新高考数学三轮冲刺练习培优专题05 三角函数与解三角形大题归类（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc32125" 重难点题型归纳 PAGEREF _Tc32125 \h 1
\l "_Tc795" 【题型一】恒等变形 PAGEREF _Tc795 \h 1
\l "_Tc5875" 【题型二】 零点与对称性 PAGEREF _Tc5875 \h 4
\l "_Tc18367" 【题型三】恒成立求参 PAGEREF _Tc18367 \h 6
\l "_Tc8463" 【题型四】 图像与解析式型 PAGEREF _Tc8463 \h 9
\l "_Tc32758" 【题型五】 利用正弦定理求角 PAGEREF _Tc32758 \h 12
\l "_Tc22762" 【题型六】利用余弦定理求角型 PAGEREF _Tc22762 \h 14
\l "_Tc2691" 【题型七】最值1：面积最值型 PAGEREF _Tc2691 \h 16
\l "_Tc10246" 【题型八】最值2： 锐钝角限制型最值 PAGEREF _Tc10246 \h 18
\l "_Tc16773" 【题型九】最值3：周长最值型 PAGEREF _Tc16773 \h 20
\l "_Tc17442" 【题型十】最值3：比值最值型 PAGEREF _Tc17442 \h 22
\l "_Tc8047" 【题型十一】最值4：系数不一致型 PAGEREF _Tc8047 \h 23
\l "_Tc13003" 【题型十二】最值5：角非对边型 PAGEREF _Tc13003 \h 26
\l "_Tc23772" 【题型十三】最值6：四边形面积型 PAGEREF _Tc23772 \h 28
\l "_Tc30318" 【题型十四】图形1：外接圆型 PAGEREF _Tc30318 \h 29
\l "_Tc21976" 【题型十五】图形2：角平分线型 PAGEREF _Tc21976 \h 32
\l "_Tc6384" 【题型十六】图形3：中线型 PAGEREF _Tc6384 \h 34
\l "_Tc14993" 【题型十七】图形4：三角形高型 PAGEREF _Tc14993 \h 37
\l "_Tc10270" 【题型十八】图形5：双三角形型 PAGEREF _Tc10270 \h 40
\l "_Tc28315" 好题演练 PAGEREF _Tc28315 \h 42
重难点题型归纳
【题型一】恒等变形
【典例分析】
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的最大值及取得最大值时的的集合．
【答案】（1）；（2） ，的最大值为 .
【分析】
【详解】
（1）先化简，
再由
即得递增区间为.
（2）由已知
解：（1），
当，即，
因此，函数的单调递增区间为.
（2）由已知，，
∴当时，即则，
∴ 当的最大值为.
【变式演练】
．设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)，.
【分析】
【详解】
试题分析：（1）本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把化为一次形式，但角变为，再运用辅助角公式化为形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为，可知此函数的周期为，从而利用周期公式易求出；（2）本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因此用换元法只需令，利用求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的最值.
试题解析：（1）．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为，又，所以，因此.
（2）由（1）知．当时，所以，因此．故在区间上的最大值和最小值分别为．
【题型二】 零点与对称性
【典例分析】
已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间上恰有个零点，
（i）求实数的取值范围；
（ii）求的值.
【答案】(1)(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间；
（2）（i）令，将问题转化为与在上恰有个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得的取值范围；
（ii）由（i）中图像可确定，，由此可得，整理可得，由两角和差正弦公式可求得的值，即为所求结果.
【详解】（1）；
令，解得：，
的单调递增区间为.
（2）（i）由（1）得：，
当时，，
设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点；
作出在上的图像如下图所示，
由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，
实数的取值范围为；
（ii）设与的个不同的交点分别为，
则，，，
即，
整理可得：，，
.
【变式演练】
已知．
(1)求函数的值域；
(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简，以及换元得函数，再利用导数求函数的值域；
（2）首先由方程得，再利用三角函数的对称性，得是等差数列，再求和.
【详解】（1）令，
则，，，得，
当，，单调递减，当时，，单调递增。
所以，
所以，的值域是
（2）由已知得，
解得或（舍去），由得函数图象在区间且确保成立的，
对称轴为在内有11个根，
数列构成以为首项，为公差的等差数列．
所以.
【题型三】恒成立求参
【典例分析】
已知函数.
求函数的最小正周期；
若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】；
【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．
【详解】
解:因为
所以的最小正周期为
“对恒成立”等价于“”因为所以当，即时的最大值为.所以，
【变式演练】
已知向量，，设.
