新高考数学二轮复习小题综合练习压轴专题04 三角函数与解三角形综合问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，
，令，解得：；或要满足②，，
令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C
【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.
2．（2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.
【详解】函数，向右平移个单位长度，得，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，
令，
得，
所以，
若函数在上没有零点，
则需，
所以，
所以，
若函数在上有零点，
则，
当k=0时，得，解得，
当k=1时，得，解得，
综上：函数在上有零点时，或，
所以函数在上没有零点，.
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.
3．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角形边角关系，将转化为关于边的方程，解得边，进而由三角形的面积公式，直接求出面积即可.
【详解】
如图，过作,交的延长线于，因为，则,，，
所以
又因为
所以，即，解得：或（舍）
所以.
故选：B.
4．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，，所以，，
又因为函数在内单调递增，所以，，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
，
因为，则，
因为存在最大值，则，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函数化为的形式求最值；
③利用和的关系转换成二次函数求最值；
④形如或转换成二次函数求最值.
5．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】 ，
, 函数 在区间内没有零点
(1) ，则 ，则 ，取 ， ；
（2），则 ，解得： ，取 ， ；
综上可知： 的取值范围是，选.
【点睛】有关函数求的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准型，函数 在区间内没有零点，根据的范围求出的范围，使其在或在内，恰好函数无零点，求出的范围.
6．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知函数，若对于任意的实数恒有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可将题目转化为，即，显然，运用参数分离和二倍角公式可得，求出右边函数的范围，即可得解.
【详解】对于任意的实数恒有，即，
即，显然，
当时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑的情况即可，
当时，，即
由，则，则题目转化为，
令，求导，
故函数在上单调递减，，即，
，即，所以，解得
所以实数的取值范围是
故选：A
7．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数的最大值为（ ）.
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用三角函数的平方关系将转化为点到点的距离之差，再利用三角形两边之差小于第三边，结合三角函数的值域即可求得结果.
【详解】因为，
所以，
故的最大值转化为点到与的距离之差的最大值，
因为，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，则，
经检验，此时，，
所以，即的最大值为.
故选：D.
9．（2023·浙江杭州·统考二模）已知满足，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.
【详解】满足，，
，即，
，
在上单调，
，即，
当时最大，最大值为，
故选：B.
10．（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是B．的图象关于直线对称
C．在上有4个极值点D．在上单调递减
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数周期性、对称性定义判断A，B；求导并探讨导数在上的正负情况判断C；探讨函数在上单调性判断D作答.
【详解】函数，
对于A，，
即不是的周期，A不正确；
对于B，因为，而，
显然函数图象上的点关于直线的对称点不在的图象上，B不正确；
对于C，当或时，，，
此时或，当或，
即或时，函数取得最值，因此在或取极值，
当时，，，此时，
当或，即或时，函数取得最值，因此在或取极值，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又函数是定义域R上的连续函数，则是函数的一个极小值点，
所以函数在上的极值点至少有5个，C不正确；
对于D，因为，则是函数的一个周期，
当时，，由选项C知函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确.
故选：D
11．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用导数证明不等式当时，，进而得，再讨论与的关系即可判断.
【详解】解：令，，则在上恒成立，
所以，函数在上单调递减，
所以，当时，，即，；
令，，则，
所以，函数在上单调递减，
所以，当时，，即，，
所以，当时，
所以，，
因为，
所以
所以，，即
，即
所以，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用时，，结合二倍角公式，比较与的关系判断.
12．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）下列条件中，不能使为函数的有（ ）
，定义域为；
，定义域为；
，定义域为；
，定义域为.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用反例可判断前两个对应是否为函数，利用换元法可判断后两者是否为函数.
【详解】解：对于A选项，当时，，即，
当时，，即，
所以不能为函数；
对于B选项，当时，，即；
当时，，即，
所以不能为函数；
对于C选项，令，
因为为增函数，故其值域为，
又对任意的，由为增函数可得存在唯一的，
使得和对应，故为关于的函数，记该函数为，其中，
故，其中，
故，其中，故是函数；
对于D选项，设，
则，
当时，有，故，
且，故，故，
故，故，
故为增函数，其值域为，
对任意的，
由为增函数可得存在唯一的，
使得与对应，故可得为的函数，
记该函数为，其中，
则，其中，
故，，
故是函数.
故选：B.
【点睛】思路点睛：判断一个对应是否为函数，主要依据函数的定义来判断，另外，求函数的解析式，注意利用换元法来处理.
