新高考数学三轮冲刺核心考点分类提升练专题04 概率与统计大题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺核心考点分类提升练专题04 概率与统计大题（2份，原卷版+解析版），共7页。

考前百日冲刺目录
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc30595" 引领风向--最新模考新颖题（5题） PAGEREF _Tc30595 \h 1
\l "_Tc7189" 最新热点热搜题（5题） PAGEREF _Tc7189 \h 3
\l "_Tc6316" 最新高频经典题（5题） PAGEREF _Tc6316 \h 5
\l "_Tc30516" 最新高考真题回顾（5题） PAGEREF _Tc30516 \h 7
\l "_Tc25888" 最新模考基础练（5题） PAGEREF _Tc25888 \h 9
\l "_Tc11138" 最新模考能力练（5题） PAGEREF _Tc11138 \h 11
\l "_Tc25051" 最新模考压轴练（5题） PAGEREF _Tc25051 \h 14
引领风向--最新模考新颖题（5题）
【典例】1．（2026·重庆·一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为.
(1)若，求的分布列和期望；
(2)若，，1，2，3，，，求的最大值；
(3)设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义.
【典例】2．（2026·河南开封·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里．
(1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率；
(2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望；
(3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率．
【典例】3．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立.
(1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率；
(2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由.
【典例】4．（2025·云南昆明·模拟预测）某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每局比赛相互独立．
(1)若，，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率；
(2)在甲赢了m局，乙赢了n局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比分配积分．
（ⅰ）若，，，，求；
（ⅱ）若，，，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率，并判断当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％．
【典例】5．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束.
(1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为.
①求；
②求证数列为等比数列.
(2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元）
最新热点热搜题（5题）
【典例】6．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；
(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．
【典例】7．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为．
(1)求；
(2)求；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【典例】8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等.
(1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为，
①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望；
②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值；
(2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式.
【典例】9．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
【典例】10．（2025·江西鹰潭·一模）预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）：
(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值.
(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望.
附：，其中.
最新高频经典题（5题）
【典例】11．（2025·甘肃白银·三模）某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据．
(1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
(2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度．
参考公式：；
相关系数．
参考数据：．
【典例】12．（2025·四川成都·二模）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立.
(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
(2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，
（i）求；
（ii）证明：存在实数，使得数列为等比数列.
【典例】13．（2025·江苏南通·模拟预测）某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为.
(1)求的分布列及数学期望；
(2)求的通项公式；
(3)证明：.
参考公式：若，是离散型随机变量，则.
【典例】14．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换．
(1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望；
(2)两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为．
①求；
②求．
【典例】15．（2025·吉林长春·一模）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立．
(1)，，，如果按照、、的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出入员数目的分布列和数学期望；
(2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由．
最新高考真题回顾（5题）
【典例】16．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
【典例】17．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
(1)求（用p表示）．
(2)若，求p．
(3)证明：对任意正整数m，．
【典例】18．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【典例】19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【典例】20．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
最新模考基础练（5题）
21．（2026·河北沧州·一模）2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表：
以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为．
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关．
参考公式：，其中．
临界值表：
22．（2026·河南鹤壁·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：
(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额．
参考数据：，，
．
参考公式：相关系数．
23．（2025·江西萍乡·三模）某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立.
(1)求；
(2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望.
附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，.
24．（2025·广东惠州·一模）体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望．
25．（2025·山西·一模）2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
(1)若只取1块，求它是由B队所采的概率；
(2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望；
(3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
最新模考能力练（5题）
26．（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
(1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；
(3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出．
27．（2026·河北·一模）人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响.
(1)当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大?
(2)当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
28．（2026·陕西西安·一模）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表.
(1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度；
(2)根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由.
(3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）.
参考公式及数据：，，，，，，.
29．（2025·湖北·模拟预测）21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立.
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色.
假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.
30．（2025·湖南长沙·三模）随着 2025 年春节档电影《哪吒》与《封神榜》的播出，中学生中掀起了一股对 “中国神话故事”的讨论热潮.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “中国神话故事”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各 50 名作为样本，设事件 “喜欢中国神话故事”， “学生为女生”，据统计 .
(1)现采用分层抽样从 50 名女生样本中选出 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，求 的概率分布列和期望;
(2)将样本的频率视为概率.
（i）求该校任意一名学生喜欢中国神话故事的概率；
（ii）现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，且当 时， 取得最大值，求从全校学生中抽取的人数 .
最新模考压轴练（5题）
31．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立．
(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；
(2)求与对决过且最后获得冠军的概率；
(3)求与对决过且最后获得冠军的概率．
32．（2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，.
(1)求.
(2)设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列.
(3)若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求.
33．（2026·四川泸州·二模）某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛.
(1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率；
(3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程.
34．（2025·广东·模拟预测）在生态研究中，观察两种昆虫的信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特殊化学物质A，A的浓度代表环境是否安全，但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接收到含高浓度A的信息素后，认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，反之认为“危险”，传递含低浓度A的信息素；种群乙接收到含高浓度A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓度A的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，初始时，第1只昆虫属于种群甲，其接受到了“安全”的环境信息并开始传递．每只昆虫传递信息时，有的概率将信息素传递给同种群的昆虫，的概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传递仅传递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的准确性与传递给的对象无关．
(1)设为第n只昆虫属于种群甲的概率，当时，求；
(2)求第n只昆虫传递含高浓度化学物质的信息素的概率；
(3)证明：当时，，并阐述若要使这两种昆虫种群更加适应环境，p应该满足的要求及原因．
35．（2025·湖北·模拟预测）某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球，
(1)消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望；
(2)若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置二个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件.
（i）求和；
（ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率.
1
2
3
4
5
6
7
零件直径 (单位: 厘米)
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
发病
没发病
合计
接种疫苗
7
18
25
没接种疫苗
19
6
25
合计
26
24
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
10
20
30
40
50
650
640
600
590
580
超声波检查结果组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
性别
关注情况
高度关注
非高度关注
女学生
30
男学生
90
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
/亿元
12.1
12.5
11.3
12.4
13.1
11.5
11.0
11.3
12.6
12.2
/亿元
650
680
620
660
695
640
600
630
665
660
（百万）
1
2
3
4
5
（千件）
0.5
1
1.5
3
5.5
内饰
外观
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
10
10
米色内饰
2
3
取球结果
2个红球
2个黑球
红､黑球各1个
奖金
300元
200元
100元