（1）若，求x的值；
（2）设，且对任意的均成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）或（）；（2）.
【分析】
（1）根据向量数量积的坐标表示，以及三角恒等变换，将解析式化为，再由正弦函数的性质，即可得出结果；
（2）先由（1），根据三角恒等变换，得到，由正弦函数的性质，求出，，将不等式在给定区间恒成立问题，转化为对任意的恒成立；结合二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】
（1）由题意，，
若，则，所以或，，
因此或（）；
（2）由（1）得
，
若，则，因此，令，
则不等式对任意的均成立，可化为对任意的恒成立；即对任意的恒成立；
即对任意的恒成立；
只需对任意的恒成立；
因为函数是开口向上，且对称轴为的二次函数，
所以在上单调递减，
因此当时，取最大值为；
又函数是开口向上，且对称轴为的二次函数，
所以当时，取得最小值为，所以.
【题型四】 图像与解析式型
【典例分析】
已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．
【答案】(1)(2)，
【分析】(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案.
(2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案.
（1）
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，所以；
（2）
解：由已知得，
当时，，令，则，
令，则
，，，，
所以，
因为有三个不同的实数根，则，
所以，即，所以
【变式演练】
已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式；
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到，令，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到，再根据对称性得到，相加后得到，求出答案.
【详解】（1）由图示得：，解得：，
又，所以，所以，
所以.
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
当时，，令，则，
令，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，,
所以时，.当时，方程恰有三个不相等的实数根.
因为有三个不同的实数根，
且关于对称，关于对称，则，
两式相加得：，
即，所以.
【题型五】 利用正弦定理求角
【典例分析】
．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为，，求a．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）化简得到，根据正弦定理得到，得到答案.
（2）根据面积公式得到，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】（1），
所以，故．
由正弦定理得，又，
所以，
故，
，，所以，即，，故．
（2），所以．
由余弦定理可得，
所以
【变式演练】
在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理结合弦化切化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：由正弦定理可得， ，
∴．
∵，，∴，，，
又，∴．
（2）解：∵，，，
又，．
由正弦定理可得，即，
．.
【题型六】利用余弦定理求角型
【典例分析】
记锐角的内角为，已知.
(1)求角的最大值；
(2)当角取得最大值时，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，根据余弦定理和基本不等式求的范围，再由余弦函数的性质求角的最大值；
（2）根据内角和关系，结合两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，将目标函数转化为关于角的函数，再结合余弦函数的性质求其范围.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，又，所以，所以角的最大值为；
（2）因为，
所以
，因为为锐角三角形，
所以,所以，所以，
所以，所以，
即的取值范围为.
【变式演练】
已知的内角所对的边分别为，.
(1)求角的最大值；
(2)若的面积为，，且，求b和c的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换，结合正弦定理边角互化得，再根据余弦定理与基本不等式得，进而得答案；
（2）根据面积公式，余弦定理，并结合（1）求解得，再解方程即可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，又因为，所以，
所以，所以，由正弦定理得.所以
，当且仅当时等号成立，因为，所以，
所以，角的最大值为.
（2）解：由（1）得，①
由余弦定理得，②
因为的面积，所以，③
得，整理得，④
因为，
所以由①④解得.
【题型七】最值1：面积最值型
【典例分析】
在三角形中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
(1)从下列中选择一个证明：
①证明：；②证明：
(2)求三角形面积的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据向量关系，利用数量积运算证明正弦余弦定理；
（2）根据面积公式，结合变的最小值，求面积的最小值.
【详解】（1）若选择①，由条件可知，角都是锐角，过点作与垂直的单位向量，则与垂直的夹角为，则与垂直的夹角为，
因为，所以,
，
,
即；
若选择②，如图，设，，，
则，两边平方后，
则，即
（2），
因为，所以，
所以的面积的最小值为.
【变式演练】
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求三角形面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由结合三角恒等变换及同角三角函数的基本关系可得的值，进而即可求出的值；
（2）由余弦定理结合基本不等式，得，利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，可得，
又，可得．
（2）由余弦定理及，可得：，
则，得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以△ABC面积的最大值为．

【题型八】最值2： 锐钝角限制型最值
【典例分析】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，边，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)法一：由正弦定理将边化角，再化简即可得到角A；
法二：由余弦定理将角化边，再化简即可得到角A；
(2)由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围.
【详解】（1）法一：因为.由正弦定理得，又，所以.
