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重难点5-2 奔驰定理与三角形的”四心“5大题型-高考数学专练（新高考专用）
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这是一份重难点5-2 奔驰定理与三角形的”四心“5大题型-高考数学专练（新高考专用），文件包含重难点5-2奔驰定理与三角形的”四心“5大题型解析版docx、重难点5-2奔驰定理与三角形的”四心“5大题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
重难点5-2 奔驰定理与三角形的“四心”5大题型
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
一、奔驰定理及其推论
1、奔驰定理：是内的一点，且，则
2、奔驰定理推论：，则
①
②，，.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
二、三角形的四心
1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若或，，则一定经过三角形的重心
（4）若或，，则一定经过三角形的重心
2、常见内心向量式：是的内心，
（1）（或）
其中，，分别是的三边、、的长，
（2），，则一定经过三角形的内心。
3、常用外心向量式：是的外心，
（1）
（2）
（3）动点满足，，
则动点的轨迹一定通过的外心.
（4）若，则是的外心.
4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论：
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心
（4）奔驰定理推论：，.
【题型1 三角形“重心”及应用】
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】根据题意，设边的中点为，则，
因为点满足，其中
所以，，即，
所以，点的轨迹为的中线，
所以，点的轨迹一定经过的重心.故选：A
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接，
则．
又，，即．
又，点在射线上．
故的轨迹过的重心．故选：B．
【变式1-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，为的重心，延长交于点，
由题意可知，，
所以，
所以，故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，是边中点，则共线且，
，
所以，D正确，
由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．故选：D．
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，若，则___________．
【答案】
【解析】因为为重心，则，
又因为，
不妨设，所以，
所以，所以，
所以
【变式1-5】（2023·全国·高三专题练习）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
【答案】
【解析】∵，
则
∵，则
∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，则即
∴
【题型2 三角形“内心”及应用】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】分别表示方向的单位向量，
令，，
则，即，
又，以为一组邻边作一个菱形，
则点P在该菱形的对角线上，
所以点P在，即的平分线上，
故动点P的轨迹一定通过的内心.故选：B.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因为，且D为中点，，
则，
又因为，则可得四边形为菱形，
即为菱形的对角线，
所以平分，即直线经过的内心，故选:A
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）在△中，，，，O为△的内心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，则，
因为O为△的内心，所以，
从而，解得，，所以.故选：C.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：圆O在边上的切点分别为，
连接，延长交于点
设，则，则
设
∵三点共线，则，即
即故选：D．
【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】延长，分别交于.
内心是三角形三个内角的角平分线的交点.
在三角形和三角形中，由正弦定理得：
，
由于，所以，，
同理可得，，
.
所以，
则.故选：C
【题型3 三角形“外心”及应用】
【例3】（2023秋·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】设，，
以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，
，，，
则，，，，则，
设，则，
，，即，
即点的轨迹方程为，
而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A.
【变式3-1】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【解析】根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．故选：B．
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，，，O是的外心，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】过点O分别作于点D，于点E，
根据圆的性质可得D，E分别为，的中点，
.故选：C.
【变式3-3】23．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【答案】④
【解析】设BC的中点为D，
∵，
∴，
即，两端同时点乘，
∵= ===0，
所以，
所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心
【题型4 三角新“垂心”及应用】
【例4】（2022秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心. D．是的垂心
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，∴，
同理由，得到，
∴点是的三条高的交点.故选：D
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【解析】由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．故选：C.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【解析】由题意知，中，，
则，即，
所以，即，
同理，，；所以是的垂心.故选：C
【变式4-3】（2021·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，满足，，，则的轨迹一定通过的__（外心、垂心、重心、内心）
【答案】垂心
【解析】，
，
即，
，，
，
∴与垂直，即，
点P在BC的高线上，即P的轨迹过的垂心.
