2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 专题01 比例线段（教师版）

专题01比例线段

一、单选题

1．已知、、、是比例线段．，，．那么等于（    ）

A．9 B．4 C．1 D．12

【答案】B

【解析】

根据比例线段的定义得到∴a：b=c：d，即2：3=c：6，然后利用比例性质求c．解：∵a、b、c、d是比例线段，
∴a：b=c：d，即2：3=c：6，
∴3c=12，解得c=4．
故选：B．

【点睛】

本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

2．下列各组线段（单位：）中，是成比例线段的是（    ）

A．3，5，7，9 B．2，5，6，8 C．1，3，4，7 D．3，6，9，18

【答案】D

【解析】

先把各组线段从小到大排序，然后看看第一个数和第四个数的积是否等于第二个数和第三个数的积，若相等，则可成比例，否则不可成比例．解：∵3×9≠5×7，∴A不符合题意；

∵2×8≠5×6，∴B符合题意；

∵1×7≠3×4，∴C符合题意；

∵3×18=6×9=54，∴D符合题意，

故选D．

【点睛】

本题考查线段成比例的应用，正确理解线段成比例的意义并灵活运用比例的基本性质是解题关键．

3．如图，在中，，，，，则的长为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】D

【解析】

根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6；
故选：D．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．

4．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

根据黄金分割的定义可得，进而可得答案．解：∵点是线段的黄金分割点（），

∴，

∴选项C是正确的．

故选：C．

【点睛】

本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识是解题的关键．

5．如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（　　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出错误的选项．∵l1∥l2∥l3，

∴，，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．

6．如图，，直线交、、于点、、，直线交、、于点、、，若，，，则的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】

先由，得=，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．因为，所以=，

由，，，得=

所以EF==6．    

故答案为：D．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．

7．若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

根据x，y比例关系可用x表示y然后代入式子计算即可．解：

，

故选A．

【点睛】

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

8．如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，，那么等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，首先运用平行线的性质证明，这是解决问题的关键性结论；再次运用平行线的性质证明，即可解决问题．解：，

，

，

，

．

故选：A

【点睛】

该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；牢固掌握平行线的性质是灵活运用、解题的基础和关键．

9．已知线段的长度分别为，如果线段和已知的三个线段是成比例线段，那么线段的长度不可能等于（   ）

A．6 B． C． D．

【答案】D

【解析】

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，则可分情况进行求解即可．解：由题意得：

或或，

∵，

∴或或，

解得：或或，

故选D．

【点睛】

本题主要考查比例线段，熟练掌握成比例线段的性质是解题的关键．

10．有以下命题：

①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；

②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB．BC的比例中项；

③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；

④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．

其中正确的判断有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】

根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可．①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有，说法正确；

②如果点C是线段AB的中点，≠，故AC不是AB．BC的比例中项，说法错误；

③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确；

④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=×2=-1，说法正确；

综上可得：①③④正确，共3个．

故选：C．

【点睛】

本题考查了成比例的线段，以及黄金分割的知识，解答本题的关键是掌握黄金分割的定义，注意黄金分割分得的较长边的长=×原线段长度．

11．如图，直线，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线上，且∠ACB=90°，AC交与点D，若的距离为1，的距离为4，则AD的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

过点A作直线 的垂线，垂足为E,交 于H, 过点B作直线 的垂线,垂足为F，证明，得到EC、BF、AC的长度，再根据，得到，便可计算AD．解：过点A作直线 的垂线，垂足为E,交 于H, 过点B作直线 的垂线,垂足为F,如图所示：

∵的距离为1，的距离为4

∴AE=4  AH=1   ED=BE=3

又∵Rt△ABC   ∠ACB=90°°

∴° °

∴

又 AC=BC  °

∴

∴EC=BF=3

∴AC=

又∵

∴

∴AD=

【点睛】

本题考查了构造三角形全等，等腰三角形性质，利用三角形全等的性质，计算相关线段的长度，同时也考查了平行线分线段成比例，掌握这些知识点，再题目中合理的运算才是关键．

12．△ABC与△DBC如图放置，已知，∠ABC＝∠BDC＝90°，∠A＝60°，BD＝CD＝2，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C边恰好经过点D，则平移的距离是（    ）

A．1 B．2﹣2 C．2﹣2 D．2﹣4

【答案】C

【解析】

过点D作DJ⊥BC于J，根据勾股定理求出BC，利用等腰直角三角形的性质求出DJ、BJ、JC，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题．解：过点D作DJ⊥BC于J．

∵DB＝DC＝2，∠BDC＝90°，

∴BC＝＝4，DJ＝BJ＝JC＝2，

∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，

∴∠ACB＝30°，

∴AC=2AB，

∵AB2+42=(2AB)2，

∴A′B′=AB＝，

∵DJ//A′B′，

∴＝，

∴＝，

∴C′J＝2，

∴JB′＝4﹣2，

∴BB′＝2﹣(4﹣2)＝2﹣2.

