上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷（含答案）

这是一份上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a､b∈R，则“lna>lnb”是“ea−b>1”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
2.已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩X∼Nμ1,σ 12，乙班成绩Y∼Nμ2,σ 22，其密度曲线如图所示，则有( )
A. μ1σ2
C. PX≤70=PY≥75D. PX≥75>PY≥75
3.设ω>0，函数y= 32csωx+12sinωx在区间π2,π上没有最大值和最小值，则ω的取值范围为( )
A. 0,12B. 13,12C. 0,16∪13,76D. 0,16∪13,12
4.设m∈R.定义点Pm,12m−1的t−相伴集合为AP−t=x,y∣x−m≤t且y−12m−1≤t，其中t为正实数.给出以下两个命题：
①若m=0，则其1−相伴集合AP−1所对应平面图形的面积为2；
②设t0>0，若对任意实数m及任意t≤t0，集合AP−t所对应平面图形与抛物线x2=2y均无公共点，则t00的解集为 ．
6.函数y=2x−1的零点是 ．
7.计算：i=1+∞12i= ．
8.若函数y=fx在x=x0处的切线方程为y=2x−1，则limℎ→0fx0+ℎ−fx0ℎ= ．
9.若幂函数y=xα在区间(0,+∞)上是严格减函数，则实数α的取值范围是 ．
10.若tanα−β=23,tanβ=1，则tanα= ．
11.若x+1xn的二项展开式中，第5项为常数项，则n= ．
12.已知向量a､b，其中b=3，a在b方向上的投影向量是29b，则a⋅b= ．
13.已知实数a1､a2､a3､a4､a5满足x∣x−a1x−a2x−a3x−a4x−a5=0=1,2,3,4，则a1､a2､a3､a4､a5的方差的最大值为 ．
14.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(B)=13,P(B|A)=35,P(B|A)=910，则PA= ．
15.已知复数w1,w2满足w1−w2=4w1−w2，记满足z−wi∈1,3i=1,2的复数z组成的集合为A.若z1∈A且z2∈A，则z1−z2的取值范围是 ．
16.如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为θ的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为45∘的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为Lθ米的“农药条带”.当0∘≤θ≤15∘时，Lθ的最大值为 .(结果精确到0.01)
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，▵PCD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，CD⊥AD,CD=4,AB=AD=2．
(1)求证：PB⊥CD；
(2)若四棱锥P−ABCD的体积为4 3，求直线PD与平面PBC所成角的大小．
18.(本小题15分)
为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆(如健身房､体育中心)和社区公共运动场(如小区健身点､街心公园)两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组(≥18岁且0．
(1)设gx=2x，写出函数y=fx的定义域，并判断是否存在正数a，使得函数y=fx为奇函数，说明理由；
(2)设gx=lg2x.若关于x的方程fx=gx的解集为单元素集合，求正数a的值．
20.(本小题18分)
已知无穷数列λn为严格增数列，且λn>0.双曲线Cn的方程为x2−y2=λ n2,An､Bn为双曲线Cn上两个不同的动点，其中An在双曲线Cn的右支上．
(1)若λ1=1，求双曲线C1的渐近线方程和焦点坐标；
(2)若λ1=1,λ2=2，且点Tt,0为线段A1A2的中点，求实数t的取值范围；
(3)已知直线AnBn过双曲线Cn+1的右顶点.若Bn在双曲线Cn的右支上，则称弦AnBn为双曲线Cn的“同支弦”，否则称其为双曲线Cn的“异支弦”.是否存在等差数列λn，使得对于任意正整数n，双曲线Cn“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线Cn“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列λn的通项公式；若不存在，请说明理由．
21.(本小题18分)
已知函数y=fx与函数y=gx的定义域均为R，且在R上的导函数分别为f′x和g′x.若存在常数k，使得对任意实数x,g′x≥k⋅f′x恒成立，则称y=gx是y=fx的“k−调整函数”，并称k为调整系数．
(1)设fx=csx,gx=2x.求证：y=gx是y=fx的“2−调整函数”；
(2)设fx=x2,gx=ex+bx.若存在实数b∈−2,−1，使得y=gx是y=fx的“k−调整函数”，求调整系数k的取值范围；
(3)已知y=gx是y=fx的“1−调整函数”，函数y=gx的值域是一个闭区间，记作集合P，函数y=fx的值域记作集合Q.若P⊆Q，判断y=fx−gx是否一定是常值函数，并说明理由．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.D
5.2,+∞ /xx2
6.0
7.1
8.2
9.(−∞,0)
10.5
11.8
12.2
13.3425
14.79
15.[0,8]

