)求的值；
(2)求关于的不等式的解集．
24. 已知为实数，集合，集合．
(1)若，且满足，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
25. 某大型体育赛事期间，为保障主场馆周边地铁站的安全运营，交通部门建立了智能客流预警系统．系统通过实时监测站内客流密度（单位：人/平方米），计算得到压力指数，并自动触发相应级别的管控措施，即：
三级（蓝色）预警：，加强广播提示：
二级（黄色）预警：，增派工作人员进行安全引导；
一级（红色）预警：，实施站外限流．
基于监测数据及经验，当客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升，可分段表示为其中．
(1)试确定，并作出函数的图像；
(2)某站厅面积为，当客流压力指数时，估算此时站内总人数；
(3)若某时段内，客流从零开始以每分钟0.05人/平方米的速度匀速增加，试问在触发三级（蓝色）预警后多久将会触发一级（红色）预警？
26. 某大型体育赛事期间，为保障主场馆周边地铁站的安全运营，交通部门建立了智能客流预警系统．系统通过实时监测站内客流密度（单位：人/平方米），计算得到压力指数，并自动触发相应级别的管控措施，即：
三级（蓝色）预警：，加强广播提示：
二级（黄色）预警：，增派工作人员进行安全引导；
一级（红色）预警：，实施站外限流．
基于监测数据及经验，当客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升，可分段表示为.其中．
(1)当时，求的值，并说明此时预警系统会触发几级预警？
(2)试确定，并作出函数的图像；
(3)某站厅面积为，当客流压力指数时，估算此时站内总人数．
27. 若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”．
(1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由；
(2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得；
(3)已知函数与为“友谊函数对”，函数是上的严格增函数，若函数的零点个数为2026，证明：函数的零点个数不大于2026．
28. 若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”．
(1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由；
(2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得；
(3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
第26题：
第27题：
第28题：
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
A．
B．
C．
D．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．1
B．2
C．3
D．4
A．1
B．2
C．3
D．4
A．结论①、②均正确
B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确
D．结论①、②均错误
A．结论①、②均正确
B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确
D．结论①、②均错误