新高考数学三轮冲刺考前大题技巧训练专题01 五类解三角形题型（2份，原卷版+解析版）

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类型2：三角形周长定值及最值 ；
类型3：三角形涉及中线长问题 ；
类型4：三角形涉及角平分线问题
类型5：三角形涉及长度最值问题。
类型1：面积最值问题
技巧：正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
③
秒杀方法：
在中，已知,
则：
其中 分别是的系数
面积最值问题专项练习
1．的内角A，B，C的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若在线段上且和都不重合，，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，由正弦定理得
，
所以，又因为，所以，
所以，又，所以，
（2）由，得，由余弦定理知，又因为，所以，
所以，所以，如图，设,
则,,，
在中，由正弦定理可知，
在中，由正弦定理可知，
故
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
即.
2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求；
(2)若，，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
在中，，
∵，
∴,即，
∴，
∵，
∴，可得，解得：.
（2）由题意及（1）得
在中，，，，
∴为边的中点，
∴,
∴，即，
设，，则，
所以，当且仅当时，等号成立.
∴，当且仅当时，等号成立，
∴的面积的最大值为.
3．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)点D在边上，且，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）根据题意可得，
所以平方可得．
又，所以，
当且仅当，时，等号成立，
所以，
即面积的最大值为．
4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，．
(1)求A；
(2)若M是直线BC外一点，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，
由正弦定理得，
因为，
所以．
又因为，所以，
所以.
因为，所以．
（2）由得，
故．
因为，所以，
所以，可得.
根据正弦定理可得，.
设，，
在中，，
由余弦定理可得.
所以，
当且仅当时取等号，
所以.
所以．
故面积的最大值为．
5．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分．
(1)求角A；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由，可得，
整理得，则，
又，则.
（2）过点D作于E，作于F，
又，则，
则，
则，又（当且仅当时等号成立），
则，则，
则（当且仅当时等号成立），
则面积的最小值为．
6．在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：选①：因为，
由，可得，
由正弦定理得:
，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
因为，所以.
选②：因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，则，
即，可得，
因为，所以.
选③：因为，可得，
由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）解：因为，且，
由余弦定理知，即，
可得，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的面积，
即的面积的最大值为.
类型2：三角形周长定值及最值
类型一：已知一角与两边乘积模型
第一步：求两边乘积
第二步：利用余弦定理求出两边之和
类型二：已知一角与三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
最值步骤如下：
第一步：先表示出周长
第二步：利用正弦定理将边化为角
第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值
周长定值及最值问题专项练习
7．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得.
（2）由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，，，
由（1）可知，，则，
由，则，解得，，
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
8．如图，在梯形中，，．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)9
(2)．
【详解】（1）在中，
，
即，解得：，当且仅当时取等号．
故周长的最大值是9．
（2）设，则，．
在中，，
在中，，两式相除得，，
因为，
∴，故．
9．已知的面积为，角所对的边为．点为的内心，且．
(1)求的大小；
(2)求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，即，可得，
因为，所以．
（2）设周长为，，如图所示，
由（1）知，所以，可得，
因为点为的内心，，分别是，的平分线，且，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，可得，
可得周长．
10．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，
所以；
（2）锐角中，，，
由正弦定理得：，
故，
则
，
因为锐角中，，
则，，
解得：，
故，，
则，
故，
所以三角形周长的取值范围是.
11．在中，角 的对边分别是 ，．
(1)求C；
(2)若，的面积是，求的周长．
【答案】(1).
(2).
【详解】（1）由题意在中，，
即，故 ，
由于，所以.
（2）由题意的面积是，，即 ，
由，得，
故的周长为.
类型3：三角形涉及中线长问题
①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值）
如：在与同用求
②中线长常用方法
③已知，求的范围
∵为定值，故满足椭圆的第一定义
∴半短轴半长轴
三角形涉及中线长问题专项练习
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
(1)若，求的值；
(2)若BC边上的中线长为，求a的值.
【答案】(1)
(2)
(1)由正弦定理，
又，若为钝角，则也为钝角，与三角形内角和矛盾，故
，即
(2)取BC边上的中点，则，设
在中，利用余弦定理知
在中，利用余弦定理知
又，则
即，即，解得
又
故a的值为.
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求中的最大值；
(2)求边上的中线长．
【答案】(1)最大值为
(2)
【详解】（1），故有，
由余弦定理可得，
又，，故．
（2）设边上的中线为，则，
，
，即边上的中线长为．
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B的值；
(2)若，的面积为，求边上中线的长.
【答案】(1)
(2)7
【详解】（1）解：由正弦定理得，，
，则，，
；
（2），，，
由余弦定理，
得，，
15．如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．
(1)求及线段BC的长；
(2)求△ADE的面积．
【答案】(1)，BC＝6
(2)
【详解】（1）∵，∴，∴，∴
由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6.
