新高考数学三轮冲刺核心考点分类提升练专题01 三角函数与解三角形大题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺核心考点分类提升练专题01 三角函数与解三角形大题（2份，原卷版+解析版），共7页。

考前百日冲刺目录
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc30595" 引领风向--最新模考新颖题（5题） PAGEREF _Tc30595 \h 1
\l "_Tc7189" 最新热点热搜题（5题） PAGEREF _Tc7189 \h 7
\l "_Tc6316" 最新高频经典题（5题） PAGEREF _Tc6316 \h 13
\l "_Tc30516" 最新高考真题回顾（5题） PAGEREF _Tc30516 \h 19
\l "_Tc25888" 最新模考基础练（5题） PAGEREF _Tc25888 \h 25
\l "_Tc11138" 最新模考能力练（5题） PAGEREF _Tc11138 \h 29
\l "_Tc25051" 最新模考压轴练（5题） PAGEREF _Tc25051 \h 34
引领风向--最新模考新颖题（5题）
【典例】1．（2025·全国·模拟预测）已知为内一点，成等差数列．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项可得，设，进而根据外接圆的性质、三角恒等变换公式可得周长，即可利用余弦函数的性质求解，
（2）设，根据正弦定理及题设可得，，即可由正切的和差角公式求解.
【详解】（1）由题意可知：，
结合成等差数列，可得，
所以，
不妨设最小，且，
由于，故为的外接圆圆心，
则，
故的周长
，
故当时，此时周长最大，且最大值为，
（2）设，由，，
则，，
在直角三角形中，，
在中，由正弦定理可得，
则，整理得，
所以，
解得，所以.
【典例】2．（2025·四川眉山·一模）在中，，上存在一点，使得，为的中点.
(1)若，求的面积；
(2)若在上的投影向量为，求的大小.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据余弦定理，求得，得到，结合，即可求解；
（2）过作，得到，设，得到，再在中，由正弦定理求得，联立方程组，得到，即可求解.
【详解】（1）解：在中，，
由余弦定理得，解得：，
又因为且为上的一点，则，可得，
所以.
（2）解：因为为的中点，且在上的投影向量为，
过作，垂足为， 则为等腰三角形，所以，
设，可得，①
在中，由正弦定理得：，即，②
联立①②，可得，
因为，可得或，
解得或.

【典例】3．（2025·浙江温州·一模）△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为.
(1)写出的解析式；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，利用，，求得两边，进而可求得面积；
（2）利用三角恒等变换可求得的最小值.
【详解】（1）因为在矩形CDEF中，，，所以，
因为△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，所以，
由，可得，由，得，
所以，；
（2）由（1）知，
所以
，
因为，所以，所以，
所以时，.
【典例】4．（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.

(1)求证：；
(2)已知.
①求四边形的面积；
②若与面积相等，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明；
（2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积；
②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可
【详解】（1）由余弦定理得
在中，①
在中，②
在中，③
在中，④
由③+④-①-②得：
.
故
（2）①由（1）得，
又
可求得.
又四边形的面积为
.
②由若与面积相等，因为为公共底边，
故两个三角形上的高相等，即，所以.
设.
在中得：，即
在中得：.两式相加得：，两式相减得：，
所以，故.
故，所以.
又，所以，
由勾股定理得：.
【典例】5．（2025·江西新余·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，其中.
(1)若，求的值；
(2)当取到最大值时，求的值；
(3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由诱导公式化简得，进而利用正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解，
（2）利用余弦定理求解的最小值，根据面积公式求解，
（3）利用的定义，得，，，即可利用完全平方式求解.
【详解】（1）由可得，，
在中，由正弦定理，，
则，
又由正弦定理，得，因 ，
由余弦定理，得；
（2） 由（1）得：，则，
当取到最大值时，角必为锐角，此时取到最小值；
由余弦定理，，
当且仅当，即时取最小值，此时，
则；
（3）设，则，，，
故，，
因为，，且，
故，故；
又当，时，，即，
故实数的取值范围为.
最新热点热搜题（5题）
【典例】6．（2025·江苏·一模）在中，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，，为的中点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角.
（2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求.
法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值.
法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值.
【详解】（1）法一：因为，由余弦定理：，
得：，则，因为，所以．
法二：因为，由正弦定理得：
，，
，，
因为，所以，因为，所以．
（2）在中，由余弦定理得：，
得：，
法一：，
在中，由余弦定理得：，得：．
法二：因为，所以，
所以，
所以，解得：．
法三：因为，所以，
，所以．
【典例】7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值.
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
【典例】8．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且．
(1)证明：为中点；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得.
（2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长.
【详解】（1）设，，则，.
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：.
故为中点.
（2）如图：
过点做，交与.
则.
由（）.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，.
所以.
由
所以.
又，所以，所以.
所以.
即.
在中，根据正弦定理，可得：.
【典例】9．（2025·山东潍坊·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，是上的点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值；
（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长.
【详解】（1）因为，所以，，即，
因为，则，即，故，
由余弦定理可得.
（2）因为，则，
因为，可得，
因为，，故，，，
是上的点，且，则，，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
故.
【典例】10．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，设为三角形的角平分线，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解；
（2）利用面积方法和三角形的面积公式计算.
【详解】（1）由得,
又因为，
所以,
又因为，
所以,
又因为,
所以.
（2）因为，
所以,
又因为,
所以,
所以,
故答案为：.
最新高频经典题（5题）
【典例】11．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且．
(1)证明：；
(2)若，边上的高为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式结合二倍角的正弦定理可得出，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出所证结论成立；
（2）解法1：利用两角和的正切公式可求出的值，过作，过作，、分别为垂足，设，在中，应用勾股定理求出的值，然后在，利用勾股定理可求出的值；
解法2：利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后利用正弦定理可求出的值.
【详解】（1）因为，所以，
在中，，所以．
由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，即，
所以．
（2）因为，所以，由（1）知．
法1：因为，
所以为锐角三角形．
过作，过作，、分别为垂足，
由，设，
因为，所以，，
所以在中，，，，所以，解得，
所以在中，，即．

