广东省2025-2026学年上学期高二数学期末考试卷

这是一份广东省2025-2026学年上学期高二数学期末考试卷试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点P(1,3,6)关于x轴对称的点的坐标是
A．(1,3,−6)B．(−1,3,−6)C．(−1,−3,6)D．(1,−3,−6)
2．已知F是抛物线x2=4y的焦点，A,B是该抛物线上的两点，且AF+BF=6，则线段AB的中点到x轴的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为54，则它的渐近线方程为（ ）
A．y=±54xB．y=±45xC．y=±43xD．y=±34x
4．圆C1:x2+y2=4和圆C2:x−22+y−22=4的公共弦长为（ ）
A．22B．92C．94D．2
5．已知椭圆C：x23+y22=1的上顶点为A，右焦点为F，直线l与直线AF平行，若C上有且仅有三个点到l的距离为63，则l的方程为（ ）
A．2x+y+2=0B．2x+y−2=0
C．2x−y−2=0或2x−y+2=0D．2x+y+2=0或2x+y−2=0
6．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，直线y=3x与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（ ）
A．3−1B．2−1C．33D．22
7．设数列an满足an+1=1+an1−an，且a1=12，则a2025=（ ）
A．−2B．−13C．12D．3
8．设m为正整数，数列a1,a2,⋯,a3m+2是公比不为1的等比数列，若从中删去两项ai和aj(ib>0的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且点P(−1,32)在椭圆E上.
（1）求E的方程.
（2）过点F作直线l1交E于G,H两点，过原点O作直线l1的平行线l2交E于M,N两点，则是否存在常数λ，使得|MN|2=λGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】y=±12x
13．【答案】22​​​​​​​
14．【答案】n(n−1)2​​​​​​​
15．【答案】（1）解：由题意，可知：Sn=−n2+15n，
当n=1时，a1=S1=−1+15=14；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=−n2+15n−[−(n−1)2+15(n−1)]=−2n+16，
当n=1时，a1=−2×1+16=14，符合a1=S1=14，
∴数列an的通项公式an=−2n+16.
（2）解：方法一：因为Sn=−n2+15n=−(n−152)2+2254，
由二次函数图象和n∈N∗，知n=7或n=8时，Sn取得最大值56.
方法二：当n≤7时，an=−2n+16>0；
当n=8时，an=−2n+16=0；
当n≥9时，an=−2n+164，所以点P在圆M外，
当切线斜率不存在时，直线方程为x=0，圆心M到直线x=0的距离为1，不符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为y=kx+4，即kx−y+4=0，
由题意可得k+2k2+1=2，整理可得3k2−4k=0，解得k=0或k=43，
则两切线的斜率之和为0+43=43；
（2）解：由题意可知：圆心M到直线l的距离为d=4−AB22=4−3=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时圆心M到直线x=0的距离为1，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=tx−1，即tx−y−1=0，
则圆心M到直线l的距离为d=t−2−1t2+1=t−3t2+1=1，整理可得−6t+8=0，解得t=43，
此时直线l的方程为y=43x−1，即4x−3y−3=0，
综上所述，直线l的方程为x=0或4x−3y−3=0.
17．【答案】（1）解：因为Sn=2an−1①，
当n=1时，a1=2a1−1，
解得a1=1，
当n≥2时，Sn−1=2an−1−1②，
由式子①−②，得an=2an−2an−1，
则an=2an−1，
因为a1=1≠0，所以an≠0，
则anan−1=2，
所以，数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，
则an=2n−1.
（2）解：因为bn=2n−12n−1=2n−1×12n−1 ，
所以Tn=1×120+3×121+5×122+⋯+2n−112n−1①，
12Tn=1×121+3×122+5×123+⋯+2n−112n②，
由①−②，得：12Tn=1×120+2×121+122+⋯+12n−1−2n−112n
=1+2121−12n−11−12−2n−112n=3−2n+312n，
则Tn=6−2n+312n−1．
18．【答案】（1）解：由题意知抛物线C的标准方程为y2=2px（p>0）且p2=2，∴p=4，抛物线C的标准方程为y2=8x，准线方程为x=−2；
（2）证明：设点P的坐标为−2,t，t∈R，由题意，过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为k，则切线的方程为y−t=kx+2，
联立方程组y2=8xy−t=k(x+2)，消去x，得ky2−8y+8t+16k=0，
∴Δ=(−8)2−4k(8t+16k)=0得2k2+tk−2=0（*），
又k1、k2为方程（*）的两根，由韦达定理得k1⋅k2=−1为定值；
（3）证明：由题知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+n，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y2=8xx=my+n，整理得y2−8my−8n=0，Δ=64m2+32n>0，
∴y1+y2=8m，y1y2=−8n，
∵k1k2=−1，
∴k1k2=y1−tx1+2⋅y2−tx2+2=−1，
整理得y128+2y228+2+(y1−t)(y2−t)=0，
代入有n2+16m2+t2−4n−8mt+4=0，
∴(n−2)2+(t−4m)2=0，
∴n=2且t=4m，
∴AB:x=t4y+2，故直线AB过定点F(2,0)．
19．【答案】（1）解：抛物线y2=4x的焦点F1,0，则c2=a2−b2=1,
又P(−1,32)在椭圆E上，将点P代入椭圆方程得1a2+94b2=1,.
解得a2=4,b2=3，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1；
（2）解：
①若直线l1的斜率为0，则l2与l1重合，|MN|=GH=2a=4，
又因为|MN|2=λGH，即16=4λ，此时λ=4；
②若直线l1的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为x=ty+1，则平行线l2的方程为x=ty,
联立l1与椭圆方程Ex=ty+13x2+4y2=12，消去x得3t2+4y2+6ty−9=0,
设Gx1,y1,Hx2,y2，则y1+y2=−6t3t2+4,y1y2=−93t2+4，
由弦长公式，可得GH=1+t2y1−y2=1+t2⋅y1+y22−4y1y2
=1+t2⋅36t23t2+42+363t2+4=12t2+13t2+4，
联立l2与椭圆方程Ex=ty3x2+4y2=12，消去x得3t2+4y2=12，解得y=233t2+4，
由对称性及弦长公式，可得MN=1+t2⋅433t2+4=43⋅t2+13t2+4，
因此|MN|2=48t2+13t2+4=4GH，此时λ=4.
综上所述，存在常数λ，使得|MN|2=λGH恒成立，λ=4.