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【解析】设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，
由B，C，D三点共线可得：，
于是有，
则
，
在中，，
则，
在中，由正弦定理得，
则，
在中，由正弦定理有，
于是得，
因此，，
所以2021.故选：C
【题型5 奔驰定理及应用】
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知是内一点，且满足，记的面积依次为，则等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图，延长至，使得，延长至，使得，
延长至，使得，因为，
所以，故是的重心，
设，则，
又，所
，
，
所以，
，
所以，
所以，则等于.故选：C.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，所以，，
延长交于，延长交于，
则，
又，所以，所以为的平分线，
同理可得是的平分线，所以为的内心.故选：B
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，
由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，
有，，即，
所以.故选：A
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
【答案】C
【解析】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，
故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，
则，
同理，，
因为O为的垂心，则，
所以，同理得
，
则，
令，
由，则，
同理：
，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确. 故选：C
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是的重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有___________.
【答案】①②④
【解析】对于①：如图所示：因为分别为的中点，
所以,，
同理可得、，
所以，又因为
所以.①正确.
对于②：记点到的距离分别为，
，
因为，则，
即，
又因为，所以，所以点是的内心.②正确.
对于③：因为，
所以,,,
所以,
化简得：，
又因为不共线.
所以，.③错误.
对于④：因为是的外心，，
所以,，,
因为，则，
化简得： ,由题意知不同时为正.
记，则，
因为
所以.④正确.
故答案为：①②④.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
【答案】A
【解析】设中点为，因为，
所以，即，
因为有公共点，
所以，三点共线，即在的中线，
同理可得在的三条中线上，即为的重心；
因为，
所以，点为的外接圆圆心，即为的外心
综上，点依次是的重心，外心.故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的外心
【答案】C
【解析】取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]，
∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）设是所在平面上一点，点是的垂心，满足，且，则角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，，
即（点是边的中点），所以点在边的中垂线上.
同理点在边的中垂线上.因此点是的外心.
设外接圆的半径是.
.故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】，
在的角平分线上，同理在的角平分线上，
点为三角形的角平分线的交点
故点是三角形的内心.故选：B.
6．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【解析】由，故为中点，又O是的外心，
易知：，且，
由在上的投影向量，即，
所以，
由图，.故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】对于①，当时，；
设中点为，则，即，
为的重心，①正确；
对于②，当，，时，，，
取中点，中点，
，，，即，
到直线距离与到直线距离之比为：，即；
又为中点，点到直线距离，，
，即，②正确；
对于③，由得：，
，同理可得：，，为的垂心，③正确；
对于④，当，，时，，，
又为边中点，，
又，，，④正确.故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
【答案】B
【解析】如图，设AB中点为M，则，，
，故A正确；
等价于等价于，即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直，故B错误；
设的中点为，则，
∵E，F，G三点共线，，即，故C正确；
，
与垂直，又，
∴与共线，故D正确.故选：B.
9．（2022·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，．
又，．
不妨设，其中．
，，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，故选：B．
10．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹不可能经过的重心
D．若，，则点的轨迹一定过的外心
【答案】ABD
【解析】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，
中，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；
中或，则或为三角形垂心，故有可能为垂心，B错；
若为的重心，必有，此时，C对；
若，，结合，
则点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形内（含边界），
为锐角三角形，其外心在内，则必过外心；
为直角三角形，其外心为斜边中点，则必过外心；
为钝角三角形且，其外心在外，即边的另一侧，
如下图示，点在平行四边形内（含边界），
此时，当外心在内（含边界），则必过外心；
当外心在外（如下图为的中垂线），则不过外心；
所以，，，的轨迹不一定过的外心，D错.故选：ABD
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【答案】AC
【解析】对于A，设边、、的中点分别为、、
,则，所以
所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上，
则是的重心.故A正确
对于B，若，则，所以
所以为的外心，故B错误
对于C，设边、、的中点分别为点、、，
则,所以为线段的中垂线，
同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确
对于D，由已知，，
即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上，
所以则是的垂心，故D错误.故选：AC
12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在△ABC中，，，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，重心为中线交点，则，即，
因为，则，
所以，，所以，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则，
即，所以，
由A选项，则，，所以，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心，
因为，设为边的中点，所以，，所以，
因为，所以，
在中，，
则，，
所以，易知，所以，
所以，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则，，共线，
由C选项，因为，，
所以，
因为，则，即，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，解得，所以，故D正确；故选：ACD
13．（2022·全国·高三专题练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
【答案】ACD
【解析】对A，由奔驰定理可得，，
又不共线，故，A对；
对B，，由得，
故，B错；
对C，若O为△ABC的内心，，则，
又（为内切圆半径），
三边满足勾股定律，故，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，
则，，
又，
同理，
∴，
∵，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，故，D对故选：ACD
14．（2022·全国·高三专题练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A项：，即，
，，，
同理可得，，故为的垂心，A正确；
B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
因为，所以，，
因为，所以，，
则，B正确；
C项：在中，由正弦定理易知，
因为，，
所以，即，，
同理可得，故，C错误；
D项：，同理可得，，
则
，
同理可得，，
因为，
所以将、、代入，可得，
因为，
所以，
故成立，D正确，故选：ABD.