（2）∵，，∴，∴，
∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，
其中，
∴，
∵AD为BC边的中线，∴，
∴.
16．在中，，，点在上，.
(1)若为中线，求的面积；
(2)若平分，求的长.
【答案】(1)
(2)
(1)解：由余弦定理得，
，解得（负值舍）.
所以，，
故.
(2)
解：由正弦定理得，即，解得.
又，则，，.
又平分，则.
所以，，则，故.
由余弦定理得.
因此，.
17．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在中，内角，，的对边分别为，，.已知______.
(1)求角；
(2)若，，求边上的中线的长.
注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.
【答案】(1)任选一个，答案均为
(2)．
（2）在和中分别应用余弦定理后相加可得．
【详解】（1）选①，
由正弦定理得，
，
，
，三角形中，所以，又，
所以；
选②
由正弦定理得，三角形中，
所以，又三角形中，所以，，
所以，即；
选③，
由余弦定理得，整理得，
所以，而，；
（2）由（1），，
由余弦定理得：
，又，，
所以，
所以，．
类型4：三角形涉及角平分线问题
张角定理
如图，在中，为边上一点，连接,设，
则一定有
三角形涉及角平分线问题专项练习
18．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【详解】（1）∵且,
∴，即，
∴，又，
∴；
（2）选①∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
由基本不等式可得：
，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为；
②因为AD是BC边上的中线，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∵，
∴，
在中，，由余弦定理得，
∴
∴，
解得，当且仅当时取“=”，
所以，
即的面积的最大值为.
19．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，
由正弦定理可得：，
∴，
∵，∴，
∴，∵为锐角，
∴，∴，∴；
（2）解：由题意可知，设，∴，
∵，又∵，∴，
在中，由正弦定理可得：，
即：，∴，
∴
，
∵，∴，
∴，∴，
∴三角形面积的取值范围为.
20．已知的三个内角，，的对边分别为，，满足.
（1）求；
（2）若，，角的角平分线交边于点，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由正弦定理化边为角可得：
，
即
所以，
因为，所以
即.
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
代入数据可得：即.
解得：或(舍).
所以，所以，
在中，由是的角平分线，得，
则，
在中，由正弦定理得：即，
可得：.
21．已知的内角的对应边分别为，且有．
（1）求；
（2）设是的内角平分线，边，的长度是方程的两根，求线段的长度．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由正弦定理得：，
即，又，
，又，，
，，又，；
（2）为方程的两根，，，
由（1）知：，，
，，
即，解得：.
22．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
在中，内角，，的对边分别为，，，已知外接圆的半径为1，且___________.
（1）求角；
（2）若，是的内角平分线，求的长度.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）选择①：，由正弦定理得：
，即，
由余弦定理得：,所以.
因为,所以，所以
因为,所以.
选择②：得：，即，
由正弦定理得：.
由余弦定理得：，
因为,所以.
选择③：由，结合正弦定理得：.
因为，所以，
即,所以.
因为,所以，所以
因为,所以.
（2）
在中，由正弦定理得：,
所以，所以（因为，由内角和定理，B不可能为）.
在中，由正、余弦定理建立方程组得：
，即，
解得：，即.
类型5：三角形涉及长度最值问题
秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
三角形涉及长度最值问题专项练习
23．设的内角的对边分别为，已知的面积为．
(1)求；
(2)延长至,使，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）解：由余弦定理可得，
因为的面积为，可得，
又因为，所以，即，
因为，所以.
（2）解：如图所示，因为，设，则，
由余弦定理可得
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
24．在中，内角的对边分别为，且
(1)求；
(2)若，，求线段长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以根据余弦定理，可得，
所以，所以.
因为，所以.
（2）解法一：因为，所以，
所以，
所以.
因为，，所以，
则
.
令，，则.
令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以，，
所以，线段长的最大值为.
解法二：设外接圆的半径为，
根据正弦定理，可得，所以.
当过圆心时，的长取得最大值.
作，则为的中点，
因为，所以，
所以.
因为，，所以，
所以，
所以，
所以，线段长的最大值为.
25．锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若b+c=6，求BC边上的高AD长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
又
，
所以，
所以，
所以或，
若，则，与为锐角三角形矛盾，舍去，
从而，则，
又，所以；
（2）由（1）知，
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为.
26．在中，角的对边分别是，，，.
(1)求；
(2)若在上，，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
由正弦定理，得.
由余弦定理，得.
又，所以.
（2）因为，
所以，当且仅当时取等号，
又，，
所以，
故AD的最大值为.
27．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）由于，所以，
由正弦定理可得．
（2）由于，所以；
由余弦定理可得，
所以，
则当时，取得最大值4．