二、多选题
13．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A正确；
显然，当时，，因此单调递增，B正确；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C错误；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
14．（2023秋·浙江杭州·高三期末）若函数在区间上单调递增，则（ ）
A．存在，使得函数为奇函数
B．函数的最大值为
C．的取值范围为
D．存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】对A选项，计算，得到其与的关系即可判断，对B选项，根据正弦函数的值域即可求出的最大值，对C选项，根据在区间上单调递增，得到不等式组，解出即可，对D选项，令，解出，再结合C选项范围则可得到的值.
【详解】解：，定义域为，
不恒成立，
则不存在，使得函数为奇函数，故A错误;
由，得，则的最大值为，故B正确;
由于在区间上单调递增，故,
解第一个不等式得，,故，解二式得，故，
又，所以，故C正确;
令，，解得，，
由知的取值为，，，，共4个值，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D选项的判断，根据的某个单调增区间，则其整体应该在，即应该是后者的子集，再结合，从而得到关键的不等式组，解出范围，而D选项我们采取代入法，将代入则内部整体应等于对称轴通项即，再结合范围，则得到所有取值.
15．（2023·辽宁沈阳·统考一模）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的为（ ）
A．在上是增函数
B．的最小正周期为
C．的最大值为
D．若，则．
【答案】ACD
【分析】由在上单调性判断A；根据周期的定义判断B；借助导数求出f(x)在周期长的区间上的最大值判断C；由f(x)在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.
【详解】对A：∵，则，可得在上是增函数，
∴在上是增函数，A正确；
对B：∵，
∴的最小正周期不是，B错误；
对C：，则为奇函数，
的最小正周期分别为，故的最小正周期为
∵，
当时，令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，则在上的最大值为，
由为奇函数可得：在上的最小值为，
由周期函数可得：的最大值为，最小值为，C正确；
对D：若，不妨设为最大值点，为最小值点，
则，故，
可得当时，取到最小值，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：根据正弦函数的周期性和奇偶性分析的周期性和奇偶性，这与我们在处理问题时，只需分析在上单调性和最值即可.
16．（2023秋·河北衡水·高三校考阶段练习）已知是的导函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象
B．与的图象关于直线对称
C．与有相同的最大值
D．当时，与都在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误，根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D选项的正误.
【详解】，.
将的图像向右平移个单位得的图像，故A选项正确；
已知的图像与的图像关于直线对称，
，故B选项错误；
，其中，最大值为，
，其中，最大值为，故C选项正确；
当时，，，
当时，在上单调递增，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.
故选：AC
17．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数，其中、.则下列说法中正确的有（ ）.
A．的最小值为
B．的最大值为
C．方程在上有三个解
D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】根据题意，可得，由，求解出的取值范围，根据对应范围内的函数解析式，即可求出的最值，进而判断A、B选项；令，分和两种情况解方程，即可判断C选项；取，求出此时函数的单调区间，即可判断函数在上的单调性，从而判断在上的单调性，进而判断D选项.
【详解】，
即，其中，，.
由，即，，
所以当时，，
即，，
所以当，即时，，
当，即时， ；
当时，，
即，，
所以当，即时，，
由于，所以无最小值.
综上所述，的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
由，所以当时，，
即，
即或， ，
所以或，.
当时，，
即，
即或， ，
所以，，
综上所述，方程在上有三个解，故C正确；
取时，，
令，即；
令，即；
由于，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在上有增有减，则在上有增有减，故D错误.
故选：BC.
18．（2023秋·山东济南·高三统考期中）在中，内角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若面积为1，则三条高乘积平方的最大值为
D．若为边上一点，且，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】对于A，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数值即可得到；
对于B，利用余弦定理得到，将代入解得，从而得到，由此得证；
对于C，利用三角形面积公式得到，从而得到，利用基本不等式易知当时，式子取得最大值，由此得证；
对于D，利用向量的线性运算及数量积运算得到，从而利用基本不等式“1”的妙用即可证得.
【详解】对于A，因为，所以，
则由正弦定理得，
则，
因为，所以，故，
又，所以，故A错误；
对于B，由余弦定理得，
因为，即，代入上式得，
整理得，解得或（舍去），则，
所以，故B正确；
对于C，设边上的高分别是，
则由三角形面积公式易得，则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
此时，得，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
可得，
整理得，故，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，即的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
19．（2023秋·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．是函数的一个零点B．函数的图象关于直线对称
C．方程在上有三个解D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】先由周期范围及为正整数求得，再由平移后关于原点对称求得，从而得到，
对于AB，将与代入检验即可；
对于C，利用换元法得到在内只有两个解，从而可以判断；
对于D，利用整体法及的单调性即可判断.
