新高考数学二轮复习三模试题分类汇编练习专题02 函数概念与基本初等函数（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习三模试题分类汇编练习专题02 函数概念与基本初等函数（2份，原卷版+解析版），共7页。
题型02 函数单调性及其应用
题型03 函数奇偶性等性质的综合应用
题型04 抽象函数问题
题型05 分段函数问题
题型01
函数的图象及其应用
1．（2025·河南省焦作市·三模）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的部分图象可得为偶函数，结合和函数值正负，利用排除法得解.
【详解】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B，又，排除A，当时，，排除D.故选：C．
2．（2025·四川省成都市·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数为奇函数，且时，可得解.
【详解】根据题意，函数定义域为，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，又时，，所以，且恒成立，则，所以只有D满足.故选：D
3．（2025年天津市滨海新区三模）函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性排除A、B，再由，即可得出选项.
【详解】，，
所以函数为奇函数，故排除A、B；当时，，故D正确；故选：D
4．（2025·重庆市·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（ ）
A．关于对称B．关于对称
C．关于对称D．关于对称
【答案】B
【分析】由题意得，求导得，即可求解.
【详解】因为是奇函数，所以，即，对其求导，则有，所以关于直线对称.故选：B
5．（2025·四川省攀枝花·三模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数图象与自然对数图象，通过数形结合来研究方程的解，即可得到判断.
【详解】
构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，
构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，
构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，但与作比较可得：综上可知：，故选：A.
题型02
函数单调性及其应用
1．（2025年河北石家庄三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依据，，的单调性比较与0，1的大小关系即可.
【详解】因为单调递增，所以，因为单调递增，所以，因为单调递减，所以，且所以，故选：D.
2．（2025·河南省焦作市·三模）已知且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得A项中的和C项中的的值无法确定，
对于B，，对于D，．故选：D
3．（2025年天津市滨海新区三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解.
【详解】由题意.
故选：A.
4．（2025·安徽省安庆市·三模）已知函数满足，当时，，则（ ）
A．2B．4C．8D．18
【答案】C
【分析】根据，结合对数运算性质，将转化到里面计算即可.
【详解】因为，所以．因为，所以．故选：C.
5．（2025·四川省成都市·三模）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知得，即有同号或，结合不等式的性质判断各项的正误.
【详解】两边取对得，则且，即同号或，
所以，当时，不成立，A错；由，B对；
由，若时，，C错；由，且，
当时，，此时，D错.故选：B
6．（2025·山东省枣庄市·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.
【详解】是由与复合而成，在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为.二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增，则对称轴需满足，解得.故选：A.
题型03
函数奇偶性等性质的综合应用
1．（2025·四川省凉山州·三模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二次函数的图象与性质，得到，即可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，当时，，由，，因为，所以函数在上为单调递增函数，结合二次函数的图象与性质，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.
2．（2025年广州市天河区三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解.
【详解】∵，∴.∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，∴，，∴，
∴，.
∴.
3．（2025年河北石家庄三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可.
【详解】构造函数，其中，则，故函数为偶函数，当、且时，都有成立，不妨设，则，即，故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，因为，则，当时，由得，即，解得；当时，由得，即，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：B.
4．（2025年山西省吕梁市三模）已知函数有三个零点，则三个零点之和为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】通过换元法将函数转化为关于新变量的方程，再求解新变量，进而得到原函数的零点，最后求出三个零点之和.
【详解】令，则，函数可转化为.因为函数有三个零点，所以函数也有三个零点. 是偶函数，其图象关于轴对称.因为有三个零点，根据偶函数的性质可知，必有一个零点为.将代入中，可得，即，因式分解得.因为，所以，解得. 当时，.当时，，令，即，因式分解得，解得或.因为是偶函数，所以当时，，令，即，因式分解得，解得或.所以的三个零点为，，. 因为，，所以当时，；当时，；当时，.即的三个零点为，，. 三个零点之和为. 故选：D.
5．（2025·湖南省永州市·三模）已知函数是偶函数，则 .
【答案】
【分析】根据题意，得到，得出恒成立，进而求得的值，得到答案.
【详解】因为函数是偶函数，且定义域为，可得，即，所以，即恒成立，所以且，解得.
题型04
抽象函数问题
1．（2025年江西省萍乡市三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（ ）
A．675B．1350C．2025D．4050
【答案】D
【分析】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求.
【详解】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是.故选：D.
2．（多选）（2025年山西省吕梁市三模）已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．的解集为D．
【答案】ACD
【分析】赋值可确定A，令可得知函数关于对称，不是偶函数，通过变换，可证明函数单调性，再利用函数的单调性解不等式，由可求D.
【详解】对A，令，，故A正确；对B，令，，故函数关于对称，不是偶函数，故B错误；对C，，所以，
即，，，，时，，故，所以，即在上单调递增，，所以，解得，故C正确；对D，，，故D正确；故选：ACD.
3．（2025·陕西省安康市·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．101C．0D．
【答案】A
【分析】由已知可得，，求导得，进而可得，累加可求得.
【详解】因为函数及其导函数为奇函数，所以，又函数为偶函数，所以，对两边求导，得，所以，又，所以，
所以，所以，所以，，，，所以，又，所以，所以，所以.故选：A.
4．（多选）（2025·四川省攀枝花·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用求导转化为，再结合是偶函数，可证明周期性，然后赋值可得，，从而可计算各选项.