法2：因为，又因为，解得，．
因为，所以，所以，．
由，得，解得．
由正弦定理，得，解得．
【典例】12．（2025·湖南·二模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
解法二：直接由余弦定理化简求解即可；
（2）解法一：先由三角形的面积公式得到，再结合可得，进而求解即可；
解法二：由，结合三角形的面积公式得到，进而求解即可.
【详解】（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以.
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
.
解法二：由得
.
即，
解得，
所以.
【典例】13．（24-25高三下·河南焦作·月考）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)若在上单调递增，求c的取值范围；
(2)若，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简为的形式，再根据正弦函数的单调性可求出的取值范围，
（2）利用小问1的结论，代入计算，根据的范围求出，利用余弦定理，结合基本不等式可以得到的最大值.
【详解】（1）．
当时，，因为在上单调递增，
所以，所以，
可得c的取值范围为．
（2），，，，
是三角形内角，，所以，得，
由余弦定理：；
即
，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值．
【典例】14．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积.
（2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值.
【详解】（1）由，
得.
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
（2）因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
【典例】15．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为.
(1)求角B的大小；
(2)求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由，利用正弦定理，可得，由余弦定理求出，从而得到的值.
（2）由正弦定理得的值，将进行边化角，得到，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到的范围，从而得到△ABC周长的取值范围.
【详解】（1）∵，
由正弦定理，可得，即.
由余弦定理，可得，又∵，∴.
（2）由正弦定理，可得，
，
∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得，
∴，∴，∴，
即，△ABC周长的取值范围为.
最新高考真题回顾（5题）
【典例】16．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间.
【详解】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
【典例】17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
【典例】18．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；
（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
【典例】19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
【典例】20．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理有，解得；
（2）如图所示，若存在，则设其边上的高为，
若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；
若选②，，由有，由正弦定理得,所以，
所以由余弦定理得,
此时三角形是存在的，且唯一确定，
所以,即，
所以边上的高；
若选③，的面积是，则，
解得，由余弦定理可得可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.
最新模考基础练（5题）
21．（2025·四川南充·模拟预测）在中，内角所对的边分别其中，，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解；
（2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
又，，
所以，解得；
（2）由（1）可得，，，
所以，
可得，
所以
22．（2025·吉林松原·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且，．
(1)求；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理角化边，进而代值计算即可；
（2）根据题意结合同角三角关系求得，进而可用三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
又因为，可得，解得.
（2）因为，且，则，
所以的面积.
23．（2025·广东·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）先根据正弦定理角化边得，再利用余弦定理求解；
（2）结合余弦定理可得，则可得的值，从而得解.
【详解】（1）由正弦定理得，
所以，
因为，所以.
（2）因为，又，
所以，
故，解得，
故的周长为.
24．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 的最小正周期为，其中 .
(1)求，并求曲线的对称中心；
(2)若，求.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合函数的最小正周期，求出，再结合正弦函数的对称中心，即可求得答案；
（2）由可求出，利用三角函数诱导公式以及两角差的正切公式，即可求得答案.
【详解】（1）
，
因为函数的最小正周期为，，所以，则有，
所以；
由，可得，，
所以函数的对称中心为；
（2）由于，所以，
则有，即，
所以．
25．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值及的对称中心；
(2)若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间．
【答案】(1)，对称中心为；
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式变形，根据最小正周期得到，整体法求出函数的对称中心；
（2）由平移和伸缩变换得到，整体法求出函数的单调递增区间.
【详解】（1），
最小正周期为，，故，
所以，令，解得，
故的对称中心为；
（2）将的图象向左平移个单位，
得到，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到，
令，解得，
故的单调递增区间为.
最新模考能力练（5题）
26．（2026·四川巴中·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，且，．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解；
（2）由（1）求出，再根据正弦定理可得出的关系，再根据三角形的面积公式求出边长，即可得解.
【详解】（1）由，
结合正弦定理得，，
化简得，因为，，且，不同时为钝角，
则，
所以，又，所以，
因此；
（2）由（1）知，，
则，
由正弦定理得，，
令（），则，，
则，
解得，
故.
27．（2025·江苏苏州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若D为边上一点，，，平分，求a．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据已知条件，利用正弦的和角公式及正弦定理、辅助角公式等进行求解即可；
（2）在中利用正弦定理求出的关系，从而可得c和b的方程，利用可再得一个关于b、c的方程，联立求出b、c，再利用余弦定理即可求出a．
【详解】（1）由及正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，即，
又∵，，
∴，∴；
（2）由题可知，，
在中由正弦定理得①，②，
①÷②得，即．
又，∴，
∴，∴，∴，
∴，
∴．
28．（2026·重庆·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别是，满足.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式结合边角互化转化题干条件，得到进而得解；
（2）列出余弦定理表达式，然后利用基本不等式求解.
【详解】（1）对于，
由正弦定理和二倍角公式，，
则，
即，
即，
由题知，则，
得到，由于，则，
于是，解得
（2）由余弦定理，，
由，，得到，
由基本不等式，，则（取等号），
，
即时，的最大值是.
29．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B；
（2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围即可.
【详解】（1）因为，
所以由余弦定理得，
即，即，
又，则.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理可得，
则
，
由，得到，，
则，可得，
故周长的取值范围为．
30．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.