15．（2023·全国·高三专题）（多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ACD
【解析】A：如下图，，则为垂心，易知：，
所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，
同理，所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；
C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，所以，正确；
D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.故选：ACD
16．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，，，则下列各式中正确的序号是______．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】对于①，由题意得，即，故①正确；
对于②，由是的重心，设为中点，
可得，
所以，故②错误；
对于③，过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图，
易知，分别是，的中点，
则
，故③正确；
对于④，因为为的重心，所以，
故，
所以由欧拉线定理可得，
所以，故④正确，
故答案为：①③④．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知G为的内心，且，则___________．
【答案】
【解析】首先我们证明一个结论：已知是所在平面上的一点，,,为的三边长，
若,则是的内心.证明:,
则,
等式两边同时除以得，，
表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量，
则由平行四边形定则可知表示的角平分线方向上的向量，
则为的角平分线，同理、分别为的角平分线，
所以是的内心.
于是我们得到本题的一个结论．
又∵，
∴由正弦定理与题目条件可知．
由可得，
可得，同理可得，即．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知的重心为，过的直线分别交线段，于点，（点，不重合），若，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】在中，因为是的重心，所以，
，，三点共线，所以（，），
，
当且仅当，时取得最小值，所以最小值为．
19．（2022·全国·高三专题练习）我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，，
因为，
则，所以，，
所以，，可得，
因为，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故答案为：.
20．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________.
【答案】
【解析】由题意可知，为的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,
因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，
则 得②，
①②联立解得，，
所以.
重难点5-2 奔驰定理与三角形的“四心”5大题型
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。
一、奔驰定理及其推论
1、奔驰定理：是内的一点，且，则
2、奔驰定理推论：，则
①
②，，.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
二、三角形的四心
1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若或，，则一定经过三角形的重心
（4）若或，，则一定经过三角形的重心
2、常见内心向量式：是的内心，
（1）（或）
其中，，分别是的三边、、的长，
（2），，则一定经过三角形的内心。
3、常用外心向量式：是的外心，
（1）
（2）
（3）动点满足，，
则动点的轨迹一定通过的外心.
（4）若，则是的外心.
4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论：
（1）
（2）
（3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心
（4）奔驰定理推论：，.
【题型1 三角形“重心”及应用】
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】根据题意，设边的中点为，则，
因为点满足，其中
所以，，即，
所以，点的轨迹为的中线，
所以，点的轨迹一定经过的重心.故选：A
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接，
则．
又，，即．
又，点在射线上．
故的轨迹过的重心．故选：B．
【变式1-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，为的重心，延长交于点，
由题意可知，，
所以，
所以，故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，是边中点，则共线且，
，
所以，D正确，
由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．故选：D．
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，若，则___________．
【答案】
【解析】因为为重心，则，
又因为，
不妨设，所以，
所以，所以，
所以
【变式1-5】（2023·全国·高三专题练习）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
【答案】
【解析】∵，
则
∵，则
∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，则即
∴
【题型2 三角形“内心”及应用】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】分别表示方向的单位向量，
令，，
则，即，
又，以为一组邻边作一个菱形，
则点P在该菱形的对角线上，
所以点P在，即的平分线上，
故动点P的轨迹一定通过的内心.故选：B.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因为，且D为中点，，
则，
又因为，则可得四边形为菱形，
即为菱形的对角线，
所以平分，即直线经过的内心，故选:A
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）在△中，，，，O为△的内心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，则，
因为O为△的内心，所以，
从而，解得，，所以.故选：C.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：圆O在边上的切点分别为，
连接，延长交于点
设，则，则
设
∵三点共线，则，即
即故选：D．
【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】延长，分别交于.