【详解】由求导可得：，因为，所以，又因为是偶函数，所以，由上两式可得，又可得，又两式相减得：，所以是一个周期为的周期函数，故C错误；由可得，
又由可得，故A正确；又由可得，
因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确；
由，由，结合是一个周期为的周期函数，可得，所以，
即，故D正确；故选：ABD
5．（多选）（2025年河北石家庄三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数
C． D．
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可.
【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ，又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；对于 C，由，令，得，则，，故C正确；
对于D，由，则，又，是周期为4的函数，
则，而的值无法确定，故D错误.故选：AC.
6．（多选）（2025·河南省安阳市·三模）已知函数的定义域为R，和均为偶函数，且当时，.下列说法中正确的有（ ）
A．以2为周期
B．当时，
C．设函数在区间上的两个零点为，，则
D．函数在区间上的最大值为
【答案】AC
【分析】A选项，根据和均为偶函数，得到，所以的一个周期为2，A正确；B选项，根据奇偶性和周期性得到当时，；C选项，先得到当时，，不妨设，根据的单调性和，得到，即，化简后得到；D选项，先求出时的函数解析式，故，求导，得到其单调性，进而得到在区间上的最大值.
【详解】A选项，和均为偶函数，故，，
中，将替换为，得，故，所以的一个周期为2，A正确；
B选项，当时，，则，当时，，故，故当时，，B错误；
C选项，当时，，则，不妨设，因为在上单调递减，所以，由可得，即，所以，即，即，即，所以，即，C正确；
D选项，由C可知，当时，，当时，，又的一个周期为2，故，，
，令得或（舍去），令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故区间上的最大值为，D错误.故选：AC
7．（多选）（2025年山东省泰安市三模）定义域为R的函数满足：①，②的图象过点，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点中心对称D．
【答案】AC
【分析】令，，即可判断A；令，结合A即可判断B；令，即可判断C；由上述结论得出即可判断D．
【详解】由①，，对于A，令，，则，由②可知，所以，解得，故A正确；对于B，令，则，即，故为奇函数，故B错误；对于C，令，则，即的图象关于点中心对称，故C正确；对于D，由于且，则有，即，所以，，…，，故D错误，故选：AC．
8．（2025年四川三模）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出在时恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，所以由，可得，即．令，可得，则可知在上单调递增．
．由，可得，即，则在时恒成立，只需，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.
题型05
分段函数问题
1．（多选）（2025·湖南省郴州市·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
【答案】CD
【分析】根据分段函数解析作出图象，结合图象逐项分析判断.
【详解】的大致图象如图所示：
由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
在定义域内不单调，故B错误；若，则或，即不等式的解集为，故C正确；令，则，原题意等价于与有2个交点，则，所以的取值范围为，故D正确；故选：CD.
2．（2025年山东威海市三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为在单调递增，在单调递增，所以当时，单调递增，则，又函数的值域为，所以时，函数的值域要取到的所有实数，所以，当时，即时，函数单调递增，时，，当时，，即，所以，即的取值范围是.故选：C
3（2025·浙江省金华市义乌市·三模）狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（ ）
A．不存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，满足
D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形
【答案】D
【分析】根据狄利克雷函数的定义可知当时，恒成立，即可判断选项A；分析可知对于，当时，不成立，即可判断选项B；令，，即可判断选项C；取点，，，利用勾股定理即可即可判断选项D.
【详解】根据狄利克雷函数，可知：
当时，若，则，，所以；
若，则，，所以，
故时，恒成立，故选项A错误；
，当时，；
，当时，，所以对于，当时，不成立，故选项B错误；令，，则，此时，，不成立，故选项C错误；
取函数图象上点，，，此时，，，所以，所以是直角三角形，故选项D正确.故选：D.
3．（2025·河北省张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合条件根据单调性的定义可得函数在上单调递增，然后根据分段函数单调递增法则，结合导数法及单调性的性质研究每段的单调性，列不等式组求解即可.
【详解】，，且，都有即，
记，则由单调性的定义知，函数在上单调递增，
则需满足：在上单调递增①，在上单调递增②，
且 ③，对于①，要使在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，所以，解得；对于②，因为在上单调递增，
所以在上单调递增时，；对于③，，所以；所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：B
4．（多选）（2025·四川省绵阳市·三模）已知定义在上的函数，且，则（ ）
A．的值可以为
B．的值可以为2
C．若，则
D．若，且，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】代值检验，即可判断AB；代值计算即可判断C；结合函数的周期分析判断D.
【详解】对于A，当时，，，符合题意，故A正确；对于B，当时，，，不符合题意，故B错误；对于C，，则，即，故C正确；对于D，当时，，则函数的周期为3，,由，，要使最大，则，，因为，当时，令，取满足的最小正整数，当时，取得最大值，又，则的最大值为，故D正确.故选：ACD.
5．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数，则的值等于 ．
【答案】
【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则.故答案为：
6．（2025·山东省枣庄市·三模）已知函数则的值为 .
【答案】
【分析】由分段函数先求，再求即可.
【详解】由题意有，所以，
7．（2025·四川省成都市·三模）若函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出函数在上的值域为，则函数在上的值域为的子集，利用导数求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，所以，函数在上的值域为的子集，当时，，则，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，即函数在上的值域为，由题意可得，即，解得.因此，实数的取值范围是.