所以.因为，所以，所以.因为，所以，.
法二：因为，由余弦定理得，整理得，
所以.又，所以.（2）由（1）得，根据题意得解得.在中，由正弦定理得，所以.因为，所以，
所以，所以.所以所以的取值范围是.
【变式演练】
1.已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求三角形ABC面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据条件化简得出，然后化简目标式，结合导数求解范围；
（2）先利用正弦定理表示出，结合面积公式得出，利用的范围及单调性进行求解.
【详解】（1）因为，且都为锐角，所以，
，
所以，由正弦定理可得，
又，所以，
整理得，即有，
所以，即，所以.
在锐角三角形中，,且，所以；
令，则，，令，则，
因为，所以，所以为增函数，又，所以，即的取值范围是.
（2）由（1）得.因为，由，得；
设三角形ABC的面积为,则
，
因为，所以，设，，，，为减函数，所以，所以.
【题型九】最值3：周长最值型
【典例分析】
已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．
(1)求的值及的对称中心；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
【答案】(1)，对称中心；
(2)
【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式化简得，再结合已知求得周期即可求出，由正弦函数的对称性即可求得对称中心；
（2）先求出，再由正弦定理求得，再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围．
(1)
，
显然的最大值为1，最小值为，则时，的最小值等于，则，则，；
令，解得，则的对称中心为；
(2)
，，又，则，
由正弦定理得，则，
则周长为
，又，则，
则，故周长的取值范围为.
【变式演练】
1. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算可得；
(1)解：由正弦定理及，所以.
所以由余弦定理得，又，所以.
(2)解：因为，，由余弦定理可得，可得，所以，，可得，当且仅当时取等号，又由三角形三边关系得，所以的取值范围是.
【题型十】最值3：比值最值型
【典例分析】
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A，B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式即可求出，再结合即可得出答案.
（2）由（1）知，分别讨论或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案.
（1）因为，
所以，
代入，则，所以，且，所以；
（2）由（1）知，①当时，且，
若是锐角三角形，则，所以，不成立；
②当时，且，所以，所以，
则，且，且，
又，所以.
【变式演练】
在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得，即可证明结论；
（2）利用（1）的结论将边化角，结合三角恒等变换可得，由基本不等式可求得答案.
（1）证明：在中，由已知及余弦定理，得，
即,
由正弦定理，得，又，故.
∵，∴,∵，∴，故.
（2）由（1）得，∴，，
由（1），得
，当且仅当时等号成立，
所以当时，的最小值为.
【题型十一】最值4：系数不一致型
【典例分析】
请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形中，已知角，，的对边分别为，，c，．
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)选①：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得，结合余弦定理即可求出C；选②：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得，结合特殊角的正切值即可求出C；
(2)由三角形的面积公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，进而利用导数求出函数的值域即可.
(1)
选择①：因为，所以，由正弦定理得，，
即，即，即，
即．因为，又为锐角，所以．
选择②：因为，由正弦定理得，，
即．又，
所以．因为，所以，
又为锐角，所以，．
(2)因为，所以，则．
(法一)由余弦定理得，．①
因为为锐角三角形，所以即
将①代入上式可得即解得．令，，则，
所以在上单调递增，所以，即，即的取值范围为．
(法二)由正弦定理得，又，所以．因为为锐角三角形，所以解得
因为，所以，，即，解得．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，即，即的取值范围为．
【变式演练】
在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，_______．
(1)求角B﹔
(2)求的范围．
【答案】(1)任选一条件，都有(2)
【分析】（1）若选①由正弦定理可得，再由余弦定理可得，结合余弦定理可得答案; 若选②由余弦的二倍角公式结合余弦的差角公式可得出答案;若选③由正弦定理结合切化弦可得，从而得到，得出答案.
(2)由正弦定理可得，即，结合,利用正弦的差角公式和辅助角公式化简结合角的范围可得答案.
(1)选择①：∵，∴由正弦定理可得：，
∴可得：，可得：，∴由余弦定理可得：，
整理可得：，∴，∵，可得：
选择②：，因为，
所以，又因为，所以；
选择③：因为，由正弦定理可得，
又由，可得，因为，所以，因为，所以．
(2)在中，由（1）及，
故，
因为，则
﹒所以的范围为
【题型十二】最值5：角非对边型
【典例分析】
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再借助余弦定理计算作答.
（2）利用正弦定理将周长表示为角C的函数，由（1）及锐角三角形条件结合三角函数变换和性质求解作答.