内心是三角形三个内角的角平分线的交点.
在三角形和三角形中，由正弦定理得：
，
由于，所以，，
同理可得，，
.
所以，
则.故选：C
【题型3 三角形“外心”及应用】
【例3】（2023秋·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】设，，
以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，
，，，
则，，，，则，
设，则，
，，即，
即点的轨迹方程为，
而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A.
【变式3-1】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【解析】根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．故选：B．
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，，，O是的外心，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】过点O分别作于点D，于点E，
根据圆的性质可得D，E分别为，的中点，
.故选：C.
【变式3-3】23．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心
【答案】④
【解析】设BC的中点为D，
∵，
∴，
即，两端同时点乘，
∵= ===0，
所以，
所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心
【题型4 三角新“垂心”及应用】
【例4】（2022秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心. D．是的垂心
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，∴，
同理由，得到，
∴点是的三条高的交点.故选：D
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【解析】由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．故选：C.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【解析】由题意知，中，，
则，即，
所以，即，
同理，，；所以是的垂心.故选：C
【变式4-3】（2021·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，满足，，，则的轨迹一定通过的__（外心、垂心、重心、内心）
【答案】垂心
【解析】，
，
即，
，，
，
∴与垂直，即，
点P在BC的高线上，即P的轨迹过的垂心.
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【解析】设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，
由B，C，D三点共线可得：，
于是有，
则
，
在中，，
则，
在中，由正弦定理得，
则，
在中，由正弦定理有，
于是得，
因此，，
所以2021.故选：C
【题型5 奔驰定理及应用】
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知是内一点，且满足，记的面积依次为，则等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图，延长至，使得，延长至，使得，
延长至，使得，因为，
所以，故是的重心，
设，则，
又，所
，
，
所以，
，
所以，
所以，则等于.故选：C.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，所以，，
延长交于，延长交于，
则，
又，所以，所以为的平分线，
同理可得是的平分线，所以为的内心.故选：B
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，
由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，
有，，即，
所以.故选：A
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
【答案】C
【解析】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，
故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，
则，
同理，，
因为O为的垂心，则，
所以，同理得
，
则，
令，
由，则，
同理：
，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确. 故选：C
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是的重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有___________.
【答案】①②④
【解析】对于①：如图所示：因为分别为的中点，
所以,，
同理可得、，
所以，又因为
所以.①正确.
对于②：记点到的距离分别为，
，
因为，则，
即，
又因为，所以，所以点是的内心.②正确.
对于③：因为，
所以,,,
所以,
化简得：，
又因为不共线.
所以，.③错误.
对于④：因为是的外心，，
所以,，,
因为，则，
化简得： ,由题意知不同时为正.
记，则，
因为
所以.④正确.
故答案为：①②④.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
【答案】A
【解析】设中点为，因为，
所以，即，
因为有公共点，
所以，三点共线，即在的中线，
同理可得在的三条中线上，即为的重心；
因为，
所以，点为的外接圆圆心，即为的外心
综上，点依次是的重心，外心.故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的外心
【答案】C
【解析】取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]，
∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）设是所在平面上一点，点是的垂心，满足，且，则角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，，
即（点是边的中点），所以点在边的中垂线上.
同理点在边的中垂线上.因此点是的外心.
设外接圆的半径是.
.故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】，
在的角平分线上，同理在的角平分线上，
点为三角形的角平分线的交点
故点是三角形的内心.故选：B.
6．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【解析】由，故为中点，又O是的外心，
易知：，且，
由在上的投影向量，即，
所以，
由图，.故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】对于①，当时，；
设中点为，则，即，
为的重心，①正确；
对于②，当，，时，，，
取中点，中点，
，，，即，
到直线距离与到直线距离之比为：，即；
又为中点，点到直线距离，，
，即，②正确；
对于③，由得：，
，同理可得：，，为的垂心，③正确；
对于④，当，，时，，，
又为边中点，，
又，，，④正确.故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
【答案】B
【解析】如图，设AB中点为M，则，，
，故A正确；
等价于等价于，即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直，故B错误；
设的中点为，则，
∵E，F，G三点共线，，即，故C正确；
，
与垂直，又，
∴与共线，故D正确.故选：B.
