新高考数学二轮专题重难点突破训练16 奔驰定理与四心问题（五大题型）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc171859228" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc171859228 \h 2
\l "_Tc171859229" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc171859229 \h 3
\l "_Tc171859230" 题型一：奔驰定理 PAGEREF _Tc171859230 \h 3
\l "_Tc171859231" 题型二：重心定理 PAGEREF _Tc171859231 \h 5
\l "_Tc171859232" 题型三：内心定理 PAGEREF _Tc171859232 \h 6
\l "_Tc171859233" 题型四：外心定理 PAGEREF _Tc171859233 \h 6
\l "_Tc171859234" 题型五：垂心定理 PAGEREF _Tc171859234 \h 7
\l "_Tc171859235" 03 过关测试 PAGEREF _Tc171859235 \h 8
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
技巧三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．
题型一：奔驰定理
【典例1-1】已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【典例1-2】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．2
【变式1-1】设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A．B．18C．16D．9
【变式1-2】设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A．B．C．D．
【变式1-3】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
【变式1-4】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
题型二：重心定理
【典例2-1】已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心）
【典例2-2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．

【变式2-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形中，为的重心，，则 ．
【变式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为 .
【变式2-3】在 中，角 所对的边分别为，已知 ，设 分别是的外心和重心，则 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-4】（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
题型三：内心定理
【典例3-1】已知为的内心，，且满足，则的最大值为 .
【典例3-2】在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ．
【变式3-1】已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则＝ ．
【变式3-2】（2024·高三·山东聊城·期中）已知是的内心，，，，则 ．
【变式3-3】已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是 .
题型四：外心定理
【典例4-1】已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【典例4-2】为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
【变式4-3】已知O为的外心，，则（ ）
A．8B．10C．12D．1
【变式4-4】在中，，O是的外心，则的最大值为
【变式4-5】已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 ．
【变式4-6】在中，，，为的外心，，，分别为，，的中点，且，则 .
题型五：垂心定理
【典例5-1】已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
【典例5-2】若是的垂心，且，则的值为 ．
【变式5-1】在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则 ．
【变式5-2】已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【变式5-3】已知在中，，点为的垂心，则= ．
1．已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
3．已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ）
A．重心，外心，内心B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
4．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．内心B．垂心C．重心D．边的中点
6．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A．B．C．2D．
7．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
8．已知的重心为，则向量（ ）
A．B．
C．D．
9．已知的重心为O，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心B．点为的外心
C．D．为等边三角形
11．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
12．在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
13．（多选题）（2024·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
14．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ）
A．B．
C．的面积的最大值为D．的最小值为
15．（多选题）（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线B．
C．D．点在的内部
16．（多选题）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为的内心
C．若为的重心，是边上的中线，则
D．若，则
17．（多选题）点O为所在平面内一点，则（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的内心
C．若，则点O为的垂心
D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
18．（多选题）已知，在所在的平面内，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为的外心
B．为的垂心
C．为的内心
D．为的重心
19．（多选题）在中，角的对边分别为，为的外心，则（ ）
A．若有两个解，则
B．的取值范围为
C．的最大值为9
D．若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
20．设M为内一点，且，则与的面积之比为 ．
21．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
22．我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为 .
23．已知点为内一点，，则的面积之比为 ．
24．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ．
①若为的垂心，．则
②若为边长为2的正三角形，则的最小值为
③若，则动点的轨迹经的外心
④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
25．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
26．点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
27．（2024·浙江宁波·模拟预测）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则 .
28．设H是的垂心，且，则 ．
29．在中，，，为的垂心，且满足，则 .
30．（2024·全国·模拟预测）已知的外心、垂心分别为，，，则 .