【详解】因为，，所以，解得，
又为正整数，所以，所以，
所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，
（点拨：函数的图象经过平移变换得到的图象时，不是平移个单位长度，而是平移个单位长度），
由题意知，函数的图象关于原点对称，故，即，
又，所以，，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于A，令，因为，所以，
显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故C错误；
对于A，当时，，
因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变，纵变A”在解题中的应用.
三、填空题
20．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在中，，则的面积最大值为____________．
【答案】3
【分析】先由正弦定理得到，再建立平面直角坐标系求得点C的轨迹，从而得到的面积关于的解析式，利用函数的单调性即可求得的面积最大值.
【详解】因为，所以由正弦定理得，即，
以线段所在直线为x轴，以的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，
由得，
因为，所以整理得，
由此可知点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以当点C在圆上运动时，点C到x轴的最大距离为半径，
所以的面积在上单调递减，
所以．
故答案为：.
21．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求得，再根据题意推得的关系式，结合的范围，即可求得答案.
【详解】因为为奇函数，
故，
即，由于,故，则，
由于，故，所以，
由，可得，
即
或，
对任意，存在，满足，
故，则,，，k取负值，
则只能，此时，
或，则，则,
综合可得或，
即实数的取值范围是，
故答案为：
22．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于__________（写出一个值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先求出与x轴的所有交点，再结合题意得到恒成立，整理得，分类讨论，与三种情况，结合恒成立可得到，从而得解.
【详解】因为，
令，即，得，即，则图象与x轴的所有交点为，
因为其中点离原点最近，所以恒成立，
不等式两边平方整理得，
当时，，因为，故恒成立；
当时，，即恒成立，因为，则，故；
当，即时，显然上述不等式恒成立，
综上，由于上述分类情况要同时成立，故，所以可以等于.
故答案为：（答案不唯一）.
23．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）函数在上的值域为，则的值为______．
【答案】##2.5
【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及求出，分类讨论求出，即可求解.
【详解】因为，，
所以当且仅当且时，
所以,
又，所以
所以，易知在上单调递减，在单调递增，
所以当时，，不满足题意；
当时，因为，所以，
注意到，且在单调递增，
所以，所以
故答案为：.
【点睛】利用三角函数求值的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件选择合适的公式进行化简计算；
（3）合理地利用函数图像和性质.
24．（2022·重庆·校联考二模）点M在△ABC内部，满足，则____________．
【答案】##3:4
【分析】分别延长至至至，使，，连接.根据已知条件可得点是的重心，根据重心性质可知，再根据三角形面积公式、及边长倍数关系可得各需求的三角形面积之间的比例关系.
【详解】如图，分别延长至至至，使，，连接.
由，得，
∴点是的重心，
延长EM交DF于G，则MG＝EG，
过M作MH⊥DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝EI，
故，同理可证，
∴，
设，
设，
则
，
同理，
∴：.
故答案为：3:4.
25．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】由题可得，将用含的式子表示，然后根据角的范围，求的取值范围.
【详解】∵，
∴，即，
∵又，且都为锐角，故，，
因为锐角三角形，所以
所以
所以所以，
又因为
所以
所以，解得或(舍去)
故.
故答案为：.
26．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案.
【详解】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
27．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】结合函数的奇偶性，化简后画出函数在上的图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】当时，，故为偶函数，当时，，画出在上的图象如图所示，
要想保证方程在上有三个不同的实根，则，
故答案为：
28．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）若关于x的方程恰有三个解，则______.
【答案】
【分析】将方程恰有三个解转化为函数与有且仅有三个不同的交点，再利用当与相切时及诱导公式即可求解.
【详解】方程有且仅有三个不同实根，等价于与有且仅有三个不同的交点，
而恒过，且，即也过，
①、部分图象如下：直线与曲线相切，恰好有3个交点，且，
则，消，得，
由诱导公式，得，即；
②如下图，在两虚线之间时恰好有3个交点，且，但此时不合题设；
综上，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将方程恰有三个解转化为函数与有且仅有三个不同的交点，再利用当与相切时即可求解.
29．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知函数，若对任意实数，恒有，则____．
【答案】
【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到．
【详解】
对任意实数，恒有
则
即，
【点睛】本题的关键在于 “变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式．
30．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据函数图像平移变换，写出函数的解析式，再由函数 在区间上单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
函数在区间上单调递增，
所以，即，解得，①
又，
所以，解得，②
由①②可得，
故答案为: .