(1)在中，由正弦定理及得：，
整理得：，由余弦定理得：，而，解得，所以.
(2)由（1）知，即，因为锐角三角形，即，解得，
由正弦定理得：，则，当时，，，而即，因此，，则，所以周长的取值范围是.
【变式演练】
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理求出，进而由余弦定理求出，利用三角形面积公式得，利用平面向量基本定理及数量积运算法则得到答案；
（2）由正弦定理得到，利用锐角三角形，求得，进而求出，由面积公式求得.
(1)，由正弦定理得：，
所以，因为，所以，
所以，即，因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，因为，所以，
其中，所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，由题意得：，
所以.
(2)由（1）知：，又，由正弦定理得：，
所以，因为为锐角三角形，所以，解得：，则，，，故，面积为故面积的取值范围是.
【题型十三】最值6：四边形面积型
【典例分析】
如图，平面四边形中，.
(1)若，求的值；
(2)试问为何值时，平面四边形的面积最大？
【答案】(1)1
(2)时,平面四边形的面积最大
【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可；
（2）由题知，进而结合三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可.
（1）解：若，，所以，在中，
所以；
（2）解：因为，，所以，根据余弦定理得，因为
所以，，
所以，
所以，时，取到最大值
【变式演练】
如图，在中，内角所对的边分别为，.
(1)求角；
(2)若，，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.
（2）由余弦定理得到为等边三角形，在中，利用余弦定理表达出，然后根据三角形面积公式即可求解.
(1)
由正弦定理得：,所以
即
,
(2)
由
由余弦定理得，
为等边三角形，设，
在中，，解得
当，即时，S有最大值
【题型十四】图形1：外接圆型
【典例分析】
从①；② 条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答
：在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.
(1)求角A；
(2)若外接圆的圆心为O，，求BC的长.
注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.
（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解.
(1)
解：选择条件①：
因为，由正弦定理，可得，
即，所以.因为，所以.
选择条件②：
因为所以，即.因为
所以所以，.
(2)由题意，O是外接圆的圆心，所以，
所以故此.
【变式演练】
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，．
(1)求角A；
(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形外心的定义和向量数量积的几何意义对条件化简，然后利用正弦定理边化角，整理化简可得；
（2）先求外接圆半径，结合（1）和正弦定理将三角形周长表示为角C的三角函数，由正弦函数性质可得.
(1)
过点O作AB的垂线，垂足为D，
因为O是的外心，所以D为AB的中点
所以，同理
所以，由正弦定理边化角得：
所以
整理得：
因为，所以
所以，即
又，
所以，得
(2)
记外接圆的半径为R，
因为外接圆的周长为，
所以，得
所以周长
由（1）知，
所以
因为，所以
所以
所以，即
所以周长的取值范围为
【题型十五】图形2：角平分线型
【典例分析】
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A的大小；
(2)若，，且AD平分，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解
（2）由AD是角平分线得到，再利用面积公式求解
(1)，故，则；
(2)设BC边的高为h，
所以，
又是角平分线，所以。所以，即，
又，则，
解得，，．
【变式演练】
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，的平分线交边于点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及化简得到，利用辅助角公式得到，由得到；
（2）由向量的数量积运算法则和余弦定理求出或，利用三角恒等变换和正弦定理进行求解，得到正确答案.
(1)，，
由正弦定理得：，因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
，解得：.
(2)由（1）知：，所以，即，解得：，
由余弦定理得：，所以，解得：，解得：或
当得：，则，
所以，
在三角形ABT中，由正弦定理得：，，即，解得：；
当时，同理可得：；综上：
【题型十六】图形3：中线型
【典例分析】
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角、、的对边分别为，，，且满足___________．
(1)求；
(2)若的面积为，为的中点，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）选①时，利用正弦定理边化角得，又，代入整理得，化简即可求解；选②时，利用正弦定理边化角得，又，代入整理得，化简即可求解；选③时，利用正弦定理边化角得，即，再利用两角差的余弦公式展开得，化简即可求解；（2）根据面积公式得，再利用余弦定理得，再利用基本不等式求最值即可.
(1)
选①时，，利用正弦定理得：，
由于，所以，故，
又，，整理得，
，故．
选②时，，利用正弦定理得：，
由于，所以，即，
又，，，，故，，故．
选③时，，利用正弦定理得：，
又，，整理得．
所以，整理得，，故．
(2)
由于的面积为，所以，，解得．
在中，由余弦定理得：，
故，当且仅当，即，，的最小值为．
【变式演练】
在中；内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，点为的中点，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理可知，由此可知，进而求出.