17.解：(1)取CD的中点E，连接PE,BE，
因为AB//CD，CD=2AB=4，
则DE=AB=2，所以四边形ABED是平行四边形，
又CD⊥AD，四边形ABED是矩形，
所以BE⊥CD，
▵PCD为等边三角形，E为CD的中点，
所以PE⊥CD，
BE∩PE=E，BE,PE⊂平面PBE，
所以CD⊥平面PBE，
PB⊂平面PBE，所以CD⊥PB．

(2)梯形ABCD的面积为12(2+4)×2=6，
设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，体积为13×6×ℎ=4 3，
得ℎ=2 3=PE，
所以PE⊥平面ABCD，
以EB,EC,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E−xyz，
B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,−2,0)，P(0,0,2 3)，
设面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
PB=(2,0,−2 3)，BC=(−2,2,0)，
n⋅PB=0n⋅BC=0,2x−2 3z=0−2x+2y=0,
取z=1,x= 3,y= 3，
则n=( 3, 3,1)，PD=(0,−2,−2 3)，
设直线PD与平面PBC所成角为θ，
sinθ=csPD,n=PD⋅nPDn=4 34× 7= 217．
直线PD与平面PBC所成角的大小为arcsin 217．

18.解：(1)根据已知数据计算空缺值，得到完整2×2列联表如下：
χ2=17060×50−40×202100×70×80×90=170×3000−800250400000=170×484000050400000≈16.33 因为16.33>3.841，
因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关．
(2)选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为1470=15，
因此抽取的样本中青壮年人数：20×15=4，中老年人数：50×15=10．
设抽取的7人中中老年人数为m，则青壮年人数为7−m，X=m−7−m=2m−7．
因为青壮年共4人，故7−m≤4，解得m≥3，又m≤7，
因此m=3,4,5,6,7，对应X的可能取值为1,3,5,7．
总情况数为C147=3432，
X=1(对应m=3或m=4)时，PX=1=C103C44+C104C43C147=120+8403432=9603432=40143，
X=3(对应m=5)时，PX=3=C105C42C147=15123432=63143，
X=5(对应m=6)时，PX=5=C106C41C147=8403432=35143，
X=7(对应m=7)时，PX=7=C107C40C147=1203432=5143，
因此，X的分布列为：
所以EX=1×40143+3×63143+5×35143+7×5143=439143≈3.07

