新高考数学二轮复习小题巩固练训练23（综合训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习小题巩固练训练23（综合训练）（2份，原卷版+解析版）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．给出下列四个命题：
①若复数z满足1z∈R，则z∈R；
②若复数z满足(z+1)2∈R，则z∈R；
③若复数z1,z2满足z1⋅z2∈R，则z1,z2互为共轭复数；
④若复数z1,z2满足z1+z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数.
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①设出复数z，由1z∈R即可判断.
②取z=−1+i，即可判断.
③取z1=i，z2=2i，即可判断.
④利用反证法，即可说明.
【详解】对于①:设复数z=a+bi(a，b∈R)，则1z=1a+bi=a−bia+bia−bi=aa2+b2−ba2+b2i，
若1z∈R，则b=0，所以z=a∈R，故①为真命题；
对于②:若复数z=−1+i，则z+12=−1∈R，但z∉R，故②为假命题；
对于③:若复数z1=i，z2=2i满足z1z2=−2∈R，但z1≠z2，故③为假命题；
对于④，若z1和z2是共轭复数，则z1+z2为实数，不会为虚数，故④为真命题.
故选:B.
2．已知a,b∈R，“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由a2=b2，则a=±b，当a=−b≠0时a2+b2=2ab不成立，充分性不成立；
由a2+b2=2ab，则(a−b)2=0，即a=b，显然a2=b2成立，必要性成立；
所以a2=b2是a2+b2=2ab的必要不充分条件.
故选：B
3．已知向量a，b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1)，则|a|2−|b|2=（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量a,b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1)，
所以|a|2−|b|2=(a+b)⋅(a−b)=2×(−2)+3×1=−1.
故选：B
4．已知数列an的前n项和为Sn，若a1=2,an+1=2Sn+2n∈N∗，则a4=（ ）
A．16B．32C．54D．162
【答案】C
【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得a4的值.
【详解】当n≥2,n∈N∗时，an=2Sn−1+2，所以an+1−an=2an，即an+1=3an，
当n=1时，a2=2S1+2=2a1+2=6=3a1，
所以数列an是首项为2，公比为3的等比数列，
则a4=a1q3=54.
故选：C.
5．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若B=60°，b2=94ac，则sinA+sinC=（ ）
A．32B．2C．72D．32
【答案】C
【分析】利用正弦定理得sinAsinC=13，再利用余弦定理有a2+c2=134ac，由正弦定理得到sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可.
【详解】因为B=60°,b2=94ac，则由正弦定理得sinAsinC=49sin2B=13.
由余弦定理可得:b2=a2+c2−ac=94ac，
即:a2+c2=134ac，根据正弦定理得sin2A+sin2C=134sinAsinC=1312，
所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=74，
因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0，则sinA+sinC=72.
故选：C.
6．设函数fx=ex+2sinx1+x2，则曲线y=fx在点0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】f′x=ex+2csx1+x2−ex+2sinx⋅2x1+x22，
则f′0=e0+2cs01+0−e0+2sin0×01+02=3，
即该切线方程为y−1=3x，即y=3x+1，
令x=0，则y=1，令y=0，则x=−13，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=12×1×−13=16.
故选：A.
7．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为33．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ）
A．9πB．64π3C．27πD．273π2
【答案】B
【分析】根据题意，作出圆台轴截面，分析可知，当球与AD,CD,BC相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，得到结果即可.
【详解】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与AD,CD,BC相切，
设圆O的半径为R，则OE=OF，
因为OE⊥CD,OF⊥BC，所以△OCE≅△OCF，
作OG⊥AB，BH⊥CD，因为BG=1,CE=4，所以CH=3，
而BH=33，由勾股定理得BC=(33)2+32=6，
则OG=33−R，且OB2=BG2+OG2=OF2+BF2，
而BF=BC−CF=BC−CE=2，
即得到33−R2+12=22+R2，解得R=433，
则该球的表面积的最大值为S=4πR2=4π×16×39=64π3，故B正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解题关键是判断出表面积最大时的情况，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半径，进而得到所要求的表面积即可．
8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1=3AF2，点M满足F1M=3MF2，且AM⊥F1B，则椭圆C的离心率为（ ）
A．13B．33C．23D．63
【答案】B
【分析】由AF1=3AF2、F1M=3MF2结合正弦定理可得∠F1AM=∠F2AM，又AM⊥F1B，故AB=AF1，再结合余弦定理计算即可得离心率.