9．（2022·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，．
又，．
不妨设，其中．
，，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，故选：B．
10．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹不可能经过的重心
D．若，，则点的轨迹一定过的外心
【答案】ABD
【解析】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，
中，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；
中或，则或为三角形垂心，故有可能为垂心，B错；
若为的重心，必有，此时，C对；
若，，结合，
则点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形内（含边界），
为锐角三角形，其外心在内，则必过外心；
为直角三角形，其外心为斜边中点，则必过外心；
为钝角三角形且，其外心在外，即边的另一侧，
如下图示，点在平行四边形内（含边界），
此时，当外心在内（含边界），则必过外心；
当外心在外（如下图为的中垂线），则不过外心；
所以，，，的轨迹不一定过的外心，D错.故选：ABD
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【答案】AC
【解析】对于A，设边、、的中点分别为、、
,则，所以
所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上，
则是的重心.故A正确
对于B，若，则，所以
所以为的外心，故B错误
对于C，设边、、的中点分别为点、、，
则,所以为线段的中垂线，
同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确
对于D，由已知，，
即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上，
所以则是的垂心，故D错误.故选：AC
12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在△ABC中，，，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，重心为中线交点，则，即，
因为，则，
所以，，所以，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则，
即，所以，
由A选项，则，，所以，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心，
因为，设为边的中点，所以，，所以，
因为，所以，
在中，，
则，，
所以，易知，所以，
所以，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则，，共线，
由C选项，因为，，
所以，
因为，则，即，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，解得，所以，故D正确；故选：ACD
13．（2022·全国·高三专题练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
【答案】ACD
【解析】对A，由奔驰定理可得，，
又不共线，故，A对；
对B，，由得，
故，B错；
对C，若O为△ABC的内心，，则，
又（为内切圆半径），
三边满足勾股定律，故，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，
则，，
又，
同理，
∴，
∵，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，故，D对故选：ACD
14．（2022·全国·高三专题练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A项：，即，
，，，
同理可得，，故为的垂心，A正确；
B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
因为，所以，，
因为，所以，，
则，B正确；
C项：在中，由正弦定理易知，
因为，，
所以，即，，
同理可得，故，C错误；
D项：，同理可得，，
则
，
同理可得，，
因为，
所以将、、代入，可得，
因为，
所以，
故成立，D正确，故选：ABD.
15．（2023·全国·高三专题）（多选）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ACD
【解析】A：如下图，，则为垂心，易知：，
所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，
同理，所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；
C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，所以，正确；
D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.故选：ACD
16．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，，，则下列各式中正确的序号是______．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】对于①，由题意得，即，故①正确；
对于②，由是的重心，设为中点，
可得，
所以，故②错误；
对于③，过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图，
易知，分别是，的中点，
则
，故③正确；
对于④，因为为的重心，所以，
故，
所以由欧拉线定理可得，
所以，故④正确，
故答案为：①③④．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知G为的内心，且，则___________．
【答案】
【解析】首先我们证明一个结论：已知是所在平面上的一点，,,为的三边长，
若,则是的内心.证明:,
则,
等式两边同时除以得，，
表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量，
则由平行四边形定则可知表示的角平分线方向上的向量，
则为的角平分线，同理、分别为的角平分线，
所以是的内心.
于是我们得到本题的一个结论．
又∵，
∴由正弦定理与题目条件可知．
由可得，
可得，同理可得，即．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知的重心为，过的直线分别交线段，于点，（点，不重合），若，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】在中，因为是的重心，所以，
，，三点共线，所以（，），
，
当且仅当，时取得最小值，所以最小值为．
19．（2022·全国·高三专题练习）我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，，
因为，
则，所以，，
所以，，可得，
因为，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故答案为：.
20．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________.
【答案】
【解析】由题意可知，为的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,
因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，
则 得②，
①②联立解得，，
所以.
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