数学九年级上册第四章 图形的相似1 成比例线段课后复习题

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【知识点一】两条线段的比
如果选用同一长度单位的两条线段a、b长分别是m和n，就说这两条线段的比是a:b=m:na或写成和数的比一样，两条线段的比 a:b中a叫比的前项，b叫比的后项.
【要点说明】
若a:b=k，则说明a是b的k倍，由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数；
求经时两条线段的长度单位要一致；
经例尺就是图上长度与实际长度的比.
【知识点二】比例线段
比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
即：已知四条线段a、b、c、d，如果那么a、b、c、d叫做组成比例线段的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项.
2.比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a：b=b：c或那么线段b叫做线段a、c的比例中项.
【要点说明】
已知四条线段a、b、c、d成比例，要注意位置不能随意颠倒.
【知识点三】比例的基本性质
1.比例的基本性质：如果；如果ad=bc，那么
2.推论
（1）,
（2）;
（3）合比性质：;
（4）等比性质：;
【知识点四】黄金分割
黄金分割：如图，将一条线段AB分割成长短两条线段AP、BP(AP>BP),若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比,即,（此时线段AP是线段PB，AB的比例中项)，经计算，这一比值等于则称这种分割叫黄金分割，点P
点P叫做线段AB的黄金分割点，称为黄金分割比，特别注意一条线段的黄金分割点有两个.

【要点说明】
1黄金三角形：在等腰三角形中，底和腰（或腰和底）之比为的等腰三角形称为黄金三角形；
2.黄金矩形：在矩形中，宽和长之比为 的矩形称为黄金矩形。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】线段之比
【例1】（21-22九年级上·全国·课后作业）在中，；在中，，求与之比，与之比．
【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（ ）
A．B．500:1C．1:50D．50:1
【变式2】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若 ，则 ．
【题型2】成比例线段
【例2】（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？
【变式1】（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4；B．1、2、4、8；
C．2、3、4、5；D．5、10、15、20．
【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 .
【题型3】比例中项
【例3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且．
（1）求a，b的值；
（2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值．
【变式1】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知线段， 当时，则的比例中项等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 .
【题型4】黄金分割
【例4】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长．
【变式1】（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（ ）
A．B．是和的比例中项
C．D．
【变式2】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），这种分割称为黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．如图，若设线段，点是的黄金分割点，则的长为 （用含根号的式子表示）．
【题型5】比例基本性质
【例5】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知、、是的三边长，且．
（1）求的值．
（2）若的周长为，求各边的长．
【变式1】（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）已知，那么下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到．参考数据：，，）

A．B．C．D．
【例2】（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

2、拓展延伸
【例】（（2022九年级上·浙江·专题练习）如图1，点在线段上的黄金分割点，且.
（1）设，
①求的长；
填空：设，则
点在线段上的黄金分割点，且，
，可列方程为 ，
解得方程的根为 ，于是，的长为 .
②在线段（如图上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若、为正实数，是关于的方程的一正实数根，
①求证：；
②若两条线段的长分别为、（如图，请画出一条长为的线段（保留作图痕迹，不写作法）.