【详解】由椭圆定义可知AF1+AF2=2a，由AF1=3AF2，故AF1=32a，AF2=12a，
点M满足F1M=3MF2，即F1M=3MF2，则AF1F1M=3AF23MF2=AF2MF2，
又AF1sin∠AMF1=F1Msin∠F1AM，AF2sin∠AMF2=F2Msin∠F2AM，
即AF1F1M=sin∠AMF1sin∠F1AM=AF2MF2=sin∠AMF2sin∠F2AM，又∠AMF1+∠AMF2=180°，
故sin∠AMF1=sin∠AMF2，则sin∠F1AM=sin∠F2AM，即∠F1AM=∠F2AM，
即AM平分∠F1AF2，又AM⊥F1B，故AB=AF1=32a，
则BF2=32a−12a=a，则BF1=2a−a=a，
cs∠AF2F1=2c2+12a2−32a22×2c×12a=2c2−a2ac=2e−1e，
cs∠BF2F1=2c2+a2−a22×2c×a=4c24ac=e，
由∠AF2F1+∠BF2F1=180°，
故cs∠AF2F1+cs∠BF2F1=0，
即2e−1e+e=0，即3e2=1，又e>0，故e=33.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题关键在于由AF1=3AF2、F1M=3MF2，得到AM平分∠F1AF2，结合AM⊥F1B，从而得到AB=AF1.
二、多选题
9．已知a，b为正实数，且a>1，b>1，ab−a−b=0，则（ ）
A．ab的最大值为4B．2a+b的最小值为3+22
C．a+b的最小值为3−22D．1a−1+1b−1的最小值为2
【答案】BD
【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断.
【详解】对于A，因为ab=a+b≥2ab，则ab≥2，ab≥4，
当且仅当a=b=2时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误；
对于B，由ab=a+b，得1a+1b=1，2a+b1a+1b=3+2ab+ba≥3+22，
当且仅当a=1+22，b=1+2时取“＝”，B正确；
对于C，a+b1a+1b=2+ba+ab≥4，
当且仅当a=b=2时，取“＝”，C错误；
对于D，因为ab=a+b，所以a−1b−1=1，
则1a−1+1b−1≥21a−1b−1=2，当且仅当a=b=2时，取“＝”，D正确.
故选：BD.
10．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A．事件A1，A2为互斥事件B．事件B，C为独立事件
C．PB=25D．PCA2=34
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得P(B)判断C，根据条件概率的定义求得P(C|A2)判断D．
【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件B发生时，两球同为白色或同为红色，P(C)=P(BC)P(B)=C32C52C32+C22C52=34，事件B不发生，则两球一白一红，P(C)=1，B,C不独立，B错；
P(B)=C32+C22C52=25，C正确；
事件A2发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发生，所以P(C|A2)=34，D正确．
故选：ACD．
11．已知曲线C:mx2+ny2=1.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，m>n>0时表示椭圆，m=n>0时表示圆，mn0时表示两条直线.
【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
因为m>n>0，所以1m0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，
此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；
对于C，若mn0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，
y=±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、填空题
12．某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
【答案】 35 12
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.
【详解】解法一：列举法
给这5个项目分别编号为A,B,C,D,E,从五个活动中选三个的情况有：
ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，
其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，
则甲参加“整地做畦”的概率为：P=610=35；
乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，
其中再选择D有3种可能性：ABD,ACD,ADE，
故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为36=12.
解法二：
设甲、乙选到A为事件M，乙选到D为事件N，
则甲选到A的概率为PM=C42C53=35；
乙选了A活动，他再选择D活动的概率为PNM=PMNPM=C31C53C42C53=12
故答案为：35；12
13．已知csα−β=712，sinαsinβ=13，则sin2αsin2β= .
【答案】13
【分析】利用余弦差公式将已知条件csα−β展开，结合sinαsinβ=13，求得csαcsβ=14，再利用正弦二倍角公式，将sin2αsin2β展开，代入即可求解.
【详解】因为csα−β=csαcsβ+sinαsinβ=712，而sinαsinβ=13，
所以csαcsβ=14，
所以sin2αsin2β=2sinαcsα⋅2sinβcsβ=4csαcsβ⋅sinαsinβ=4×14×13=13.
故答案为：13.
14．关于x的不等式xeax+bx−lnx≥1(a>0)恒成立，则ba的最小值为 ．
【答案】−1
【分析】由xeax+bx−lnx≥1(a>0)，得eax+lnx≥−bx+lnx+1(a>0)，利用导数证明ex≥x+1，则问题转化为ax+lnx+1≥−bx+lnx+1(a>0)恒成立，即可得解.
【详解】令fx=ex−x−1，则f′x=ex−1，
当x0，
所以函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以fx≥f0=0，所以ex≥x+1，
由xeax+bx−lnx≥1(a>0)，得eax+lnx≥−bx+lnx+1(a>0)，
而ax+lnx∈R，
令ax+lnx+1≥−bx+lnx+1(a>0)，
则a+b≥0，所以ba≥−1，
若a+b0,y=lnx的图象，

由函数图象可知，方程ax+lnx=0有唯一实数根x0∈0,1，
即ax0+lnx0=0，
由xeax+bx−lnx≥1(a>0)，得eax+lnx≥−bx+lnx+1，
即eax+lnx−ax+lnx≥1−a+bx，
当x=x0时，e0−0≥1−a+bx0，即a+bx0≥0，
又a+b