(1)求处与小岛之间的距离；
(2)求两座小岛之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得；
（2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出；
【详解】（1）由题可知在中，，，所以，
由正弦定理可得：，及，
所以（海里）．
（2）由题可知在中：，，所以．
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由题意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）.
最新模考压轴练（5题）
31．（2026·陕西渭南·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，.
(2)
【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间.
（2）先求出角，再用余弦定理求出边长，最后用三角形面积公式求出面积即可.
【详解】（1），
，
所以的最小正周期，
令，，解得，，
所以的最小正周期为，单调递增区间为，.
（2）已知，则，
即；
因为三角形是锐角三角形，所以，则，
在这个区间内，解得，
依据余弦定理，可得，
即，解得或；
当时，，
此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况；
当时，，
此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且，
∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件;
根据三角形面积公式，可得，
所以的面积为.
32．（2026·辽宁沈阳·一模）且
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域；
(3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程.
【答案】(1)
(2)
(3)详细见解析
【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到的表达式，然后结合给定区间求出的值域；（3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程.
【详解】（1）根据题意知
，
根据正弦函数的周期公式，
所以最小正周期为.
（2）根据“左加右减”的原则，可得，
已知，则，
当时，取最大值，最大值为，
当时，取最小值，最小值为，
所以当时，函数的值域为
（3）把的图象上所有点向右平移个单位得到的图象；
再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，
再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到.
33．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．

(1)若，求的值；
(2)证明：当时，位于外接圆的内部．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解；
（2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置．
【详解】（1），，
在中，由余弦定理得
，
，
同理，
，
．
（2）在中，由正弦定理得，
，
，
设为射线上一点，且四点共圆，则，
，解得，
，位于外接圆的内部．
34．（2025·陕西汉中·一模）已知的内角的对边分别为．
(1)若，求角B的大小．
(2)设为外接圆上的点，外接圆的半径为2，且平分．
（ⅰ）当时，求的值；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据正弦定理可得，再由余弦定理得的值，从而得角B的大小；
（2）（ⅰ）设外接圆的圆心为，则为的中点，连接，根据圆的性质与余弦定理可得，，从而根据一元二次方程的根得的值；（ⅱ）过点作，交于点，结合圆的圆周角定理与正弦定理可证得结论.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）（ⅰ）当时，为外接圆的一条直径，所以，则，
设外接圆的圆心为，则为的中点，
连接，如图所示：
因为，所以，
则，
在中，根据余弦定理可得：，
则，
同理，在中，，
所以即为方程的两个实根，所以；
（ⅱ）证明：如图，过点作，交于点，
设，则，，
则，
在中，根据正弦定理可得，即，
所以.
35．（2025·浙江·一模）已知的角的对边是且.
(1)求；
(2)若为的中线，为的角平分线，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，进而求得，可求结论；法二：利用余弦定理可得，结合已知可得，可得结论；
（2）不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用角平分线定理可求得，可求结论.法二：不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用面积法求得，可得结论.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，又，
所以，所以，
所以，由正弦定理可得，
所以，所以，
所以.
因为，，所以,
所以或（舍去），所以.
又因为，所以，
因为，，
，
故.
法二：由余弦定理得，所以，
与联立得，，解得，故.
（2）不妨设，则，
在中，，
在中，，
所以，，所以.
由，为的角平分线，所以，所以，
又，所以，所以，
所以.
法二：不妨设，则，
在中，，
在中，，
所以，，所以.
由，得，
所以，所以，得，
所以.