新高考数学二轮复习专题突破练习微专题9 奔驰定理与三角形四心（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练习微专题9 奔驰定理与三角形四心（2份，原卷版+解析版）试卷主要包含了基础知识，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.奔驰定理
如图,已知P为△ABC内一点,则有S1PA+S2PB+S3PC=0(其中S1,S2,S3分别为△PBC,△PAC,
△PAB的面积).
证明:设∠APB=α,∠APC=β,|PA|=x,
|PB|=y,|PC|=z.
根据三角形正弦定理面积公式得
S1PA+S2PB+S3PC=12yzsin [2π-(α+β)]·PA+12xzsin βPB+12xysin αPC
=-12yzsin(α+β)PA+12xzsin βPB+12xysin αPC,①
把①式两边与向量PA作数量积得
(S1PA+S2PB+S3PC)·PA
=-12x2yzsin(α+β)+12x2yzsin βcs α
+12x2yzsin αcs β
=12x2yz[-sin(α+β)+sin βcs α+sin αcs β]=0.
同理:①式两边与向量PB,PC作数量积都得0.
但是S1PA+S2PB+S3PC不可能同时与PA,PB,PC三个向量垂直,而PA,PB,PC也不可能都为0,所以S1PA+S2PB+S3PC=0.
该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志,所以我们把上述结论称为奔驰定理,该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用.
2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)
(1)点O是△P1P2P3的重心⇔OP1+OP2+OP3=0⇔S△P2OP3=S△P1OP3=S△P1OP2=13S△P1P2P3;
(2)点O是△P1P2P3的垂心⇔OP1·OP2=OP2·OP3=OP3·OP1⇔tan P1·OP1+tan P2·OP2+
tan P3·OP3=0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2=tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形);
(3)点O是△P1P2P3的内心⇔aOP1+bOP2+cOP3=0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2=a∶b∶c(其中a,b,c是△P1P2P3的三边,分别所对角P1,P2,P3);
(4)点O是△P1P2P3的外心⇔|OP1|=|OP2|=|OP3|⇔OP1sin 2P1+OP2sin 2P2+OP3sin 2P3=0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2=sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3.
二．典型例题
1.利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题
例1 (1)已知O是△ABC内部一点,满足OA+2OB+mOC=0,且S△AOBS△ABC=47,则实数m= .
(2)(2025·成都诊断)已知点A,B,C,P在同一平面内,PQ=13PA,QR=13QB,RP=13RC,则S△ABC∶S△PBC= .
规律方法 已知P为△ABC内一点,且xPA+yPB+zPC=0(x,y,z∈R,xyz≠0,x+y+z≠0),则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|;
(2)S△PBCS△ABC=xx+y+z,S△PACS△ABC=yx+y+z,
S△PABS△ABC=zx+y+z.
训练1 设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且OA+OB+2OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为 .
2.奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)
(1).奔驰定理与重心
例2 (2025·兰州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,重心为G.若aGA+bGB+33cGC=0,则∠BAC= .
(2).奔驰定理与外心
例3 已知点P是△ABC的外心,且PA+PB+λPC=0,C=2π3,则λ= .
(3).奔驰定理与内心
例4 (2025·南阳质检)在△ABC中,AB=2,AC=3,BC=4,O为△ABC的内心,若AO=λAB+μBC,则3λ+6μ的值为( )
A.1B.2
C.3D.4
(4).奔驰定理与垂心
例5 (2025·温州调研)如图,已知O是△ABC的垂心,且OA+2OB+3OC=0,则
tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB=( )
A.1∶2∶3B.1∶2∶4
C.2∶3∶4D.2∶3∶6
易错提醒 涉及三角形的四心问题时,内心和重心一定在三角形内部,而外心和垂心有可能在三角形外部,上述定理及推论中的点都在三角形内部,解题时,要注意观察题目有无这一条件.
训练2 (1)设I为△ABC的内心,且2IA+3IB+7IC=0,则角C= .
(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心,∠BAC=π6,如图.若△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为12,x,y,则x+y的最大值是 .
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·江苏部分学校联考)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线.若AB·AD=AC·AD,则直线AD一定经过三角形ABC的( )
A.外心B.内心
C.重心D.垂心
2.点O为△ABC内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2,设AO=λAB+μAC,则实数λ和μ的值分别为( )
A.29,49B.49,29
C.19,29D.29,19
3.已知O是△ABC内一点,OA+OB+OC=0,AB·AC=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为( )
A.33B.3
C.32D.23
4.(2025·成都诊断)已知点P,Q在△ABC内,若PA+2PB+3PC=2QA+3QB+5QC=0,则|PQ||AB|等于( )
A.130B.131
C.132D.133
5.(2025·石家庄质检)平面向量中有一个非常优美的结论:已知O为△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SAOA+SBOB+SCOC=0.因其几何表示酷似奔驰的标志,所以称为“奔驰定理”.已知O为△ABC的内心,三个角所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b=23,c=5,则BO·AC=( )
A.23-8B.-2
C.6-7D.32-9
6.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·OA+S△OAC·OB+S△OAB·OC=0,即称为经典的“奔驰定理”,
若△ABC的三边为a,b,c,现有a·OA+b·OB+c·OC=0,则O为△ABC的( )
A.外心B.内心
C.重心D.垂心
7.设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,λ1=S△PBCS△ABC,λ2=S△PACS△ABC,λ3=S△PABS△ABC,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心,f(P)=12,13,16,则( )
A.点P在△GAB内B.点P在△GBC内
C.点P在△GAC内D.点P与点G重合
二、多选题
8.(2025·安徽皖江名校联考)已知△ABC,D为BC边的中点,若点P满足3PA+2PB+PC=0,则下列说法正确的是( )
A.点P一定在△ABC内部
B.4PA+2PB=CA
C.S△ABC=3S△PAC
D.点P在直线AD上
9.(2025·贵阳模拟)奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SAOA+SBOB+SCOC=0.设O是锐角三角形ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下结论正确的是( )
A.若OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心
B.若OA+2OB+3OC=0,则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
C.若O为△ABC(不为直角三角形)的垂心,则tan ∠BAC·OA+tan ∠ABC·OB+tan ∠ACB·OC=0
D.若|OA|=|OB|=2,∠AOB=5π6,2OA+3OB+4OC=0,则S△ABC=92
10.(2024·新余模拟)已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有( )
A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心，则BC·MA+AC·MB+AB·MC=0
C.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=3∶4∶5
D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=3∶2∶1
11.已知O是锐角△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有( )
A.若OA+2OB+3OC=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
B.若|OA|=|OB|=2，∠AOB=5π6，2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=92
C.若O为△ABC的内心，3OA+4OB+5OC=0，则∠ACB=π2
D.若O为△ABC的垂心，3OA+4OB+5OC=0，则cs∠AOB=-66
三、填空题
12.(2025·南昌调研)△ABC的内切圆圆心为O,半径为2,
且S△ABC=14,2OA+2OB+3OC=0,则△ABC的外接圆面积为 .
13.若△ABC内接于以O为圆心,以1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0,则△ABC的面积为 .
14.(2025·天津河北区质检)在△ABC中,点G,O分别为△ABC的重心和外心,且AG·AO=4,|AG|=2,则边BC的长为 .