19.解：(1)由题意知：fx=2a−1+2xa−2x,a>0，
分母不等于0得：a−2x≠0，
解得：x≠lg2a，
所以函数y=fx的定义域为x|x≠lg2a，
要使函数y=fx为奇函数，则定义域关于原点对称，
则lg2a=0，解得a=1，
当a=1时，fx=1+2x1−2x，定义域为x|x≠0，
此时f−x=1+2−x1−2−x=2x+12x−1=−f(x)，满足奇函数的定义，
所以存在正数a=1，使得函数y=fx为奇函数．
(2)由题意知：fx=2a−1+lg2xa−lg2x,a>0，
则fx=gx等价于2a−1+lg2xa−lg2x=lg2x，其中x>0且x≠2a，
化简得：lg2x2+(1−a)lg2x+2a−1=0，
令t=lg2x，t≠a，
原命题等价于：t2+(1−a)t+2a−1=0,t≠a的解集为单元素集合，
①方程有两相等实根，且不等于a，
所以Δ=(1−a)2−4(2a−1)=0，
化简得：a2−10a+5=0⇒(a−5)2=20，
解得：a=5±2 5，
验证根是否等于a，
当a=5+2 5时，根t=−1−a2=2+ 5≠a，满足题意，
当a=5−2 5时，根t=−1−a2=2− 5≠a，满足题意，
②方程有两不等实根，且其中一个根为a，
则将t=a代入方程：a2+(1−a)a+2a−1=0⇒3a−1=0⇒a=13，
当a=13时，此时方程为t2+23t−13=0⇒3t2+2t−1=0⇒(3t−1)(t+1)=0，
解得：t=13(舍)或t=−1，满足题意．
综上所述：正数a的取值为a=13或a=5−2 5或a=5+2 5．

20.解：(1)当λ1=1时，双曲线C1的方程为x2−y2=1，此时a=b=1．
根据双曲线渐近线方程y=±bax可得y=±x．
根据c2=a2+b2可得c= 1+1= 2，焦点在x轴上，所以焦点坐标为± 2,0．
(2)设A1x1,y1,A2x2,y2，因为A1在双曲线C1:x2−y2=1的右支上，所以x1≥1．
A2在双曲线C2:x2−y2=4的右支上，所以x2≥2．
已知点Tt,0为线段A1A2的中点，根据中点坐标公式可得t=x1+x22．
因为x1≥1,x2≥2，所以x1+x2≥3，则t=x1+x22≥32．
即实数t的取值范围是32,+∞．
(3)Cn的右顶点为λn,0．
若直线AnBn的斜率为0，此时Anλn,0,Bn−λn,0，AnBn为异支弦，AnBn=2λn．
若直线AnBn的斜率不为0，设直线AnBn的方程为x=ty+λn+1，代入x2−y2=λn2，
得t2−1y2+2tλn+1y+λn+12−λn2=0．
当t2−1≠0时，Δ=4t2λn+12−4t2−1λn+12−λn2=4t2λn2+λn+12−λn2>0
设Anx1,y1,Bnx2,y2，则y1y2=λn+12−λn2t2−1
AnBn2=t2+1y1−y22=t2+14t2λn2+λn+12−λn2t2−12．
设t2−1=a，则AnBn2=4a+2aλn2+λn+12a2=4λn2+λn+12+2λn2a+2λn+12a2．
当AnBn为异支弦时，y1y2>0，所以t2−1>0，即a>0．
所以AnBn2>4λn2⇒AnBn>2λn，所以异支弦最小值为2λn．
当AnBn为同支弦时，y1y2−1，所以AnBn2≥4λn2−λn+12+2λn2+2λn+12=4λn+12−λn2．
所以同支弦长最小值为2 λn+12−λn2，由已知2 λn+12−λn2>2λn，所以λn+1> 2λn．
若λn是等差数列，设公差为d>0，则一定存在一个充分大的n，使 2−1λn>d．
此时 2λn>λn+d=λn+1，不合题意，所以不存在这样的等差数列λn．

21.解：(1)因为fx=csx,gx=2x，
所以f′x=−sinx,g′x=2．
所以2⋅f′x=2−sinx≤2=g′x
所以y=gx是y=fx的“2−调整函数”；
(2)由fx=x2,gx=ex+bx，得f′x=2x,g′x=ex+b．
由于y=gx是y=fx的“k−调整函数”，那么存在常数k，使得g′x≥k⋅f′x恒成立，
即ex+b≥k2x=2kx，即b≥2kx−ex．
因为存在实数b∈−2,−1，满足上式，所以−1≥2kx−ex，即ex−1≥2kx．
1)若x=0，则ex−1≥2kx成立；
2)若x