故选：C．

【点睛】

本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及平行线分线段成比例定理．

二、填空题

13．若， 则的值为______．

【答案】或2

【解析】

根据等式的性质，可得2（a+b+c）=k（a+b+c），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．解：由,得
b+c=ak　①，a+c=bk　②，a+b=ck　③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当时，，

，

∴或2．

故答案为：或2．

【点睛】

本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c）=k（a+b+c）是解题关键，又利用了分式的性质．

14．已知线段a=9cm、b=4cm，那么线段a、b的比例中项c=__________cm．

【答案】6

【解析】

根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2=4×9，x=±6，（线段是正数，负值舍去），
故答案为：6．

【点睛】

此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．

15．的三边长分别是，，，且，则是______三角形．

【答案】直角

【解析】

根据比例的性质变形，用含c的代数式表示出a、b，然后根据勾股定理逆定理判断即可．解：∵，

∴，，，

∴，①，

，②，

，③，

①②，解得，④，

②③，解得，

∵，

且，

∴是直角三角形．

故答案为：直角．

【点睛】

本题考查了比例的性质，勾股定理逆定理，用含c的代数式表示出a、b是解答本题的关键．

16．在比例尺为1：40000的地图上，若某条道路长为5cm，则它的实际距离为__km．

【答案】2

【解析】

用图上距离乘以40000，得到实际距离，再换算单位．解：．

故答案是：2．

【点睛】

本题考查比例尺，解题的关键是掌握利用比例尺计算实际距离的方法，需要注意单位的换算．

17．如图，在中，是边上的一点，为的中点，联结并延长交于点，则__________

【答案】1：9

【解析】

过D做DM∥AC，得出△AEG≌△DMG，进而得出EG=MG，再根据平行线分线段成比例定理即可得出BG与EG关系，从而得出1:9．过D做DM∥AC，

∴∠EAG=∠MDG，∠AEG=∠DMG

∵G为AD的中点

∴AG=DG

∴△AEG≌△D MG

∴EG=MG，

∵BD:DC=4:1

∴BM:EM=BD:DC=4:1

∴BM=4EM=8EG

∴BG=9EG

∴EG: BG =1:9

故答案是1:9

【点睛】

本题主要考察了全等三角形和平行线成比例定理等知识点，根据已知条件做出合适的辅助线是解题关键．

18．已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈_____cm．

【答案】6.18

【解析】

根据黄金分割点的定义，知AP为较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的值．解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，

且AP＞BP，AP为较长线段；

则AP=10×=5()≈6.18(cm)．

故答案为：6.18．

【点睛】

本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB．

19．如图，中，、在边上，、在边上，，且，若，则的长为_______．

【答案】

【解析】

根据平行线分线段成比例得到，再利用比例的性质由得，则，然后把AG=15代入计算即可．解：∵DE//FG//BC，

∴，

而

∴，

∴，

∴EC=9，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查了据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

20．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________    

【答案】5

【解析】

根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论．解：∵CD是∠ACB的平分线，

∴

∴

∴，即①；

∵CE是∠ACB的外角平分线，

∴

∴，即②；

①+②，得．

故答案为：5．

【点睛】

此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键．

21．，，，，，满足关系：，则代数式的值是______．

【答案】

【解析】

根据等比性质求解求解即可．∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查等比性质，掌握并应用等比性质是解题的关键．

22．如图，在中，．若进行以下操作，在边上从左到右依次取点，过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点，则________．

【答案】40400

【解析】

由平行线性质到，再相加得到，再根据题意类推问题可解．解：

∴

以此类推，4D2E2+5D2F2=20，…，4D2020E2020+5D2020F2020=20，

4(D1E1 + D2E2 +…+ D2020E2020)+5(D1F1 + D2F2 +…+ D2020F2020)=

故答案为：40400．

【点睛】

本题考查平行线的性质以及比例式的探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1=20是解题的关键．

三、解答题

23．已知a：b：c＝2：3：5，如果3a－b+c＝24，求a，b，c的值．

【答案】a＝6，b＝9，c＝15

【解析】

先设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=24，即可求得a、b、c的值．设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0），则
6k-3k+5k=24，
解得k=3．
则a=2k=6，
b=3k=9，
c=5k=15．

【点睛】

本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．

24．如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N，

求证：＝．

【答案】见解析

【解析】

由DN∥AF可得：，，结合FB＝FC即可证明．证明：∵直线DN∥AF，

∴＝，＝，

∵在△ABC中，AF是BC边上的中线，

∴FB＝FC，

∴＝．

【点睛】

根据平行线分线段成比例定理和三角形中线的定义，熟练应用平行线分线段成比例是解答本题的关键.

25．如图，点、分别在的边、上，.

（1）若，，求；

（2）若，，求.（用，表示）

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）首先设，然后根据三角形的性质同高的三角形面积比等于底的比，和三角形平行线定理得出，列出分式方程，解得即可；

（2）首先设，由（1）中的面积比等式列出等式，求出，然后即可求出.（1）设，

根据题意可得，，

，

，

，，

，

解得：（舍），，

；

（2）由（1）知.

设，

∵，，

，

解得，

.

【点睛】

此题主要考查三角形平行线的性质，解题关键是根据比例关系列出等式.

26．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．

（1）若BD=20，求BG的长；

（2）求的值．

【答案】(1)8;(2)

【解析】

（1）由GF∥BC，可证，结合，整理可求出的值；

（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∥CD，AB=CD，从而，整理可求出，根据比例的性质可求出的值.(1)    ∵GF∥BC，

∴，

∵BD=20，，

∴ ；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴，

∴，

∴，

∴.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

27．如图，在中，是的中点，是边延长线上的点，连结交于点．求证：．

【答案】见解析

【解析】

过点作交于，根据平行线分线段成比例定理和中点的性质得到，，利用等量代换得到答案．证明：过点作交于，

∴，

∵是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

28．梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心．

（1）求证：G1G2//AD；

（2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF．易得EF为的中位线，故EF//AD，根据重心的性质可得，即//，即可得证；

（2）根据点P为黄金分割点，可得，再根据中位线的性质即可求解．（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF．

因为、为三角形AOB和三角形COD的重心，

所以点E、F为AO、DO的中点，

所以EF为的中位线，

所以EF//AD，

又因为，

所以//，

所以//．

（2）

因为点P为黄金分割点，

所以，

又因为RQ是中位线，

所以RQ//BC，，

因为AD//PQ，

所以，

所以．

【点睛】

本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键．