（2）由（1）结合余弦定理可知，对其使用基本不等式可知，根据三角形中线的向量表示可知，对其两边平方，根据平面向量数量积公式以及基本不等式可知，由此即可求出结果.
(1)
解：在中，由正弦定理得.
因为，所以.
又，所以，所以.
因为中，，所以.
(2)
解：在中，由及余弦定理，
得，
所以，所以，当且仅当时等号成立.
又点为的中点，所以
，
所以，即的最大值为.
【题型十七】图形4：三角形高型
【典例分析】
从①为锐角且sinB－csC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.
（2）根据三角形的面积公式可得的关系，在中运用余弦定理可求出的值，然后根据边的长度用余弦定理求角，即可求解.
【详解】（1）选①
因为，所以，
由余弦定理得，，所以，即
由正弦定理得
在中，有，故
由A为锐角，得
选②
因为b＝2asin(C＋)，由正弦定理得
即
化简得
在中，有，由A为锐角得，
所以，得
（2）由题意得，，所以，
又b＝c，所以
由余弦定理，解得
所以，，
所以是钝角三角形
所以，所以
在直角中，
【变式演练】
在中，角，，的对边分别是，，，且满足．
(1)求；
(2)若，是边上的高，求的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将两边同乘，再由正弦定理将边化角，最后由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值，再根据求出的最大值.
【详解】（1）解：因为，
所以，
由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
所以，则.
（2）解：因为，，
由余弦定理，即，
所以当且仅当时取等号，
所以，则，当且仅当时取等号，
所以，又，
所以，
故的最大值为.
【题型十八】图形5：双三角形型
【典例分析】
在中.，D为BC边上的一点，，再从下列三个条件中选择两个作为已知，求的面积及BD的长.
①；②；③.
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
【答案】，.
【分析】根据所选条件，结合余弦定理求、，即可得BD的长，结合二倍角余弦公式或直角三角形求，最后利用三角形面积公式求面积.
【详解】选①②：因为，，
所以，，.
所以，且.
在中，，
所以，
所以的面积为.
选择①③：因为，，，
所以，
所以，即，
所以，则的面积为.
选择②③：因为，，
所以，
因为，，则，
所以，故，
所以的面积为.
【变式演练】
如图，在平面四边形中，，，.
(1)当，时，求的面积；
(2)当，时，求.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.
（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.
(1)
当时，在中，由余弦定理得，
即，解得，，
因为，则，又，
所以的面积是.
(2)
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
则，整理得，而，为锐角，
所以.2.
好题演练
1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
2．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：，故原等式成立．
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，所以；
（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，
则，所以，故，
所以，所以的周长为.
4．（2023·福建·统考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出，进而根据角的范围得出答案；
（2）解法一：由已知可推出，然后根据正弦定理可求出，进而求出，.设，，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出，然后同解法一求得.设，表示出四边形的面积，根据的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得，设点C到BD的距离为h，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD是的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.
【详解】（1）因为，在中，由正弦定理得，.
又因为，所以，
展开得，即，
因为，故，即.又因为，所以.
（2）解法一：如图1
设的外接圆的圆心为O，半径为R，因为，所以，即，所以，故BD是的直径，所以.在中，，，所以.
在中，.设四边形ABCD的面积为S，，，则，
，
当且仅当时，等号成立.所以四边形ABCD面积最大值为.
解法二：如图1设的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影向量为，
所以.又，所以，
所以在上的投影向量为，所以.
故BD是的直径，所以.在中，，，所以，
在中，.设四边形ABCD的面积为S，，，
则，，所以，
当时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为.
解法三：如图1设的外接圆的圆心为O，半径为R，
因为，所以，即，
所以.
故BD是的直径，所以.
在中，，，所以.
在中，.
设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，
则，
当时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为.
解法四：设的外接圆的圆心为O，半径为R，
在中，，，故外接圆的半径.即，所以.如图2，以外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
则，.
因为C，D为单位圆上的点，设，，其中，.
所以，，代入，即，可得，即.由可知，
所以解得或，即或.当时，A，D重合，舍去；当时，BD是的直径.设四边形ABCD的面积为S，则，
由知，所以当时，即C的坐标为时，S最大，
所以四边形ABCD面积最大值为.
5．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的.
(1)若的最小正周期为，求的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
(2)若在上有且仅有一个零点，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由三角函数的图象变换及对称性质即可判定；
（2）利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可.
