专题25 奔驰定理与三角形的四心-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

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专题25   奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.   说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：（1）是的重心.（2）是的内心.（3）是的外心.（4）是的垂心.3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．【典型例题】例1     为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（    ）A．   B． C． D．【答案】【解析一】由，，，，    如图设，即是的重心，同理可得，，所以．故选：．【解析二】由，，，，由奔驰定理得：．故选：．例2   在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=b=4，c=6，I是△ABC中内切圆的圆心，若，则．【答案】【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）易求得，而，所以另一方面，对上式两边同时作数量积得：，易知，，所以，所以.【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为整理为：由奔驰定理得解之得.点评：    解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例3     已知是的重心，且满足，则 =           .【答案】【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵是的重心，∴∴∴由正弦定理，由余弦定理，∵，∴ .例4    设H是△ABC的垂心，若，则的值为（    ）A．        B．      C．          D．【答案】D【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得设，，由代入得，解之得所以又因为，所以.例5    已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（    ）A.                        B. 直线必过边中点C.        D. 若，且，则【答案】ACD【解析】对于A，插入点A，，所以；对于B，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；对于C，由奔驰定理知；对于D，由得，两边平方得.例6   在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为         .【答案】【解析】∵∴，即∵，∴，∵，∴，对两边同时点乘得：∵，∴，即由正弦定理知∴.
【巩固练习】1.已知P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心2.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的(　　)A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心3．点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为(　　)A．2∶1  B．3∶2  C．3∶1  D．5∶34．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)A.，      B.，         C.，        D.，5.设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若则（    ）A．        B．      C．          D．6.已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（    ）A． B． C．2 D．37.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=5，b=12，c=13，I是△ABC内切圆的圆心，若，则=________．8.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5， I是△ABC内切圆的圆心，若，则=________．9.已知是锐角的外接圆圆心，，则实数的值为__________．10.已知是所在平面内一点，且满足，则=          .【答案与提示】1.【答案】　D【解析】　由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P是△ABC的垂心.2.【答案】C【解析】　设BC的中点为M，则＝，则有＝＋λ，即＝λ.∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.3.【答案】　C【解析】　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.4.【答案】　A【解析】　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋，故选A.5.【答案】A【分析】根据奔驰定理的内心恒等式，利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值，进而得解.【解析】O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a则，所以，所以，所以.又，所以，，所以.6.【答案】C【解析】由奔驰定理得，解之得，选C．7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】