【详解】（1）由，得，所以，
令，，解得，，取，得，取，得，
因为，所以与y轴距离最近的对称轴方程为.
（2）由已知得，令，，解得，.因为在上有且仅有一个零点，所以
所以.因为，所以，解得，，所以，
解得，即的取值范围为.
6．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）通过三角恒等变换和正弦定理化简即可.
（2）将中线转化为向量的模长，从而求出的最大值，即可求出面积的最大值.
【详解】（1）依题意有
，又，，又，
解得，，；
（2）因为所以，
当且仅当时成立，故面积的最大值为.
7．（2023·陕西西安·校联考一模）在中，点D在边上，且．
(1)若平分，求的值；
(2)若成递增的等比数列，，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）运用余弦定理求出 的关系，再运用正弦定理求解；
（2）运用余弦定理求出AB，BC的值，再求出 ，用面积公式计算即可.
【详解】（1）
设，则，
因为平分，所以，设，则，
在中，，在 中，，
由，得，；
（2）因为成递增的等比数列，，所以，
在 中，，在 中，，因为，所以，整理得，又，所以 ，解得或，
若，则，不符合题意，
若，则，符合题意，此时，
则 的面积.
8．（2023·云南红河·统考二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)证明：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式求出的范围，即可得的范围，即可得证；
（2）根据二倍角的余弦公式可得，设，，构造函数，利用导数求出函数的最值即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，
即，当且仅当时，等号成立，又因为，所以；
（2），设，则，
因为，所以，设，由，得，
当，，单调递增；当，，单调递减，
当时，取得最大值为，所以的最大值为.
9．（2023·河南新乡·统考二模）如图，在中，D，E在BC上，，，．
(1)求的值；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)；2).
【分析】（1）根据三角形面积公式结合条件可得 ，，进而可得，然后利用正弦定理即得；
（2）设，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性质结合条件即得.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
故，即，则在中，根据正弦定理可得，；
（2）设，则，由解得，
在中，，则，
，由，得，则，故面积的取值范围为．
10．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，．
(1)若BC边上的高等于，求；
(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求得（用表示），然后利用余弦定理求得.
（2）先求得，利用向量法求以及基本不等式求得长度的最小值.
【详解】（1）过作，垂足为，则，
，，
在三角形中，由余弦定理得.
（2），
，两边平方得
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
【技法指引】
和差倍角关系
①cs(α±β)＝ cs αcs βsin αsin β；②sin(α±β)＝ sin αcs β±cs αsin β；
③tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β, 1tan αtan β)；④sin 2α＝2sin αcs α；
⑤cs 2α＝ cs2α－sin2α ＝ 1－2sin2α ＝ 2cs2α－1 ；
⑥tan 2α＝________eq \f(2tan α,1－tan2 α)__________；
辅助角公式：
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ) ，其中， tanφ＝eq \f(b,a) ， |φ|＜eq \f(π,2) ， a＞0 ．
【技法指引】
三角函数图像的主要一个特征，就是轴对称与中心对称。
与水平线相交时的零点，多以对称轴为突破点
与其他函数相交时的零点，一般情况下，要看看其他函数是否具有对称中心
【技法指引】
恒等变形化简：
(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x＝eq \f(sin x,cs x)；②降次数：公式cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
(2)和积转换法：运用公式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ解决sin θ±cs θ与sin θcs θ关系的变形、转化；
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝sin2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tan2θ)))＝taneq \f(π,4)；
(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)等
【技法指引】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：
(1)观察确定A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)通过周期公式求ω：即ω＝eq \f(2π,T).
(3)特殊点代入求φ：通常代入“最值点”或“零点”；
即整体思想，对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
【技法指引】
正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径 ；
注意：正弦定理变式与性质：
①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
②正弦化边：sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
④eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝ 2R ；
＋c)·r(r是切圆的半径)
【技法指引】
余弦定理：
①a2＝b2＋c2－2bccs_A；
②b2＝c2＋a2－2cacs_B；
③c2＝a2＋b2－2abcs_C
注意：
变式：①cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
②cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
③cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
【技法指引】
三角形面积公式：
①S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)
②S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
【技法指引】
解三角形：最值范围
可以用余弦定理+均值不等式来求解。
可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
【技法指引】
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径
【技法指引】
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
【技法指引】
中线的处理方法：
1.向量法：
2.余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
中线分割的俩三角形面积相等
【技法指引】
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：